Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

функционала Jν. Уравнение Эйлера – Пуассона можно представить в виде произведения двух многочленов, так как оно всегда четной степени для рассматриваемых функционалов. Корни одного многочлена будут иметь положительные действительные части, а другого – отрицательные.

Покажем метод определения коэффициентов функционала Jν на конкретном примере. Переходный процесс в замкнутой системе задан в виде дифференциального уравнения третьего порядка:

a	d3 x	+ a		d 2 x	+ a	dx	+ x = 0 .	(7.6)
	dt3		2 dt2			dt
3					1

Он будет зависеть от коэффициентов a1, a2, a3. Зная желаемый процесс, можно выбрать коэффициенты по диаграмме Вышнеградского или задаться расположением корней на комплексной плоскости.

Дифференциальному уравнению (7.6) будет соответствовать характеристическое уравнение

a a3	+ a a2	+ a a +1 = 0 .	(7.7)
3	2	1

Предполагаем, что все его корни расположены в левой полуплоскости. Запишем характеристическое уравнение для корней, расположенных в правой полуплоскости

−a3a3 + a2a2 − a1a +1 = 0 .

Перемножим многочлены (7.7) и (7.8):

(a3a3 + a2a2 + a1a +1)(−a3a3 + a2a2 − a1a +1) =

= −a32a6 + (a22 − 2a1a3 )a4 −(a12 − 2a2 )a2 +1 = 0.

Запишем уравнение Эйлера – Пуассона для n = 3:

−t	2	d 6 x	+t	2	d 4 x	−t	2	d 2 x	+ x = 0 .
	3	dt6		2	dt4		1	dt2

Его характеристическое уравнение

−τ32α6 +τ22α4 −τ12α2 +1 = 0 .

(7.8)

(7.9)

(7.10)

(7.11)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в (7.9) и (7.11), получим

a32 =τ32 ;

a22 − 2a1a3 =τ22 ;

a22 − 2a1a3 =τ22 .

Так как коэффициенты а1, а2, а3 известны, то известны и коэффициенты функционала τ12, τ22, τ32.

7.3. Критерии оптимальности, минимизирующие ошибку, и управление

Ранее нами рассматривались критерии, на основании которых может быть произведена настройка корректирующих цепей. Задача же синтеза состоит в том, чтобы определить закон управления или в функции времени U(t) (программный режим), или в функции координат системы U(xi).

В качестве критериев оптимальности здесь можно так же, как

и ранее, выбрать минимум квадратичной ошибки J1 (u) = ∞∫x2dt

или минимум абсолютной ошибки J2 (u) = ∞∫ x2 dt и затем опреде-

лить алгоритм изменения U с помощью методов теории оптимальных систем.

Оценки J1(u) и J2(u) не учитывают того, что в системах имеет место ограничение мощности управляющего сигнала, а также его насыщение при определенных значениях ошибки. Эти ограничения можно задать в интегральном виде

∞
J3 (u) = ∫u2dt ≤ L;
0				(7.12)
∞				(7.12)
∞
J4 (u) = ∫	u	2
		2
			dt ≤ L.
0

Таким образом, ставится задача обеспечения минимума J1(u) или J2(u) при заданных интегральных ограничениях (7.12).

Кроме ограничений на величину управляющего сигнала иногда накладываются ограничения и на скорость u′ , и на ускорение

u′′ и т. д.

Далее нужно так подобрать параметры системы, чтобы Jν достигал минимума.

По результатам примера можно сделать вывод, что устойчивым линейным системам соответствуют обобщенные квадратичные критерии оптимальности. Любая устойчивая линейная система является оптимальной относительно квадратичного функционала, определенного по методу решения обратной задачи.

Вычисление функционалов Jν можно проводить по известной передаточной функции замкнутой системы и формулам, выведенным А. А. Красовским и А. А. Фельдбаумом.

Здесь были рассмотрены интегральные квадратичные критерии и определения экстремали, доставляющие минимум этим оценкам. При этом известна была система управления с заранее определенными корректирующими цепями. Параметры корректирующих цепей выбирались таким образом, чтобы получить минимальное значение принятой интегральной оценки.

Можно пойти по другому пути. Определить уравнение регулятора, при котором выбранный критерий оптимальности достигал бы минимума. При этом предполагается, что дана математическая модель объекта управления, а закон управления им заранее неизвестен. Задача определения уравнения регулятора называется

аналитическим конструированием регуляторов.

Прежде чем приступить к аналитическому конструированию регуляторов, рассмотрим критерии оптимальности, содержащие помимо координат еще и управление.

Как известно, минимизация критериев J1, J2 при условии (7.12) относится к решению задачи на условный экстремум вариационного исчисления.

Поэтому функционалы J1(u), J2(u) при наличии ограничений на управление и на координаты приводятся к одному функционалу. Например,

J (u) = ∞∫(

+ C

)dt

(7.13)

или

J (u) = ∞∫(x2 + C

)dt,

J (u) = ∞∫(x2 + Cu2 )dt,

(7.14)

или

J (u) = ∞∫(x2 +Cu2 +C1u2 + +Cr (ur )2 )dt,

(7.15)

где Сi – множители0Лагранжа.

Введение в функционал управляющего сигнала фактически приводит к обобщенной интегральной оценке. Действительно, имеем дифференциальное уравнение системы

d n x	d n−1x		(7.16)
dtn	+ an dtn−1	+ + a1x = u .	(7.16)

Подставим (7.16 ) в (7.14). В результате получим

J (u) = ∞∫(x2 +C(x(n) + an x(n−1) + + a1x)2 )dt =

	0	(7.17)
	= ∞∫(x2 +t12 x2 + +tn2 (x(n) )2 )dt + const,	(7.17)
	= ∞∫(x2 +t12 x2 + +tn2 (x(n) )2 )dt + const,

т. е. обобщенную интегральную квадратичную оценку. Ограничения управляющего сигнала приводит к ограничению

всех координат объекта. Поэтому системы, синтезированные по этим оценкам, обеспечивают плавные процессы с небольшим перерегулированием.

Применение квадратичных оценок дает в результате расчетов линейный закон управления

			n
		u = ∑pi xi ,		(7.18)
		i=1
и	поэтому	системы,	удовлетворяющие	минимуму
J (u) =	∞∫(x2 +Cu2 )dt,	называются	линейными оптимальными си-

стемами, а определение закона управления, доставляющего ми-

нимум J(u), – аналитическим конструированием оптимального регулятора.

Стабилизация систем относительно положения равновесия с помощью законов управления, обеспечивающих минимум

J (u) = ∞∫(x2 +Cu2 )dt, называется оптимальной стабилизацией.

Функционалы, отличные от квадратичных, обеспечивают нелинейные законы управления и поэтому вся система управления для достижения минимума этих оценок должна быть нелинейной.

Вывод. В лекции рассмотрено аналитическое конструирование оптимальных регуляторов (АКОР). Сущность теории АКОР состоит в том, что закон изменения управляемой координаты и управляющего воздействия задается аналитически в виде некото-

рого функционала J (x,u) , который нужно минимизировать под-

бором управляющего воздействия. Зная алгоритм управления U (t) или U (x) , конструируют регулятор.

Вопросы для самопроверки

1.В чем сущность теории аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР)?

2.Какие требования предъявляются при выборе критериев качества?

3. Какой геометрический смысл имеет критерий J1 = ∞∫x(t)dt

и в чем его существенный недостаток?

4. Какой геометрический смысл имеет критерий J2 = ∞∫x2dt и

в чем его недостаток?

5. В чем заключается смысл обобщенного интегрального критерия?

6. Каким экстремалям соответствуют минимумы критериев

(7.2) и (7.4)?

7. Как определить весовые константы по заданному уравнению экстремали?

8. Какие системы называются линейными оптимальными системами?

9. Что называется оптимальной стабилизацией?

Литература

1.Певзнер Л. Д., Чураков Е. П. Математические основы теории систем: учебное пособие. М.: Высшая школа, 2009. 503 с.: ил.

2.Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1998. 574 с.

3.Ванько В. И., Ермошина О. В., Кувыркин Г. Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление: учебник для вузов / под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. 2-е изд. М.: Изд-во МГТУ, 2001. 488 с.

4.Куропаткин П. В. Оптимальные и адаптивные системы: учеб. пособие для вузов. М.: Высш. школа, 1980. 287 с.

Раздел 8. АНАЛИТИЧЕСКОЕ КОНСТРУИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ (АКОР) С ПОМОЩЬЮ КЛАССИЧЕСКОГО ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ, ПРИНЦИПА МАКСИМУМА И МЕТОДА ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

План

8.1.Аналитическое конструирование регуляторов с помощью классического вариационного исчисления.

8.2.Аналитическое конструирование регуляторов с помощью принципа максимума.

8.3.Аналитическое конструирование регуляторов методом динамического программирования.

8.1.Аналитическое конструирование регуляторов

с помощью классического вариационного исчисления

Пусть объект управления описывается линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами


a		d 2 x		+ a	dx	+ x = ku .	(8.1)
	2 dt				dt
			2	1

Требуется определить закон управления u при переводе координат из начального положения x(0) = x0, x′(0) = 0 в конечное x(∞) = x′ (∞) = 0 при условии, чтобы следующий интеграл имел минимум

J (u) = ∞∫(x2 +Cu2 )dt,

Имеем задачу Лагранжа на условный экстремум. Действительно, задан функционал J (u) и уравнение связи, которые получаются

приведением исходного уравнения (8.1) к нормальной форме

x1 = x2 ;

(8.2)

x2 = 1a (−x1 − a1x2 + ku),

где x1 = x .

Запишем уравнения связи (8.2) в несколько иной форме

f		(x	, x	,u) = x	− x		= 0;
	1	1	2	1		2		(8.3)
		(x1, x2		,u) = x2		1	(−x1 − a1x2 + ku) = 0.	(8.3)
f2		(x1, x2		,u) = x2	−	a	(−x1 − a1x2 + ku) = 0.
						a

Введем множители Лагранжа λi и составим новую функцию

2	+ cu	2	+ λ1 (x1		−	1	(−x1 − a1x2
L = x1	+ cu		+ λ1 (x1	− x2 ) + λ2 x2	−	a	(−x1 − a1x2	+ ku) .
						a

Далее запишем уравнения Эйлера:

∂L

−

∂L

= 2x +

− dλ1 = 0;

∂x

dt ∂x

∂L

d ∂L

dλ

−

= −λ1

λ2 −

= 0;

(8.4)

∂x2

dt ∂x2

∂L

−

∂L

= 2cu −

= 0.

∂u

dt ∂u

Из последнего выражения системы (8.4) определим

u = k λ2 . 2a2c

Необходимо определить λ2. Подставляя полученное значение u в уравнение объекта с учетом системы (8.4) получим систему уравнений:

x1 = x2 ;
		1	−x − a x +					k2	λ
x	=	1						k2		;
x	=							2a2c		;
2		a2		1 1 2				2a2c
2				1 1 2					2
											(8.5)
λ1	= 2x1 +			1		λ2 ;					(8.5)
				1

				a2
λ2	= −λ1 +				a1		λ2 .
					a1

					a2

Для определения закона управления u из системы необходимо найти λ2. Для этого составим характеристический определитель системы уравнений:

	−a		1			0	0			2
	−a		1			0	0
		1		a1		0			k
	−		−		−a

		a		a						2	c
		a		a				2a			c
∆(λ) =		2	2							2		.	(8.6)
		2	0			−a	1					.
							1
									a2
									a2
		0	0			−1	a1			−a
		0	0			−1	a			−a
							a
							2

Раскрывая определитель и приравнивая его к нулю, получим характеристическое уравнение

		2	2	1		2
a4	+		− a12 a2 +		+	k		= 0 .
		a		2		2	c
			a	a		a
		2	2	2		2

Так как характеристическое уравнение четной степени, то будем иметь пару корней α1 и α2, расположенных в левой полуплоскости, и пару корней α3 и α4 – в правой полуплоскости. Система предполагается устойчивой, т. е. при t → ∞, x → 0, поэтому корнями α3 и α4 пренебрегаем. Тогда можно записать решения для x1, x2, λ1, λ2:

x1 x2

λ1 λ2

=∆1 (α1 )c1eα1t

=∆2 (α1 )c1eα1t

=∆3 (α1 )c1eα1t

=∆4 (α1 )c1eα1t

+ ∆ (α )c eα2t ;
1	2	2
+ ∆2 (α
		2 )c2eα2t ;		(8.7)
+ ∆3 (α2 )c2eα2t
			;
+ ∆4 (α		α2t
		2 )c2e	,

где ∆i (αj )(i =1, , 4; j =1, 2) – алгебраические дополнения мино-

ров, соответствующие элементамодной из строк определителя (8.6). Из полученной системы (8.7) исключаем c1eα1t и c2eα2t .

Например, из первого и второго уравнений этой системы можно

определить c eα1t	и c eα2t	как функции x1, x2.
1	2
Подставляя затем эти выражения в уравнения для λ1, λ2, полу-
чим линейные зависимости координат λ1, λ2									от координат x1, x2:
			/		/
		l1 = l1 x1			+l2 x2 ;				(8.8)
		l	= l	x	+l		x		(8.8)
		l	= l	x	+l	2	x	,
		2	1	1		2	2

где l1,2 = f (∆i (lj )) .

Подставляя λ2 из (8.8) в выражение u =			k	λ	, определяем
Подставляя λ2 из (8.8) в выражение u =			2a c	λ	, определяем
			2a c	2
окончательно оптимальный закон управления			2
окончательно оптимальный закон управления
u =	k	(l1x1 +l2 x2 ) = p1x1 + p2 x2 .			(8.9)
u =	2a c	(l1x1 +l2 x2 ) = p1x1 + p2 x2 .			(8.9)
	2a c
	2

Аналогичное решение можно привести и для линейной системы n-го порядка, в результате чего можно записать закон управления в общем виде

n
u = ∑pi xi .	(8.10)

i=1

Определение закона управления U(x1, x2) достаточно сложно из-за большого объема вычислений при решении системы уравнений Эйлера.

Рассмотрим более простой метод определения искомых коэффициентов регулятора pi.

Так как имеется характеристическое уравнение замкнутой системы, полученное из уравнений Эйлера, то его можно представить в виде

(α −α	)(α −α	2	) =α2	−(α	1	+α	2	)α +α α	2	= 0 ,	(8.11)
1		2			1		2	1	2

где α1, α2 – корни характеристического уравнения замкнутой оптимальной системы с учетом закона управления (8.9).

Из уравнений регулятора и объекта составим следующую систему:

x1 = x2 ;
		1
x2	=	1	(−x1	− a1x2			(8.12)
x2	=	a	(−x1	− a1x2		+ ku);	(8.12)
		a			,
u = p x + p x					,
		1	1	2 2

для которой можно записать дифференциальное уравнение

a	d 2 x	+ (a	− kp )	dx
	1			1 + (1− kp )x = 0
2	dt2	1	2	dt	1 1
и соответствующее ему характеристическое уравнение
	a2a2 + (a1 − kp2 )a + (1− kp1 ) = 0 .
Приравнивая	коэффициенты при				одинаковых степенях α

в (8.11) и (8.13), получим выражения для коэффициентов:

p	=	1− a2a1a2	;
		k
1

		a	− a	(a		+a		)		(8.14)
p	=	1	2		1		2		.
p	=								.
	2			k
				k

Можно упростить решение задачи, применяя уравнение Эйлера – Пуассона. Это упрощение позволит устранить трудности, связанные с раскрытием определителя (8.6).

Составим функцию L, учитывая критерий оптимальности и уравнение объекта управления

L = x2 + cU 2 + λϕ(x, x, x,u) = 0 ,

где ϕ = a2 x + a1x + x −ku = 0 – уравнение связи. Запишем уравнение Эйлера – Пуассона

∂L		d		2
∂L	−	d	∂L	+	d		∂L	= 2x + λ − a1λ + a2	λ = 0;
	−			+	dt	2	∂L	= 2x + λ − a1λ + a2	λ = 0;
∂x dt ∂x					dt		∂x
∂L		d ∂L
∂L	−	d ∂L		= 2cu −λk = 0.

∂u		dt ∂u
∂u		dt ∂u

К полученным уравнениям добавим уравнение связи

2x + λ − a1λ + a2λ = 0; 2cu −λk = 0;

a2 x + a1x + x − ku = 0.

Исключив λ и u, получим характеристическое уравнение c(a2a2 + a1a +1)(a2a2 − a1a +1) + k2 = 0 .

(8.15)

(8.16)

(8.17)

(8.18)

Далее порядок действий для определения U(x1, x2) остается прежним.

Данную методику можно распространить и на систему, которая описывается линейным дифференциальным уравнениемn-го порядка.

8.2. Аналитическое конструирование регуляторов с помощью принципа максимума

Допустим, что объект управления описывается уравнением

dx	= a1x +u .	(8.19)
dt
	70

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]