Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

ного регулятора, обеспечивающего оптимальные процессы, которые определяются уравнениями (10.36)–(10.39):

- пропорциональный регулятор (П-регулятор), если B = D = 0:

u = (A/ D)y ;					(10.43)
- идеальный дифференцирующий регулятор (Д-регулятор), ес-
ли A = D = 0:
u = (B / C)y ;					(10.44)
- интегрирующий регулятор (И-регулятор), если C = B = 0:
u =	A	∫t	y(t)dt ;		(10.45)
u =	D	∫t	y(t)dt ;		(10.45)
	D	0
- инерционный пропорциональный регулятор, если B = 0:
Du +Cu = Ay ;					(10.46)
- пропорционально-дифференцирующий регулятор (ПД-
регулятор), если D = 0:
u = Ay / C + By / C ;					(10.47)
- пропорционально-интегрирующий регулятор (ПИ-регулятор),
если С = 0:
u = ko.c1 y + ko.c2 ∫t				y(t)dt ,	(10.48)
			0

где ko.c1 = B / D, ko.c2 = A/ D .

П- и ПД-регуляторы имеют тот недостаток, что при наличии постоянных возмущающих воздействий существует статическая ошибка; Д-регулятор вообще не обеспечивает стабилизацию выхода. Наиболее целесообразно в качестве регулятора оптимальной стабилизации выхода объекта принять ПИ-регулятор (10.48), обеспечивающий нулевую статическую ошибку.

На основании (10.30) и (10.48) составим структурную схему системы оптимальной стабилизации выхода объекта (рисунок 10.6). Далее произведем моделирование полученной системы с целью определения оптимальных значений параметров настройки

ko.c1 , ko.c2 регулятора с передаточной функцией

K p ( p) = ko.c1 + ko.c2 / p .

Анализируя процессы при коэффициенте q2 > 0, устанавливаем, что чем больше этот коэффициент (больше «штраф»), тем

больше длительность процесса и меньше колебательность. При q2 < 0 (принимается «поощрение») процессы становятся колебательными. Значение весовых коэффициентов можно выбирать, применяя методы корневых годографов (см. пример 1) или моделируя (см. пример 2).

Рис. 10.6. Структурная схема оптимальной системы

Вывод. В лекции 10 рассмотрены вопросы синтеза оптимального управления в стационарных линейных системах. Даны примеры оптимизации типовых объектов второго порядка изусловия минимума квадратичного функционала при детерминированных сигналах.

Вопросы для самопроверки

1.В чем заключается задача синтеза оптимального управления в стационарных линейных системах?

2.Какое требование предъявляется к матрице K?

3.В каком виде определяется закон оптимального управления

встационарных линейных системах?

Литература

1.Певзнер Л. Д., Чураков Е. П. Математические основы теории систем: учебное пособие. М.: Высшая школа, 2009. 503 с.:

2.Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1998. 574 с.

3.Ванько В. И., Ермошина О. В., Кувыркин Г. Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление: учебник для вузов / под. ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. 2-е изд. М.: Изд-во МГТУ, 2001. 488 с.

4.Куропаткин П. В. Оптимальные и адаптивные системы: учеб. пособие для вузов. М.: Высш. школа, 1980. 287 с.

Раздел 11. АНАЛИТИЧЕСКОЕ КОНСТРУИРОВАНИЕ РЕГУЛЯТОРОВ ПРИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ВНЕШНИХ ВОЗМУЩЕНИЯХ

План

1.Этапы решения задачи АКОР при детерминированных внешних возмущениях.

2.Примеры нахождения закона управления, обеспечивающего оптимальную стабилизацию режимов работы объекта из условия минимума функционала.

Пусть объект управления описывается уравнением

X = AX + BU +WF ,

(11.1)

где A и B – постоянные матрицы; W – постоянная матрица размерностьюn ×µ; F – вектор возмущений размерностью μ.

Компоненты этого вектора должны удовлетворять следующим условиям:

1)все элементы fi(t), i = 1… μ, должны быть измеряемы в любой момент времени t [0;∞];

2)все элементы fi(t) для любого момента времени должны быть ограничены

fi (t)		≤ fi ,	i =1 µ;

3) все компонентыfi(t) должны быть исчезающими функциями

limt→∞ fi (t) = 0, i =1 m.

Требуется найти такое управление, чтобы при движении системы, вызванном произвольными начальными отклонениями и произвольными возмущениями, принимал бы минимум следующий критерий

∞
J = ∫		T	QX +U	T		(11.2)
J = ∫	X		QX +U		RU dt..	(11.2)

Управление в таких системах ищется в следующем виде

U = CT X +	1 BT L(t),	(11.3)
	2

где С – матрица коэффициентов настроек регуляторов;L – некоторая матрица, которая должны быть найдена при синтезе регулятора.

Аналитическое конструирование регуляторов для таких систем выполняется в два этапа:

1)определяется матрица С параметров настроек по методу динамического программирования при нулевых возмущениях;

2)определяются компоненты матрицы L(t) путем решения дифференциальных уравнений

L = −(A + BCT )L −(K + KT )WF .

(11.4)

После этого определяются элементы вектора оптимального управления.

Пример. Определить оптимальное управление U*(x), обеспечивающее оптимальную стабилизацию режимов работы объекта

x = ax +bu + wf							из	условия	минимума	функционала
	∞
J	= ∫		2	+ ru	2		q = r =1.
J	= ∫	qx		+ ru		dt,	q = r =1.

Решение Чтобы решить задачу синтеза оптимальной системы исполь-

зуем метод динамического программирования. Запишем уравнения Беллмана

x2	+u2 +			∂S	[ax +bu + wf ]= −	∂S	;
				∂x		∂t
		∂S
		∂S	b = 0.
2u +		∂x	b = 0.
		∂x

Из второго уравнения (11.5) получим

u = −12 b ∂∂Sx .

Выберем вспомогательную функцию

S = kx2 +l1x +l0 ,

(11.5)

(11.6)

(11.7)

где l, l0 – функции времени.

Продифференцировав (11.7) по x и t и подставив в (11.5) и (11.6), получим

∂S = 2kx +l ;
	∂x			1


	∂S			,
		= l x +l
	∂t	1	0

x	2	+ (2kx +l1 ) [ax + wf		]−	1						2			(11.8)
x		+ (2kx +l1 ) [ax + wf		]−	4	[2kxb +l1b]						= − l1x +l0	.	(11.8)
					4
После преобразований (11.8) получим управления, определя-
ющие неизвестные k:
							2	b	2	= 0;
			1+ 2ka − k					b		= 0;				(11.9)
			2kwf	+l1a − kb2l1 = −l1;										(11.9)
			−0,25 l2b				2 + wf l				= −l .
					1					1		0
Затем решаем −l			= 2kwf +l a − kb2l								и находим U:
		1			1					1
		U = −	1 b[2kx +l1				]= −bkx				− 1 bl1 (t) .			(11.10)
			2								2

Вывод. В лекции 11 рассмотрены вопросы аналитического конструирования регуляторов при детерминированных внешних возмущениях.

Приведен пример определения оптимального управления U*(x), обеспечивающего оптимальную стабилизацию режимов работыобъекта x = ax +bu + wf из условия минимума функционала

J = ∞∫ qx2 + ru2 dt, q = r =1. Для решения задачи синтеза оптималь-

нойсистемыиспользованметоддинамического программирования.

Вопросы для самопроверки

1.Каким условиям должны удовлетворять компоненты вектора возмущений F?

2.В каком виде определяется закон управления?

3.Назовите этапы решения задачи АКОР при детерминированных внешних возмущениях.

Литература

1.Певзнер Л. Д., Чураков Е. П. Математические основы теории систем: учебное пособие. М.: Высшая школа, 2009. 503 с.:

4.Куропаткин П. В. Оптимальные и адаптивные системы: учеб. пособие для вузов. М.: Высш. школа, 1980. 287 с.

Раздел 12. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО ПИ-РЕГУЛЯТОРА

План

1.Синтез оптимального ПИ-регулятора.

2.Пример синтеза оптимального закона управления.

Пусть уравнение линейной стационарной системы имеет вид

	X	AX	BU ,	(12.1)
краевые условия имеют вид X (tн )			X н , X ( )	0 .
Зададим критерий управления в следующем виде
J	X T QX	U T RU U T SU dt ,		(12.2)

tн

где Q, R – неотрицательно определенные матрицы; S – положительно определенная симметричная матрица.

Требуется найти такой вектор управления, который бы минимизировал данный критерий. При этом будет считаться заданным параметр

U (tн ) Uн .

(12.3)

Введем новые переменные

	X	.	(12.4)
V U , Z	U

Обозначим матрицы

A1	A	B	, B1		, Q1	Q	0	, R1 S.	(12.5)
A1	A	B	, B1	0	, Q1	Q	0	, R1 S.	(12.5)
	0	0		I		0	R

Запишем уравнение движения и критерий управления в новых координатах

	Z A1Z B1V ,		(12.6)

J	Z T Q Z V T R V dt .		(12.7)
	1	1

tн

Используя процедуру метода динамического программирования, можно определить оптимальное значение вектора V:

V R	1BT KZ ,	(12.8)
1	1

где K – решение матричного уравнения Риккати

AT K

KB R

1BT K

Q .

(12.9)

Пусть это решение имеет вид

K T

(12.10)

K21

K22

Тогда оптимальное управление при заданных начальных

условиях определяется следующим образом:

K11

K21T

K21 X S

K22U *

C1 X C2U .

(12.11)

U *

K21

K22

U *

Из исходного уравнения движения (12.1) получим

U B 1 ( X AX ) (BT B) 1 B 1 ( X AX )

(12.12)

Продифференцируем это уравнение по времени и подставим

соотношение для расчета оптимального управления

U* C X C

(BT B) 1 B 1

( X AX )

(12.13)

C (BT B) 1 B 1 X (C C

(BT B)

1 B 1 A) X C X C

X .

Проинтегрируем выражение (12.13) по времени и получим

U * (t)

U (tн )

C3 (x(t)

x(tн ))

xdt

C5 C3 x(t) C4 x(t)dt

(12.14)

Таким образом, оптимальное управление будет реализовано в виде ПИ-регулятора.

Структурная схема системы с таким регулятором будет иметь вид, представленный на рис. 12.1.

X AX BU

C5 C3

Рис. 12.1. Структурная схема оптимальной системы

Пример. Для объекта управления вида: x ax bu введем новые переменные:


		Z =		x		,	V =U ,
		Z =		x		,	V =U ,
				u
A =	a b	, B =	0		,		Q =	q 0		, R = S .
A =	a b	, B =	0		,		Q =	q 0		, R = S .
1	0 0	1	1				1	0	r	1
	0 0		1					0	r

q=[q], r =[r], S−1 = S−1

изапишем уравнение Риккати в виде

= −

k11

k12

−

a 0

k11

k12

+ k11

k12

S−1

0 1

k11

k12 −

k21

k22

k21

k22

Определим оптимальное значение вектора V по (12.8)

V* = −S−1

0 1

k11

k12

= − k21

x −

k22

u* = u * .

k21

k22

u *

Из уравнения движения объекта найдем u * u* = b1 x − ba x

и подставим в предыдущее выражение для u *

	k			k	22		1			a
u* = −		21	x −					x	−		x .
				S						b
	S					b

Откуда при x0 = u0 = 0 получим ПИ-закон управления

u = kbS22 x + k21abS− k22 ∫xdt .

Вывод. В лекции 12 рассмотрены вопросы синтеза оптимального ПИ-регулятора.

Приведен пример определения оптимального управления U*(x), обеспечивающего оптимальную стабилизацию режимов работы объекта x = ax +bu .

Вопросы для самопроверки

1.Сформулируйте задачу синтеза оптимального ПИрегулятора.

2.Как определяется оптимальное управление при синтезе ПИрегулятора?

3. Изобразите структурную схему оптимальной системы с ПИ-регулятором и объектом управления в виде X = AX + BU .

Литература

1.Певзнер Л. Д., Чураков Е. П. Математические основы теории систем: учебное пособие. М.: Высшая школа, 2009. 503 с.:

4.Куропаткин П. В. Оптимальные и адаптивные системы: учеб. пособие для вузов. М.: Высш. школа, 1980. 287 с.

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]