Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов. Учебное пособие

Литература

1.Певзнер Л. Д., Чураков Е. П. Математические основы теории систем: учебное пособие. М.: Высшая школа, 2009. 503 с. : ил.

2.Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1998. 574 с.

3.Ванько В. И., Ермошина О. В., Кувыркин Г. Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление: учебник для вузов / под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. 2-е изд. М.: Изд-во МГТУ, 2001. 488 с.

4.Куропаткин П. В. Оптимальные и адаптивные системы: учеб. пособие для вузов. М.: Высш. школа, 1980. 287 с.

11

Раздел 2. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

План

2.1.Основные понятия вариационного исчисления.

2.2.Вариационные задачи с фиксированными концами.

2.3.Условие трансверсальности.

2.4.Вариационные задачи с подвижными концами.

2.5.Решение задач вариационного исчисления на условный экстремум (синтез оптимального управления).

2.1. Основные понятия вариационного исчисления

При решении задач конструирования оптимальных систем управления приходится иметь дело с функционалами. Задачи о нахождении функции, доставляющей экстремум функционалу, составляют предмет изучения специального раздела математики –

вариационного исчисления.

Функционал является естественным обобщением понятия функция, используемым в математическом анализе. Поэтому кратко остановимся на свойствах экстремальных функций и функционалов. Каждому значению аргумента t из некоторой области изменения t соответствует значение x функции x(t). Аналогично каждой функции x(t) из некоторого класса функций x(t) соответствует значение J функционала J=J[x(t)]. Например, для

Приращением аргумента функции является разность∆t = t2 −t1 ,

приращением или вариацией δx аргумента x(t) функционала J[x(t)] – разность между двумя функциями δx = x2(t) – x1(t). В данном примере вариация

x = sin ω2t – sin ω1t.

Таким образом, функционал можно рассматривать как функцию особого рода, в которой роль независимой переменной играет другая функция.

12

Примером функционала общего вида может быть выражение:

J = ∫b f (t, x(t), x(t))dt .

a

В вариационном исчислении отыскиваются функции, которые доставляют функционалу значение, экстремальное по сравнению с его значением на некоторых других функциях. Естественно, что нужно точно определить, среди каких функций мы будем искать экстремум.

Подавляющее большинство инженерных задач имеют решения в классе кусочно-гладких и кусочно-непрерывных функций.

Функция x(t) непрерывна, если малому изменению t соответствует малое изменение x(t). Функционал непрерывен, если малому изменению x(t) соответствует малое изменение J. Для функционалов, содержащих производные от функций, понятие непрерывности усложняется. Считается, что функционал непрерывен, если малому изменению функции и ее производных соответствует малое приращение функционала. Здесь необходимо уточнить, какие изменения функции x(t), являющейся аргументом функционала, называется малыми или, что то же самое, какие кривые x = x2(t) и x = x1(t) считаются мало отличающимися или близкими.

Уточним понятие «близость».

Пусть на координатной плоскости заданы кривые x0 (t) и x(t) .

Считается, что они имеют близость нулевого порядка, если выполняется условие:

x(t) − x0 (t) ≤ε .

Если для всех производных по времени до k-го порядка включительно выполняется условие:

то считается, что кривые x0 (t) и x(t) имеют близость порядка k.

Разность между близкими кривыми называется вариацией переменных x:

δ x(t) = x(t) − x0 (t) . 13

Если функционал J[x(t)] достигает на кривой x0 (t) экстрему-

ма по отношению ко всем близким кривым нулевого порядка, то такой экстремум считается сильным.

Если экстремум достигается по отношению к кривым, имеющим близость 1-го порядка и выше, то он считается слабым.

Аналогично понятию линейной функции линейным функционалом называется функционал J[x(t)], удовлетворяющий следующим условиям:

J [cx(t)]= cJ [x(t)] и J [x1 (t)+ x2 (t)]= J [x1 (t)]+ J [x2 (t)]

где с – произвольная постоянная.

Если в приращении функции ∆x = x(t + ∆t) − x(t) можно вы-

делить линейную по отношению к t часть приращения, то она называется дифференциалом функции и обозначается dx. Анало-

приращения дает нам вариацию функционала, которая обозначается δJ. Известно, что если некоторая функция в точке t* имеет экстремум, то dx = 0. Соответственно для экстремума функционала необходимо, чтобы его вариация равнялась нулю, т. е. δJ = 0.

Таким образом, решением задачи отыскания экстремума функционала служит функция x = x*(t), при подстановке которой в выражение функционала его величина принимает экстремальное

функционалу J = π∫sinωk tdt , то любые вариации δ J ≠ 0 и только

0

та вариация δ J = 0 , для которой δx = sin ωкt – sin ωкt = 0. Функция, на которой вариация функционала δ J = 0 , называется экс-

тремаль.

В зависимости от того, придает функция x*(t) функционалу J[x(t)] максимальное или минимальное значение, она называется

максималью или минималью.

14

2.2. Вариационные задачи с фиксированными концами

Решение так называемого уравнения Эйлера является экстремалью. Рассмотрим упрощенный вывод этого уравнения. Исследуем на экстремум функционал

tн

Предполагаем, что искомая функция удовлетворяет краевым условиям X(tн)=Xн; X(tк)=Xк. Иными словами, искомая кривая проходит через заданные точки А(t0,x0) и В(t1,x1) (рис. 2.1).

Рис. 2.1. К вариационной задаче с закрепленными концами

Такая задача называется вариационной задачей с закрепленными концами или с закрепленными граничными точками. Пред-

положим, что экстремум достигается на кривой x(t) (кривая 1). Возьмем близкую к ней кривую x(t) (кривая 2), также проходя-

щую через точки А и В. Тогда вариация функции δ x = x(t) − x(t) , для граничных точек δ x(tн ) =δ x(tk ) = 0 .

Проварьируем функции x(t) и x(t) , т. е. образуем функции x +δ x и x +δ x . В результате функционал J получит приращение, которое представим в виде ряда Тейлора:

15

Так как величина δ x имеет произвольный характер, то на основании леммы Лагранжа последнее равенство выполнимо, если

Уравнение (2.7) называют дифференциальным уравнением Эйлера, которое является необходимым условием экстремума интеграла (2.1) при фиксированных граничных условиях и отсутствии ограничений на координаты. Если граничные условия нефиксированны, то при решении уравнений Эйлера требуется учитывать условия трансверсальности.

Рассмотрим методику применения уравнения Эйлера. Пусть требуется определить экстремаль для функционала

c2cos t.

Используя граничные условия, получим с1 = 1, с2 = 0. Следовательно, экстремалью является лишь кривая x = cos t.

Функционалы могут зависеть не только от функции и ее первой производной, но и от производных более высокого порядка. Исследуем на экстремум функционал

tн

Проведя для этого функционала аналогичные преобразования, как и для функционала (2.1), получим уравнение

Это дифференциальное уравнение носит название уравнения Эйлера-Пуассона, а его решение называется экстремалью рассматриваемой вариационной задачи.

17

Часто условия трансверсальности сводятся к условиям ортогональности, то есть экстремаль и заданные линии или поверхности должны пересекаться под прямым углом.

Геометрический смысл трансверсальности виден из рисунка 2.2.

Рис. 2.2. Условие трансверсальности

2.4. Вариационные задачи с подвижными концами

До сих пор рассматривались задачи, где экстремум отыскивался среди кривых с закрепленными концами. Встречаются задачи, где концы не закреплены. Для решения этих задач нужно вывести формулу для вариации функционала, происходящей как от вариации искомой функции, так и от вариации концов (рис. 2.3).

Приращение функционала при переходе от x до x +δ x можно записать в виде:

20