Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов. Учебное пособие

Раздел 13. КВАЗИОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

План

1.Понятие квазиоптимальных систем автоматического управления.

2.Способы синтеза квазиоптимальных систем управления.

3.Синтез оптимального управления для предварительного упрощенного объекта, порядок дифференциального уравнения динамики которого заранее понижается.

Системы, рассмотренные ранее, являются оптимальными лишь в идеальных случаях. Действительно, оптимальное управление находят для математической модели, приближенно заменяющей реальную систему. Реализация моментов переключения с большой точностью затруднительна, так как реле имеют зону нечувствительности, гистерезис, конечное время срабатывания. В качестве релейных элементов часто используются звенья с насыщением, имеющие определенную зону линейности. При малых сигналах такие оптимальные системы работают как обыкновенные замкнутые линейные системы. Фазовые координаты системы измеряют с определенными погрешностями, из-за которых не удается получить строго оптимальное управление. Следовательно, любая практически выполненная система всегда отличается от оптимального управления, т. е. реальные системы являются близкими к оптимальным, или квазиоптимальными.

Кроме того, часто реализация оптимальной системы на практике бывает настолько сложной, что оказывается экономически невыгодной. Поэтому в ряде случаев рационально сразу проектировать не строго оптимальную систему, а квазиоптимальную, но более простую. Причем выигрыш от упрощения системы значительно превосходит проигрыш от ухудшения качества.

Имеется два основных способа синтеза квазиоптимальных систем управления, позволяющих сократить количество интервалов управления: 1) синтез оптимального управления для предварительного упрощенного объекта, порядок дифференциального уравнения динамики которого заранее понижается; 2) упрощение

101

предварительно найденного строго оптимального управления путем пренебрежения отдельными интервалами.

Первый способ синтеза квазиоптимальных САУ основан на предварительном упрощении уравнения динамики объекта посредством линеаризации для отбрасывания нелинейностей, а также снижении порядка уравнения динамики до второго или максимума третьего порядка. Обычно рекомендуется пренебрегать постоянными времени, значения которых на порядок меньше остальных. В случае, когда объект управления нельзя разбить на отдельные звенья, находят корни характеристического уравнения, соответствующего дифференциальному уравнению динамики объекта. Часть корней может быть более чем в десять раз больше остальных. Известно, что большим корням (имеются в виду корни с отрицательными вещественными частями) соответствуют быстро затухающие переходные процессы, которые оказывают незна-

чительное влияние на вектор состояния X , а поэтому ими можно пренебречь. Таким образом, пренебрегая некоторыми постоянными времени или корнями характеристического уравнения, снижают порядок уравнения динамики объекта.

Недостатком метода предварительного снижения порядка уравнения динамики объекта является отсутствие общей оценки степени отклонения от точного оптимального процесса, поскольку последний не определяется.

Для уменьшения погрешности, допускаемой при отбрасывании малых постоянных времени уравнения динамики объекта, следует соответственно увеличивать учитываемые постоянные времени или вводить дополнительное время запаздывания.

При втором способе синтеза квазиоптимальных САУ вначале синтезируют строго оптимальное управление, а затем пренебрегают отдельными интервалами управления. Здесь в процессе упрощения имеется возможность сравнения с точным оптимальным процессом и, следовательно, возможна оценка степени отклонения от точного оптимального процесса.

В основу выбора интервалов управления, которыми можно пренебречь, положены следующие соображения. При определенных соотношениях параметров объекта, граничных условий и вектора управления, наряду с достаточно большими интервалами управления, встречаются очень малые интервалы управления,

102

например, длительностью десятые и сотые доли секунд. В ряде случаев такие интервалы невозможно реализовать на основе имеющейся аппаратуры и ими приходится пренебрегать. Поскольку вектор состояния не может сильно измениться за такой очень малый промежуток времени, то ошибка при этом получается достаточно малой. Кроме того, при построении квазиоптимальной системы зачастую сознательно пренебрегают некоторыми интервалами управления. Так, исходя из условия достижения цели управления с заданной точностью, отбрасывают последние интервалы управления, которые, как правило, значительно меньше первых.

Пусть объект управления описывается уравнением динамики

Строго оптимальное управление таким объектом предполагает наличие двух интервалов управления и одной смены знака. Попытаемся управлять таким объектом с помощью только одного интервала управления. Задаваясь допустимым отклонением век-

тора состояния X в виде ошибки ∆X , переключение управляющего воздействия необходимо выполнять так, чтобы не превышать допустимых отклонений вектора состояния. Пусть началь-

ные условия имеют вид x0 = x0′ = 0 , а за конечное состояние объекта принимаем значение координаты xCТ + ∆x (рис. 13.1).

Для определения моментов переключения воспользуемся методом исключения постоянных интегрирования. Пусть известен момент переключения t1 и время t2, за которое координата х достигает максимального значения. Запишем следующие решения для отдельных моментов времени.

Для точки максимума при t = t2 (рис. 13.1)

Трансцендентные уравнения (13.5) с двумя неизвестными t1 и t2 решаются численным методом. Например, задаемся временем t2 и определяем из уравнений (13.5) время t2. Далее строим две функции t1 = f1(t2), и t2 = f2(t2), соответствующие двум уравнениям. Точка пересечения этих функций дает значения t1 и t2. Следовательно, задача определения момента переключения t1 в зависимости от перерегулирования x решена.

Уменьшение числа интервалов управления можно использовать также при построении квазиоптимального автомата. В замкнутых системах, близких к оптимальным, при уменьшении количества интервалов управления, а следовательно, и при уменьшении числа переходов функции через нуль, соответственно сокращается количество обратных связей по координатам вектора

X , характеризующего состояние системы. Учитывая сложность замера высших производных, в качестве контролируемых состав-

ляющих вектора X обычно выбирают саму координату и ее первую и, реже, вторую производные. Определение количества интервалов управления, необходимых для получения достаточной точности, производится рассмотренным выше способом.

Упрощение в реализации оптимального автомата, неточность в математическом описании объекта (в том числе неучтенные нелинейности типа сухое трение, люфт) приводят к изменению моментов переключения. В определенных условиях возможно возникновение предельного цикла в окрестности начала координат.

Как и для замкнутых оптимальных систем, в замкнутых квазиоптимальных системах иногда для устранения автоколебаний целесообразно применять вместо релейного элемента усилитель с насыщением и линейной зоной, характеристика которого показана на рис. 13.2. При коэффициенте k → ∞ получим идеальный релейный элемент.

105

Рис. 13.2. Характеристика усилителя с насыщением

На рис. 13.3а показаны соответствующие фазовые траектории, причем в качестве фазовых координат выбраны ошибка ε и

ее первая производная ε′.

Линии BB′ и CC′ ограничивают зону линейности. При εл → 0 они стягиваются в линию переключения ОА. На участке насыщения движение осуществляется по оптимальной траектории DB, как для релейного элемента. Так как 2εл <<ε0 и в момент пе-

реключения система имеет большую скорость ε1 , можно предположить, что на участке ВС в линейной зоне траектория существенно не изменится и будет иметь такой же вид, что и при U = Umax. Для более точного построения фазовых траекторий необходимо на участке ВС найти соответствующие уравнения. В точке С усилитель снова выходит в режим насыщения, что соответствует моменту переключения на торможение. В точке Е скорость равна нулю и в дальнейшем в результате колебательного переходного процесса в зоне линейности система приходит в начало координат. Это объясняется наличием нелинейной обратной связи по скорости.

106

Рис. 13.3. Фазовые траектории в системе с зоной линейности

Для двух интегрирующих звеньев, включенных последовательно, имеет место квадратичная обратная связь по скорости. Кроме того, известно, что коэффициент обратной связи по скорости в системе второго порядка определяет собой коэффициент демпфирования. Для увеличения последнего в окрестности начала координат при небольших ошибках желательно нелинейную обратную связь по скорости переключать на линейную (рисунок 13.3б). Задача может быть решена при помощи переменного критерия оптимальности. При больших сигналах рассогласования в качестве критерия оптимальности используется максимальное

быстродействие, т. е. min I1 = T∫dt , а вблизи начала координат –

0

квадратичный критерий оптимальности min I2 = T∫(x2 +bU 2 )dt .

0

Последнему, как известно, удовлетворяет линейное управление. На рис. 13.4 показаны фазовые траектории для системы, в ко-

торой нелинейная связь по скорости заменена линейной. Предполагается, что система описывается уравнением динамики второго

порядка. Пусть начальной ошибке ε2 соответствует оптимальная

траектория DAO. Кривая ОВ является линией переключения оптимальной системы.

Введение линейной обратной связи по скорости при сохранении релейного управления означает замену линии переключения ОВ прямой ОВ', проходящей через точку А. Теперь момент пере-

107

ключения с участка разгона на участок торможения определяется пересечением траектории разгона с прямой ОВ', причем функция переключения описывается линейным уравнением. Однако при линейной обратной связи по скорости идеальный оптимальный процесс получается только при одном значении ошибки рассогласования, соответствующем попаданию в точку А на линии пере-

ключения. Для ε3 >ε2 переключение происходит в точке А", т. е.

за линией строго оптимального переключения, и поэтому получим переходный процесс с перерегулированием. При ε1 <ε2 переклю-

чение происходит в точке А', т. е. до линии переключения ОВ. Вследствие этого при движении к началу координат будут еще дополнительные переключения на прямой ОВ', являющейся линией переключения при квазиоптимальном управлении. При определенных условиях в системе возникает скользящий режим, характерный для оптимальных релейных систем.

Рис. 13.4. Фазовые траектории в системе, где нелинейная обратная связь заменена линейной

Вывод. Системы, рассмотренные ранее, являются оптимальными лишь в идеальных случаях. Любая практически выполненная система всегда отличается от оптимального управления, т. е. реальные системы являются близкими к оптимальным, или квазиоптимальными, рассмотренными в лекции 13.

108

Кроме того, часто реализация оптимальной системы на практике бывает настолько сложной, что оказывается экономически невыгодной. Поэтому в ряде случаев рационально сразу проектировать не строго оптимальную систему, а квазиоптимальную, но более простую. Причем выигрыш от упрощения системы значительно превосходит проигрыш от ухудшения качества.

В лекции 13 рассмотрены два основных способа синтеза квазиоптимальных систем управления, позволяющих сократить количество интервалов управления: 1) синтез оптимального управления для предварительного упрощенного объекта, порядок дифференциального уравнения динамики которого заранее понижается; 2) упрощение предварительно найденного строго оптимального управления путем пренебрежения отдельными интервалами.

Вопросы для самопроверки

1.Что называется квазиоптимальной системой?

2.Сформулируйте основные способы синтеза квазиоптимальных систем управления.

3.В чем заключается синтез оптимального управления для предварительного упрощенного объекта, порядок дифференциального уравнения динамики которого заранее понижается?

4.В чем заключается упрощение предварительно найденного строго оптимального управления путем пренебрежения отдельными интервалами?

Литература

1.Певзнер Л. Д., Чураков Е. П. Математические основы теории систем: учебное пособие. М.: Высшая школа, 2009. 503 с.:

2.Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1998. 574 с.

3.Ванько В. И., Ермошина О. В., Кувыркин Г. Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление: учебник для вузов / под. ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. 2-е изд. М.: Изд-во МГТУ, 2001. 488 с.

4.Куропаткин П. В. Оптимальные и адаптивные системы: учеб. пособие для вузов. М.: Высш. школа, 1980. 287 с.

109

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Создание новой техники требует разработки адекватных методов для ее управления. Объектами управления (ОУ) могут быть живые организмы, коллективы людей, научно-производственные предприятия, производственные процессы, отдельные станки, машины и т. п.

Взависимости от типа объекта управления задачи управления могут быть самыми различными: от самых простых систем регулирования, поддерживающих неизменным какой-либо параметр объекта управления, например скорость полета самолета, до сложных, содержащих десятки управляющих вычислительных машин (УВМ), решающих задачи оптимального управления множеством процессов, например при создании образцов новой техники в научно-производственном предприятии.

При синтезе систем управления прежде всего возникает вопрос о нахождении наилучшего в том или ином смысле или оптимального управления объектом или процессом. Речь может идти об оптимальности в смысле быстродействия, т. е. достижении цели за кратчайшее время или, например, о достижении цели с минимальной ошибкой и т. д.

Внастоящее время в связи с бурным развитием средств вычислительной техники получили распространение различные вычислительные методы оптимизации, например методы динамического программирования, генетические алгоритмы, методы, основанные на теории нейронных сетей. Методы оптимальной теории управления опираются на знание математической модели объекта

ивходящих в эту модель параметров. Оптимальный закон управления обычно существенно зависит от параметров задачи.

Для решения задач оптимизации в 60-е годы Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе и Е. Ф. Мищенко был предложен новый подход – знаменитый принцип максимума Понтрягина. Это положило начало современной теории оптимального управления. Применяя принцип максимума, удалось решить много новых оптимизационных задач. Дальнейшее развитие теория получила в трудах: В. М. Алексеева, Р. К. Габасова, А. Я. Дубовикого, В. И. Зубова, В. Ф. Демьянова, Н. Н. Красовского, В. Ф. Кротова, Ф. М. Кирилловой, А. М. Летова, К. А. Лурье, Н. Н. Моисеева,

110