Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов. Учебное пособие

Если же по условиям работы объекта, представляющего собой идеальный интегратор второго порядка, ограничено только ускорение изменения управляемой переменной (вторая производная)

то процесс будет оптимальным по быстродействию при максимальной средней скорости изменения выходной переменной в течение всего времени переходного процесса. При этом в начале процесса следует наращивать скорость наиболее интенсивно, т. е.

с максимально возможным ускорением u = +Umax . Скорость будет

нарастать по линейному закону, а выходная переменная – по параболе, так как после интегрирования (3.6) получим

При нулевых начальных условиях С1 = С2 = 0. В этом случае

y(t) =Umaxt;

y(t) = 0,5Umaxt2 .

При u = −U max скорость будет убывать по линейному закону,

а выходная переменная – нарастать до заданного значения по параболе, так как теперь после интегрирования (3.6) получим:

y(t) = −Umaxt +C1;

y(t) = −0,5Umaxt2 +C1t +C 2.

Графики изменения y(t) , скорости y(t) и ускорения y(t)

показаны на рис. 3.3.

Так как разгон и торможение производится с одинаковым ускорением и замедлением, то время переключения сигнала tп равно половине оптимального (минимального) времени tmin. График для первой производной в данном случае имеет вид равно-

бедренного треугольника с углом наклона β (tgβ =Umax ) . По-

строенный таким образом переходный процесс является оптимальным с учетом ограничения только ускорения. В данном случае получено релейное управление с двумя интервалами включения реле.

31

Если, например, по условиям работы объекта, являющегося идеальным интегратором второго порядка, ограничены скорость и ускорение изменения выходной переменной [см. (3.4) и (3.6)], то на графике y(t) будет участок С1 – С2, определяемый постоянной

скоростью, равной ymax в пределах от t1 до t2, а вторая производная на этом участке равна нулю (рис. 3.4).

Рис. 3.3. График изменения y(t) , y(t) , y(t)

Переходный процесс системы до точки С1 соответствует разгону с максимально возможным ускорением u =U max при нарастании скорости по линейному закону до предельного значения

32

ymax . После точки С2 переходный процесс соответствует торможению с максимально возможным замедлением u = −U max при

убывании скорости от предельного значения до нуля. Полученный таким образом переходный процесс является оп-

тимальным с учетом ограничений по первой и второй производным выходной переменной объекта. Закон управления объектом характеризуется двумя интервалами включения реле и одним интервалом выключения реле между ними.

Рис. 3.4. График изменения y(t) , y(t) , y(t)

33

Рассматривая формы полученных кривых оптимальных переходных процессов для простейших объектов первого и второго порядков, следует указать на существенное влияние ограничений, накладываемых в реальных условиях на координаты и производные. Это в свою очередь определяет форму закона управления объектом. При ограничении только первой производной получен один интервал, на котором изменяется выходная переменная объекта с постоянной скоростью (см. рис. 3.2). При этом в момент времениt = 0 включается реле, задающее скорость, равную предельной величине

u =Umax , а приt = tmin выключается реле, обеспечивающее равенство

нулю скорости изменения выходной переменной.

В случае ограничения только второй производной получено два интервала (см. рис. 3.3). При t = 0 включается реле, задающее

ускорение, равное предельной величине u = +Umax , а при t = tп

производится переключение реле, задающего замедление, равное предельной величине u = −Umax .

Когда ограничены первая и вторая производные, кроме указанных интервалов ускорения и замедления, определяемых переключениями реле, имеется участок с постоянной скоростью изменения выходной переменной объекта при выключенном реле. На основании полученных оптимальных переходных процессов А. А. Фельдбаум сформулировал теорему об n интервалах. Доказательство этой теоремы дано авторами принципа максимума Понтрягина.

Вывод. В лекции 3 приведено понятие об оптимальных по быстродействию процессах. Системы управления называют оптимальными по быстродействию, если они обеспечивают минимум времени переходного процесса с учетом ограничений, наложенных на координаты управлений и выхода. Эти системы являются частным случаем оптимальных систем.

Задача создания оптимальных по быстродействию систем возникает при разработке следящих систем, автоматических компенсаторов, систем управления приводами прокатных станов, ракетами, подъемными устройствами и систем автоматизации технологических процессов, а также ряда энергетических установок и других технических устройств.

34

Вопросы для самопроверки

1. Какие системы называют оптимальными по быстродействию?

2.Какой вид имеет процесс управления объектом, представляющим собой идеальный интегратор первого порядка при условии ограничения только скоростиизменения управляемой переменной?

3.Приведите примеры устройств, имеющих ограничение по скорости.

4.Какой вид имеет процесс управления объектом, представляющим собой идеальный интегратор второго порядка при условии ограничения только ускорения управляемой переменной?

5.Какой вид имеет процесс управления объектом, представляющим собой идеальный интегратор второго порядка при условии ограничения скорости и ускорения изменения управляемой переменной?

Литература

1.Певзнер Л. Д., Чураков Е. П. Математические основы теории систем: учебное пособие. М.: Высшая школа, 2009. 503 с.: ил.

2.Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1998. 574 с.

3.Ванько В. И., Ермошина О. В., Кувыркин Г. Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление: учебник для вузов / под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. 2-е изд. М.: Изд-во МГТУ, 2001. 488 с.

4.Куропаткин П. В. Оптимальные и адаптивные системы: учеб. пособие для вузов. М.: Высш. школа, 1980. 287 с.

35

Раздел 4. ПРИНЦИП МАКСИМУМА

План

1.Теорема о максимуме.

2.Решение задачи оптимального быстродействия для линейной системы, описываемой дифференциальным уравнением второго порядка.

3.Область целесообразного использования принципа максимума.

Одним из наиболее известных методов оптимизации является принцип максимума, разработанный группой советских математиков во главе с академиком Л. С. Понтрягиным (первая публикация по принципу максимума относится к 1965 году). Теоремы принципа максимума относятся к системам, поведение которых можно описать системой дифференциальных уравнений в нормальной форме:

где функции x1,…, xn называют фазовыми координатами, а функ-

ции u1,…, uk – управлениями.

Таким образом, в отличие от классического вариационного исчисления, где все искомые функции равноправны, в принципе максимума они разделяются на фазовые координаты xi и управления ui. Это разделение удобно в тех случаях, когда ограничения налагаются только на управления, например, в форме неравенств

u j ≤1, а на фазовые координаты ограничения не налагаются.

Общей задачей оптимизации является определение управлений U1(t),…,Uk(t), переводящих объект за время T из положения xi(0)= xi0 в положение xi(T) = xiT и доставляющих при этом минимум функционалу

0

36

Частным случаем является задача оптимального быстродействия, когда функционалом, который необходимо минимизировать, является просто время перехода системы из состояния xi0 в состояние xiT. Однако без ограничения общности можно любую задачу оптимизации управления рассматривать как задачу о быстродействии. Для этого достаточно только к системе уравнений (4.2) добавить уравнение

и тогда задача минимизации функционала (4.2) при наличии уравнений связи (4.1) станет эквивалентна задаче об оптимальном быстродействии для расширенной системыn + 1 уравнений (4.1) и (4.3).

Отметим еще, что в принципе максимума оптимальное управление Uj(t) отыскивается сразу в классе кусочно-непрерывных или просто измеримых функций в отличие от классического вариационного исчисления, где экстремум функций определяется сначала в более узком классе кусочно-гладких функций; это означает, что допускается мгновенное изменение U(t). На первый взгляд это противоречит физическому смыслу задачи, ибо реальное управление инерционно. Однако за управление U(t) можно взять скорость, причем для любого реального объекта можно всегда найти такие управляющие воздействия, которые в пределах разумной точности можно считать безынерционными.

В принципе максимума вводят вспомогательные функции ψi(t) и функцию H (называемую гамильтонианом), причем

i=1

При помощи функции H основная система уравнений (4.1) и уравнения, необходимые для определения вспомогательных функций, записываются в виде:

Теперь основное необходимое условие, которому должно удовлетворять управление U(t) для того, чтобы быть оптимальным, можно записать в виде теоремы о максимуме: если Uj(t) –

37

оптимальное управление, то оно доставляет максимум функции Гамильтона (4.4). Кроме того, в конечный момент времени t1 должно выполняться условие

Если анализировать оптимальное управление, то введенная для характеристики оптимальных процессов функция Н имеет вполне определенный физический смысл. Действительно, уравнения (4.5) и (4.6) можно рассматривать как уравнения Гамильтона консервативной системы, в которой xi соответствует «координатам положения» (степени свободы) и ψi – «координатам скорости». В фиктивной системе отрезок времени прохождения пути между двумя положениями предполагается минимальным, если энергия Н системы максимальна везде вдоль пути. Таким образом, функция Н есть не что иное, как полная энергия системы, которая должна быть максимальна в процессе управления. Для неконсервативных систем, например, электрических, функцияН является мощностью, а функцияψi – импульсами. Отсюда ясен физический смысл оптимального управления: в объект необходимо вводить такое количество энергии, чтобы обеспечить экстремум функционала и заданный закон движения. Поскольку энергия вводится с помощью управляющих воздействий, тоН зависит от управленияU.

Решим задачу оптимального быстродействия для линейной системы, описываемой дифференциальным уравнением второго порядка x = u , которое можно записать в виде системы двух уравнений первого порядка:

Для этой системы функция H имеет вид

При наличии ограничения u ≤1 максимум H достигается при u = signψ2 , а функции ψ1 иψ2 определяются из уравнений:

откуда следует ψ1 = С1 иψ2 = С2 −С1 t. 38

Следовательно, оптимальная по быстродействию система будет релейной с особым специальным законом переключения реле

по знаку вспомогательной функции ψ2 = С2 −С1 t .

Для наглядности изобразим процесс на фазовой плоскости. Исключив из уравнений (4.8) время, получим при U=1 дифференциальное уравнение

Откуда фазовая траектория будет:

Аналогично при U = –1 получаем:

Это параболы симметричны относительно оси абсцисс x1. Процесс должен заканчиваться в начале координат

( x1 ≡ 0, x2 ≡ dxdt = 0 ).

Рис. 4.1. График процесса управления на фазовой плоскости

Нанесем теперь и все остальные параболы с различными значениями С в формулах (4.12) и (4.13) до точек их вливания в изображенные ранее две ветви параболы, идущие к началу координат.

39

Как видим, из произвольной точки M0(x10, x20) процесс идет по некоторой параболе М0Д при управляющем сигнале U = –1 (в другой области было бы U = +1). В точке Д происходит переключение реле на сигнал U = +1, после чего процесс идет по параболе ДО и заканчивается в точке О за конечное время, которое согласно принципу максимума является минимальным из всех возможных для перехода данной системы из состояния M0(x10,x20) в равновесное состояние О(0, 0).

Область целесообразного использования. Особенностью прин-

ципа максимума является то, что вариационная задача нахождения управления как функции времени u0(t), обеспечивающей экстремум заданного функционала J, сведена к более простой задаче определения u0(t), доставляющего максимум функции Гамильтона H(u). Отсюда и название метода– принцип максимума.

Для задач, в которых на класс искомых экстремалей не наложены ограничения, принцип максимума дает те же результаты, что и метод классического вариационного исчисления. Однако в отличие от классического вариационного исчисления принцип максимума позволяет проще находить экстремали в виде кусочнонепрерывных (разрывных) функций и учитывать наличие ограничений координат.

Наиболее широко принцип максимума применяют при синтезе оптимальных управлений в задачах максимального быстродей-

ряд преимуществ перед классическим методом вариационного исчисления.

Вывод. Принцип максимума является единым математическим аппаратом теории оптимальных по быстродействию процессов для систем n-го порядка с несколькими управляющими органами при ограниченных по модулю координатах управлений. В лекции 4 изложен принцип максимума и приведено с помощью него решение задачи оптимального быстродействия для линейной системы, описываемой дифференциальным уравнением второго порядка. Кроме того, изложена область целесообразного использования принципа максимума.

40