Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов. Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

x = a x +u.

x = a x +u.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 128 9 10 11 12 > Следующая >>>

Требуется перевести систему из положения x(0)=x0 при t=0 в положениеx=0 приt→∞ и найти такой закон управления, чтобы

J (u) = ∞∫(α0 x2 + cu2 )dt → min,	(8.20)
0

при ограничении u ≤Umax .

Согласно принципу максимума введем дополнительную координату x0

dxdt0 =α0 x2 + cu2 .

Будем иметь систему заданных уравнений:

Составим уравнения для вспомогательных переменных ψi:

ψ0

∂f0

ψ0 +

∂f1

ψ1

= 0;

= −

∂x0

(8.22)

∂f0

∂f1

ψ1

ψ0

ψ1

= −2a0 xψ0

− a1ψ1

= −

∂x

Из первого уравнения системы (8.22) найдем, что ψ0 = const. Запишем функцию Гамильтона

H =ψ	0	x	+ψ	x =ψ	0	(a		x2	+ cu2 ) +ψ	(a x +u) .	(8.23)
	0	0	1		0		0		1	1
Выпишем слагаемые, содержащие U,
				H* =ψ			cu2		+ψ u .		(8.24)
						0			1

Так как это выражение достигает максимума одновременно сH, то будем искать закон управления, доставляющий максимумH*.

Преобразуем (8.24)

H* =ψ

cu2 +ψ u =ψ

u +

ψ 2

−

2ψ0c

4ψ0c

∂H *

= 2ψ0cu +ψ1 = 0 ,

∂u

U = − ψ1 . 2ψ0c

Принимая ψ0 = –1, получим, что оптимальное управление определяется следующим образом

при

≤Umax ;

U =

max

при

ψ1 ≥U

max

;

(8.25)

при

≤ −Umax .

−Umax

Найдем зависимость ψ1 = f(x) для определения закона управления в виде U = U(x). Для этого запишем систему уравнений, состоящую из уравнения объекта и второго уравнения (8.22), под-

ставляя вместо U =

ψ1

при

ψ1

≤Umax

= a1x

1 ;

(8.26)

ψ1 = 2a0 x − a1ψ1.

Для решения этой системы составим характеристический

определитель

∆(a) =

a1 −a

=a2 − a12 − a0

= 0 .

(8.27)

2a0

− a1 −a

Определим корни характеристического уравнения (8.27)

1,2

= ±

+ a0

Тогда решение (8.26) будет

a1t

a2t

;

= C1e

+C2e

(8.28)

= 2c(a

a t

+ 2c(a

− a )C

− a )C e

e 2

Пусть корень α1 отрицательный, а α2 положительный. Тогда, в силу устойчивости расстраиваемой системы, С2 = 0, в против-

ном случае при t → ∞ x → ∞. Исключая из уравнений (8.28) C1eα1t при условии С2 = 0 получим

ψ1 (t) = 2c(a1 − a1 )x(t) .	(8.29)
72

Подставив ψ1 (t)

в (8.25),

будем окончательно иметь закон

управления:

− a )x при

− a )x

≤U

;

max

U = Umax при

(a1 − a1 )x ≥Umax ;

−U

max

при

− a )x ≤ −U

max

;

где a1 = −a12 + ac0 .

Таким образом, закон управления U является линейным законом относительно координаты x на участке, где (a1 − a1 )x ≤Umax , при больших же отклонениях (a1 − a1 )x ≥Umax управляющий сигнал принимает максимально возможное значение ±Umax .

8.3. Аналитическое конструирование регуляторов методом динамического программирования

Пусть объект управления представлен нормальной системой уравнений

dx1	= x ;
dt	2

dx2				(8.30)
dx2	= a x	+ a x	+u.
	= a x	+ a x	+u.
dt	1 1	2 2
dt

Примем критерий оптимальности в виде

∞

J (u) = ∫(q1x12 + q2 x22 +u2 )dt . (8.31)

Требуется определить закон изменения U = f(x1, x2). Составим функциональные уравнения Беллмана

q x2

+ q x2

+u2

+ x

∂S

+ (a x + a x +u)

∂S

= 0;

∂x2

∂x1

∂S

2u +

= 0.

∂x2

Определим u из второго уравнения системы (8.32):

u = −1 ∂S . 2 ∂x2

(8.32)

(8.33)

Чтобы определить закон изменения u как функции координат xi, нужно найти функцию S. Подставим в первое уравнение системы (8.32) выражение для u из (8.33):

q1x12 + q2 x22 + x2	∂S	+ (a1x1 + a2 x2 )	∂S		1	∂S	2
				=			.	(8.34)
	∂x1		∂x2		4
						∂x2

Получим нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных. Для линейных объектов управления и квадратичных критериев оптимальности функция S представляет собой положительно определенную квадратичную форму вида

S = A11x12 + 2A12 x1x2 + A22 x22 .

Для определения коэффициентов этой формы составим следующую систему

∂S	= 2A x		+ 2A x	;

11		1	12 2
∂x1					(8.35)
∂S
	= 2A x		+ 2A x	.

12		1	22 2
∂x2

Подставим ∂S в (8.34) и, приравняв к нулю коэффициенты

∂xi

при соответствующих степенях x1, x2, составим алгебраические уравнения для А11, А12 и А22:

q1 + 2a1 A12 − A122 = 0;
q2 + 2A12 + 2a2 A22 − A222			= 0;	(8.36)
q2 + 2A12 + 2a2 A22 − A222			= 0;	(8.36)

2A11 + 2a1 A22 + 2a2 A12 − 2A12 A22 = 0.
Из системы (8.36) определим
A	= a ±
A	= a ±	a2 + q ;
12	1	1	1

A22 = a2 ± a22 + q2 + 2A12 ;

A11 = 12 (−2a1 A22 − 2a2 A12 + 2A12 A22 ) .

Из возможных решений А11, А12 и А22 выбираем только положительные значения, так как для получения устойчивого решения

функция S должна быть положительно определенной. Зная А11, А12 и А22, определяем закон управления:

	1	∂S		1		2
u = −			= −		(2A12 x1	+ 2A22 x2 ) = ∑pi xi	(8.37).
	2			2
		∂x2				i=1

В отличие от классического вариационного исчисления и принципа максимума метод динамического программирования позволяет получить решение сразу в замкнутой форме, то есть в виде U = f(xi), что является его достоинством.

Однако применение этого метода также требует большого объема вычислений, связанных с решением системы алгебраических уравнений для определения коэффициентов Aij квадратичной формы S. В аналитическом виде это не всегда возможно сделать и поэтому приходится применять метод подбора значений Aij.

Рассмотренное выше решение справедливо только для линейных систем при отсутствии ограничения на управление u ≤Umax . Реше-

ние в нелинейной области при наличии ограничения u ≤Umax связа-

но с большими трудностями, так как при этом требуется производить решение дифференциального уравненияв частных производных.

Вывод. В лекции 8 даны примеры решения задачи аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР) с помощью классического вариационного исчисления, с помощью принципа максимумаи методом динамического программирования.

Вопросы для самопроверки

1.Как решается задача АКОР с помощью классического вариационного исчисления? Приведите пример.

2.Как решается задача АКОР с помощью принципа максимума? Приведите пример.

3.Как решается задача АКОР методом динамического программирования?

Литература

1.Певзнер, Л. Д., Чураков Е. П. Математические основы теории систем: учебное пособие. М.: Высшая школа, 2009. 503 с.: ил.

2.Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1998. 574 с.

3.Куропаткин П. В. Оптимальные и адаптивные системы: учеб. пособие для вузов. М.: Высш. школа, 1980. 287 с.

Раздел 9. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ПО КВАДРАТИЧНОМУ КРИТЕРИЮ КАЧЕСТВА

План

1.Синтез нестационарного оптимального регулятора

2.Матричное уравнение Риккати.

Пусть возмущенное движение объекта описывается следующим уравнением

X (t) = A(t) X (t) + B(t) U (t) + h(t) .

(9.1)

Функции A(t), B(t) и h(t) являются непрерывными на интерва-

ле [tн, tк].

Критерий качества управления будет иметь вид

		tк					,
J = X	T		T	(t) Q(t) X (t) +U	T		,	(9.2)
J = X		(tк ) F X (tк ) + ∫ X		(t) Q(t) X (t) +U		(t) R(t) U (t) dt		(9.2)

tн

где F, Q(t), R(t) – заданные симметричные матрицы соответствующей размерности, непрерывные на интервале [tн, tк].

К матрицам F, Q(t), R(t) предъявляется требование положительной определенности на заданном интервале времени.

Если момент времени tк фиксирован, то независимо от того, являются ли матрицы A, B, F, Q, R постоянными или функциями времени, необходимо решать следующую задачу синтеза неста-

ционарного оптимального регулятора: «Требуется найти такой вектор управления U*(t), при котором независимо от начальных условий X(tн) критерий управления принимает минимум».

Уравнение Беллмана для такой системы имеет вид

	T		T		∂S			∂S
min X		QX +U		RU +		[AX + BU + h]	= −		.
min X		QX +U		RU +	∂x	[AX + BU + h]	= −	∂t	.
u					∂x			∂t

Краевое условие имеет вид

S[X (tк ); tк ]= X кT FX к .

(9.3)

(9.4)

Так как ограничения на вектор управления в явном виде не заданы, то выражение в скобках будет обязательно принимать минимум в некоторой стационарной точке. Поэтому можно составить следующую систему

X T QX +U T RU +					∂S	[AX + BU + h]= −	∂S	;
					∂x		∂t
			∂S
	T	R +	∂S	B = 0.
2U		R +	∂x	B = 0.
			∂x

Найдем величину вектора управления:

U = −	1	R	−1	B	T	∂S T
U = −	2	R		B		.
	2					∂x

(9.5)

(9.6)

Подставив это выражение в первое уравнение системы (9.5), можно исключить из него параметр управления и разрешить относительно функции S. Решение будем искать в следующем виде

S X (t);t = X T KX + PT X + Z ,		(9.7)

где K(t) – симметричная матрица размерностью n ×n ; Z(t) – некоторая скалярная величина; P(t) – вектор размерностью n.

Величины K и P определяются из следующей системы дифференциальных уравнений

				T	−1	B	T	K −Q;
K = −KA − A K + KBR						B		K −Q;	(9.8)
	−1	B	T	T					(9.8)
P = KBR		B		P − A P − 2Kh.

Первое уравнение этой системы называется матричным урав-

нением Риккати.

В общем случае оно не имеет аналитического решения и для определения компонент вектора K должна использоваться численная процедура.

Найдя значение K в любой момент времени, можно найти также значение элементов вектора P.

Оптимальное управление по значению функции S найдется с использованием следующих соотношений:

U* = −R−1BT KX −	1 R−1BP .	(9.9)
	2

Анализ уравнения для расчета вектора управления позволяет сделать следующие выводы:

1) закон управления соответствует схеме системы с обратной связью, так как он ставит в соответствие величину управляющего воздействия величине фазового вектора системы;

2)закон управления не содержит производных или интегралов от величины X, т. е. он является не динамическим, а кинематическим;

3)коэффициенты настройки регулятора являются функциями времени даже при постоянных значениях матрицы А и В, что определяет систему с переменными параметрами.

Пример. Определить управление U*(x), обеспечивающее оптимальную стабилизацию режимов работы объекта, описываемого

уравнением: x = a(t)x +b(t)u . Начальные условия: x(t0 ) = x0 . Функционал обобщенного скалярного критерия оптимальности имеет вид:

tk
J = ∫[q(t)x2 +r(t)u2 ]dt → min .
tн
Решение.
Составим уравнения Беллмана
q(t)x2	+ r(t)u2 + ∂S			[a(t)x +b(t)u]= −	∂S	;
			∂x		∂t
		∂S
		∂S	b(t) = 0.
2ur(t) +		∂x	b(t) = 0.
		∂x

Из второго уравнения системы (9.10)

u = − b(t) ∂S . 2r(t) ∂x

(9.10)

(9.11)

Подставив (9.11) в первое уравнение системы (9.10), получим

∂S 2

b2 (t)

∂S

b(t)

∂S

q(t)x

+ r(t)

a(t)x −b(t)

∂x

= −

∂t

(t)

∂x

2r(t)

Откуда после преобразований будем иметь

∂S

q(t)x

∂x

a(t)x −

(t) = −

∂t

4r(t)

∂x

Если S = k(t)x2 , то

∂∂Sx = 2k(t)x;∂S = k(t)x2 .

∂t

(9.12)

(9.13)

Подставив (9.13) в (9.12), получим

k(t) = −q(t) + b2 (t) k2	(t) − 2a(t)k(t) .	(9.14)
r(t)

Решением уравнения (9.14) определим k(t), как функцию времени. Затем найдем S(x), как функцию фазовых координат; а после U(x), как функцию фазовых координат.

Вывод. В лекции 9 рассмотрены вопросы синтеза оптимальных линейных систем по квадратичному критерию качества. Решение такой задачи осуществляется с помощью матричного уравнения Риккати.

Здесь же дан пример определения управления U*(x), обеспечивающего оптимальную стабилизацию режимов работы объекта, описываемого уравнением: x = a(t)x +b(t)u .

Вопросы для самопроверки

1.Сформулируйте задачу синтеза нестационарного оптимального регулятора?

2.В какой форме будет находиться решение задачи синтеза оптимальных линейных систем по квадратичному критерию качества?

3.Запишите матричное уравнение Риккати.

4.Какие выводы можно сделать из анализа уравнения для расчета вектора управления?

Литература

1.Певзнер Л. Д., Чураков Е. П. Математические основы теории систем: учебное пособие. М.: Высшая школа, 2009. 503 с.: ил.

3.Ванько В. И., Ермошина О. В., Кувыркин Г. Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление: учебник для вузов / под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. 2-е изд. М.: Изд-во МГТУ, 2001. 488 с.

4.Куропаткин П. В. Оптимальные и адаптивные системы: учеб. пособие для вузов. М.: Высш. школа, 1980. 287 с.

Раздел 10. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ В СТАЦИОНАРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

План

1.Синтез закона управления для системы с обратной связью.

2.Примеры оптимизации типовых объектов второго порядка из условия минимума квадратичного функционала при детерминированных сигналах.

Уравнение движения системы имеет вид

X = AX + BU ,

(10.1)

где A и B – постоянные матрицы.

Если это уравнение задано в приращениях, то будет выполняться условие: X(∞) = 0.

Требуется найти закон регулирования для системы с обратной связью, при котором замкнутая система будет асимптотически устойчива, и будет принимать минимум следующий критерий управления:

tк →∞
J = ∫		T	QX +U	T		(10.2)
J = ∫	X		QX +U		RU dt ,	(10.2)

tн

где Q, R – положительно определенные симметричные постоянные матрицы.

Запишем систему методом динамического программирования

X T QX +U T RU +					∂S	[AX + BU ]= −	∂S	;
X T QX +U T RU +					∂X	[AX + BU ]= −	∂t	;
					∂X		∂t	(10.3)
			∂S					(10.3)
	T	R +	∂S	B = 0.
2U		R +	∂x	B = 0.
			∂x

Исключим из первого уравнения системы (10.3) параметр управления, используя подстановку

U = −	1	R	−1	B	T	∂S T		(10.4)
	2						.

						∂X

Функцию Беллмана будем искать в следующем виде

S = X T KX .

(10.5)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 128 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]