Аэродинамика вентиляции. Механика Аэрозолей. Учебное пособие

71

2. Упорядоченное движение частиц грубодисперсных аэрозолей

(метод траекторий)

Поведение газодисперсных систем во многом определяется динамикой движения одиночных частиц, которая, в свою очередь, существенно зависит от их размеров. Относительно крупные частицы (δ > 20 мкм) слабо реагируют на турбулентные пульсации несущего газа и уравнение их движения аналогично уравнению движения отдельно взятой частицы в вязкой ламинарной среде :

щая сторонних (внешних) сил, действующих на частицу. К ним относятся сила тяжести, электрические, магнитные и другие силы. Взаимодействие частиц с потоком газа носит очень сложный характер , однако, в большинстве практически важных случаев с достаточной для инженерной практики точностью его можно свести к силе сопротивления среды, которая для сферических частиц имеет вид :

сти частицы и газа. Ф – динамический коэффициент формы частицы.

Величина коэффициента аэродинамического сопротивления шара существенно зависит от режима его обтекания, который характеризуется числом Рейнольдса:

В следующей таблице приведены выражения для коэффициента ψ в различных диапазонах чисел Рейнольдса.

Если сила, действующая со стороны воздуха на частицу, выражается формулой Стокса

Для частиц размером δ > 10 мкм силу аэродинамического взаимодействия необходимо вычислять по формуле Клячко. При этом уравнение движения примет вид:

где β = 3ρг23μ1 3 δ 43ρг

Пример. Рассмотрим задачу о падении сферической частицы в неподвижном воздухе.

Проектируя уравнение движения частицы на направление силы тяжести, получим линейное уравнение первого порядка:

Из последней формулы следует, что скорость частицы асимптотически приближается к постоянной величине: v = gτ , называемой седиментаци-

онной скоростью.

Практически седиментационная скорость достигается очень быстро. Так, за время t = 5τ величина скорости частицы v достигает значения v = 0.99vs . Найдем область применимости формулы v = gτ .

73

Из условия стоксовского режима обтекания Re < 0.2 получим:

Седиментационная скорость более крупных частиц должна определяться с помощью уравнения 2.6.

Проектируя это уравнение на направление силы тяжести, получим:

Данное уравнение может быть решено только численно с помощью ЭВМ. Если не интересоваться динамикой установления скорости оседания частицы, а определять только ее величину, то вместо дифференциального уравнения можно рассмотреть алгебраическое уравнение, которое полу-

Уравнение 2.10 может быть решено одним из численных методов.

В пристенных областях, где имеют место значительные градиенты скорости газа, необходимо учитывать турбулентные пульсации скорости несущей среды, приводящие к возникновению специфических форм движения частиц - их подъемный и турбулентной миграции.

Причиной этих движений являются сила Магнуса

связанная с собственным вращением частиц с угловой скоростью ω , возникающим в результате соударений частиц с твердыми поверхностями, а также сила Сафмена

связанная с вращением частиц из-за градиента скорости газа в сдвиговых потоках.

Коэффициент аэродинамического сопротивления, как известно, является функцией числа Рейнольдса. В стоксовской области ( Re ≤ 0.5 ) будем использовать зависимость:

74

СD = 24

Re

а для переходного режима обтекания ограничимся уточненным вариантом эмпирической формулы Клячко:

которая с удовлетворительной точностью также охватывает и стоксовскую область. Здесь Re = ρδ V − U μ .

Уравнение движения для частиц несферической формы можно переписать в виде:

Траектории движения частиц аэрозоля можно найти путем численного интегрирования уравнений движения (2.15) совместно с уравнениями

с учетом начальных условий:

Предварительно уравнения и начальные условия приводят к безразмерному виду, используя в качестве масштабов характерные для данного процесса размер l и скорость U0 .

ла, eg - единичный вектор ускорения силы тяжести.

75

3. Балансовый расчет общеобменной вентиляции

При произвольном расположении приточных и вытяжных проемов целесообразно ограничиться однозонной балансовой моделью.

Рассмотрим помещение, в котором все технологическое оборудование аспирируется с эффективностью ηа <1.

Это означает, что интенсивность поступления пыли в помещение

равна

где G0 – интенсивность технологического пылевыделения, мг/с. Предположим, что в помещении также установлена система вакуумной пылеуборки поверхностей, эффективность которой равна ηпу . Тогда интенсивность поверхностного пыления можно выразить так:

где S – площадь поверхности осаждения пыли, gs – плотность интенсивности поверхностного пыления, мг/м2с. Взвешенная в воздухе пыль осаждается с интенсивностью

где C – средняя концентрация пыли в помещении, мг/м3; Vs – средняя скорость осаждения взвешенной пыли, м/с.

Предположим, что воздух в помещение может поступать естественным и механическим способом, а удаляться – естественным образом и с помощью аспирации. Соответствующие объемные расходы обозначим LП,

LМ, LВ и Lа, м3/с.

Влиянием вакуумной пылеуборки на воздухообмен помещения будем пренебрегать. Тогда уравнения баланса массы пыли и вентиляционного воздуха можно записать в виде:

воздуха, ρН, ρМ, ρ - плотности наружного, подаваемого механическим способом и находящегося в помещении воздуха.

Из уравнения (3.4) следует выражение для средней концентрации пыли в помещении:

Входящие в формулу (3.6) параметры G и S определяются экспериментально, величина Vs находится расчетным путем. Рассмотрим сначала определение величины естественного воздухообмена помещения, т.е. параметров Lп и Lв и связанных с ними величин Gп и Gв.

76

Естественное движение воздуха в помещении (аэрационный воздухообмен) происходит под действием разности давлений снаружи и внутри помещения, обусловленной разностью температур, а значит и плотностей наружного и внутреннего воздуха:

g = 9.81 м/с2 – ускорение силы тяжести; Ha – разность уровней верхних (вытяжных) и нижних (приточных) проемов; ρн , ρ - плотности наружного и внутреннего воздуха; Pp – располагаемое давление. Если специальных аэрационных проемов в помещении нет, то в качестве Ha в первом приближении можно взять высоту помещения H.

При нормальном атмосферном давлении (P = 101325 Па) зависимость плотности воздуха от его температуры t выражается формулой

ρ = 325.43

(3.8)

273 + t

Массовые расходы воздуха через приточные Gп и вытяжные Gв проемы выражается с помощью формул:

где Fп, Fв – площади приточных и вытяжных проемов; μп = 0.65 и μв = 0.45

– коэффициенты расходов приточных и вытяжных проемов соответственно; P0 – избыточное статическое давление в помещении.

Помещение представляет собой открытую (проточную) термодинамическую систему, поэтому передаваемое воздуху количество теплоты Q расходуется не только на изменение его внутренней энергии U , но и на его расширение [72]:

Q = U + p V = GCp T + GR T M

где G – массовый расход воздуха, T – изменение его абсолютной температуры, R = 8314 Дж/кмольК – универсальная газовая постоянная, M = 29 кг/кмоль, молярная масса воздуха, Cp = 1005 Дж/кгК – удельная теплоемкость воздуха при постоянном давлении.

Система уравнений, описывающая воздухообмен производственного помещения, включает в себя уравнения (3.9 и 3.10) для естественного притока и вытяжки, уравнение баланса массы вентиляционного воздуха (3.5), а также уравнение теплового баланса:

GпСpTн + GмСpTм + Q =

77

где Tн, Tм, T – абсолютные температуры: наружная, в помещении и воздуха, подаваемого в помещение механическим путем, Q – теплоизбытки производственного помещения, т.е. разность между количеством теплоты, выделяемым в помещении и теряемым через ограждающие конструкции и пол.

Подставив уравнение сохранения массы воздуха (3.5) в уравнение теплового баланса (3.11), после преобразований найдем выражение для производительности механического притока:

Вычитая соотношение (3.9) из (3.10) с помощью уравнения (3.5) получим:

Возводя обе части уравнения (3.9) в квадрат, найдем выражение для избыточного статического давления P0:

Зная производительность естественного притока Gп, по формуле (3.14) определяем избыточное давление P0, а затем по формуле (3.12) находим производительность механического притока Gм. Расчет воздухообмена производственного помещения должен вестись отдельно для холодного и теплого периодов года.

4. Исследование дисперсной фазы аэрозоля в приближении сплошной среды

Совокупность (ансамбль) упорядоченно движущихся частиц можно рассматривать как некоторую квазисплошную среду (аэрозольную жидкость), к которой с определенными оговорками применимы уравнения классической гидродинамики. Поле скоростей аэрозольной жидкости описывается уравнением движения, в котором лагранжева производная dV dt заменена на эйлерову субстанциональную производную

∂V dt + (VÑ)V :

Для достаточного мелких частиц (Re<0.5, CD =24/Re) приближенное решение уравнения движения частиц можно представить в виде:

В частности для поля скоростей среды из частиц, на которые действует только сила тяжести, получим:

79

где Vs - скорость гравитационного осаждения. В общем случае стацио-

нарное двумерное поле скоростей среды из частиц произвольного размера и формы описывается уравнениями:

Трудности численного решения уравнений в частных производных (4.4) связаны не только с их нелинейностью (коэффициенты F, CD и Re являются функциями Vx иVy ), но и с неоднозначностью граничных усло-

вий для Vx и Vy.

В связи с этим может быть использован другой, алгоритмический метод построения поля скоростей аэрозольной жидкости, основанный на непосредственном интегрировании уравнений движения частиц. Эти уравнения решаются для полного набора начальных положений частицы, соответствующих центрам ячеек, на которые расчетная область разбивается равномерной прямоугольной сеткой. В качестве скорости аэрозольной жидкости в центре каждой ячейки принимается среднее арифметическое значение скоростей всех частиц, попадающих в данную ячейку со всех возможных начальных положений.

Плотность квазижидкости из упорядоченно движущихся частиц, представляющая их массовую концентрацию, подчиняется уравнению неразрывности. Если газ считать несжимаемым (divU = 0) , а внешние

силы потенциальными ( такими являются сила тяжести и электрические силы), то аэрозольная жидкость будет также несжимаемой, т.е. divV = 0 . В этом случае уравнение неразрывности для частиц можно переписать так:

∂C +VÑC = g(r ,t ) ∂t

или в развернутом виде

Линейное уравнение с частными производными первого порядка (4.5) может быть решено методом характеристик. Уравнению (4.5) соответствует система обыкновенных дифференциальных уравнений

dx = dy = dz = dt , Vx Vy Vz

которая сводится к системе уравнений движения частицы:

Рассмотрим общее решение системы (4.6):

x = f1(t ,C1,C2 ,C3 ) , y = f2 (t ,C1,C2 ,C3 ) , z = f3(t ,C1,C2 ,C3 )

Определив постоянные С1, С2, С3 с помощью начальных условий

x t =0 = x0 , y t =0 = y0 , z t =0 = z0

получим решение (4.6), определяющее траекторию движения частицы, которая начинается в точке P(x0, y0, z0):

Разрешив уравнения (4.7) относительно начальных координат частицы, получим:

Подставив уравнение (4.6) и соотношения (4.7) в уравнение (4.5), сведем его к обыкновенному дифференциальному уравнению по t:

Соотношение (4.10) определяет концентрацию частиц в любой точке траектории их движения (4.7). Для получения поля концентраций частиц необходимо после вычисления интеграла (4.10) перейти к эйлеровым координатам x, y, z с помощью обратного преобразования (4.8). Однако, поле концентраций упорядоченно движущихся частиц можно исследовать и с помощью соотношений (4.10, 4.7), выбрав достаточно густую сетку траекторий движения частиц.

Распространение частиц аэрозоля в турбулентной газовой среде описывается уравнением переноса и диффузии дисперсной фазы, которое в общем случае записывается в виде:

)

где Dtp - тензор коэффициентов турбулентной диффузии. Уравнение

(4.11) отражает материальный баланс частиц в бесконечно малом объеме аэрозоля.