Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов. Учебное пособие

Задачу, определяемую дифференциальными связями типа (2.24) и функционалом (2.25), называют общей задачей Лагранжа.

Для решения общей задачи Лагранжа используют метод множителей Лагранжа.

При решении задачи на условный экстремум рассчитывают вспомогательный функционал

где λT =[λ1,λ2 , ,λn ] – строка множителей Лагранжа;

L(t, X , X ,u,u,λ) = f (t, X ,u,u) + λT G(X , X ,u) . (2.27)

Функцию L(t, X , X ,u,u,λ) называют функцией Лагранжа, функцию G(X , X ,u) – функцией связи, которая определяется исходными уравнениями (2.24), а именно:

G(X , X ,u) = X − AX − Bu = 0.

Задачу на безусловный экстремум решают для вспомогательного функционала (2.26). Уравнения Эйлера при этом составляют для функции Лагранжа (i = 1, 2,…, n):

Эти уравнения называют уравнениями Эйлера – Лагранжа;

они характеризуют условие стационарности функционала (2.26). В результате решений (2.29) с учетом уравнений (2.24) получим оптимальное управление U0(t) объектом в динамике.

Вывод. В последние годы большое внимание уделяется развитию оптимального управления, основанного на сочетании вариационных методов, теории автоматического управления и методов вычислительной математики. Основные понятия теории вариационного исчисления приведены в подразделе 2.1.

Вариационные задачи с фиксированными концами рассмотрены в подразделе 2.2, в котором дан вывод дифференциального уравнения Эйлера. Это уравнение является необходимым услови-

23

ем экстремума интеграла при фиксированных граничных условиях и отсутствии ограничений на координаты. Если граничные условия нефиксированны, то при решении уравнений Эйлера требуется учитывать условия трансверсальности, рассмотренные

вподразделе 2.3. Условия трансверсальности дают возможность определить постоянные интегрирования в уравнении Эйлера и тем самым получить конкретное решение.

Вариационные задачи с подвижными концами рассмотрены

вподразделе 2.4. Для решения этих задач в лекции выведена формула для вариации функционала, происходящей как от вариации искомой функции, так и от вариации концов.

Решение задач вариационного исчисления на условный экстремум (синтез оптимального управления) приведено в подразделе 2.5.

Вопросы для самопроверки

1.Сформулируйте понятие «функционал».

2.Дайте определение близости нулевого порядка и k-го по-

рядка функции x0 (t) и x(t) .

3.Что называется вариацией переменных x?

4.Какой экстремум считается сильным, а какой – слабым?

5.Что называется экстремалью?

6.Сформулируйте вариационную задачу с фиксированными концами.

7.Запишите дифференциальное уравнение Эйлера.

8.Запишите уравнение Эйлера – Пуассона.

9.Сформулируйте условие трансверсальности.

10.Сформулируйте вариационную задачу с подвижными концами.

11.Что называется условным экстремумом?

12.Что называется общей задачей Лагранжа?

Литература

1.Певзнер Л. Д., Чураков Е. П. Математические основы теории систем: учебное пособие. М.: Высшая школа, 2009. 503 с.: ил.

2.Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1998. 574 с.

24

3.Ванько В. И., Ермошина О. В., Кувыркин Г. Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление: учебник для вузов / под. ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. 2-е изд. М.: Изд-во МГТУ, 2001. 488 с.

4.Куропаткин П. В. Оптимальные и адаптивные системы: учеб. пособие для вузов. М.: Высш. школа, 1980. 287 с.

25

Раздел 3. ПОНЯТИЕ ОБ ОПТИМАЛЬНЫХ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ ПРОЦЕССАХ

План

1.Понятие оптимальных по быстродействию систем управ-

ления.

2.Кривые оптимальных переходных процессов системы с учетом имеющихся ограничений координат.

3.Примеры устройств, имеющих ограничение по скорости.

Повышение производительности различного рода технических устройств обусловливает сокращение времени протекания переходных процессов. Однако оно в любой реальной системе не может быть меньше определенной минимальной величины в связи с ограниченной мощностью источников энергии, используемых в автоматических системах, а также в связи с условиями и характером работы каждой конкретной системы (ограничения по прочности конструкции, нагреву).

Для получения предельного быстродействия (минимум времени переходного процесса) необходимо проектировать автоматические системы с учетом ограничений, наложенных на ее координаты, из условия минимума критерия качества.

tн

J = ∫1 dt = tk −tн =T

tн

Системы управления называют оптимальными по быстродействию, если они обеспечивают минимум времени переходного процесса с учетом ограничений, наложенных на координаты управлений и выхода. Эти системы являются частным случаем оптимальных систем.

Задача создания оптимальных по быстродействию систем возникает при разработке следящих систем, автоматических компенсаторов, систем управления приводами прокатных станов, ракетами, подъемными устройствами и систем автоматизации технологических процессов, а также ряда энергетических установок и других технических устройств.

Однако во многих случаях оптимальное только по быстродействию управление не рекомендуется по условиям безопасно-

26

сти, экономичности и износа. В этих случаях следует применить комбинированные критерии оптимальности.

Теория оптимального быстродействия впервые была изложена в трудах А. А. Фельдбаума, который в 1953–1956 гг. ввел понятие об оптимальных по быстродействию процессах и сформулировал общую задачу нахождения оптимальных фазовых траекторий в n-мерном фазовом пространстве (теорема об n интервалах). В этот же период Я. З. Цыпкин рассмотрел вопрос об определении моментов переключения реле для оптимальных процессов в релейных системах.

Академик Л. С. Понтрягин сформулировал в 1956 г. принцип максимума, являющийся единым математическим аппаратом теории оптимальных по быстродействию процессов для систем n-го порядка с несколькими управляющими органами при ограниченных по модулю координатах управлений.

Для уменьшения времени протекания переходного процесса в инерционных объектах следует применять принцип форсирования процессов на отдельных интервалах времени посредством увеличения сигнала управления.

Рассмотрим для примера процессы нарастания ЭДС на выходе генератора (Г) постоянного тока (рис. 3.1). Пусть к обмотке возбуждения генератора (ОВГ) прикладывается скачкообразное по форме напряжение возбуждения Uв (рис. 3.1а).

Так как переходный процесс определяется уравнением

то нарастание ЭДС во времени eГ (t) происходит по закону экспоненты (рис. 3.1б):

где kГ – коэффициент усиления генератора;Т– постоянная времени. Если величина напряжения возбуждения равна номинальному значению Uв.н , то установившееся значение ЭДС генератора бу-

дет равно номинальному: EГ.Н. = kГUв.н (кривая 1 на рис. 3.1б). При величине напряжения возбуждения 2Uв.н получим соответственно 2EГ.Н. (кривая 2 на рис. 3.1б).

27

Принцип форсирования процесса нарастания ЭДС генератора заключается в том, что на интервале времени 0 ≤ t ≤ t1 к обмотке возбуждения ОВГ подводится повышенное напряжение возбуж-

дениеUв >Uв.н , а в момент t1, когда eГ (t1 ) = EГ.Н , напряжение возбуждения уменьшается до номинальной величины Uв.н (рис.

3.1в). В результате этого процесс нарастания ЭДС генератора будет иметь форму кривой 3, совпадающей в интервале 0 ≤ t ≤ t1 с кривой 2 (рис. 3.1б). Следовательно, при таком воздействии на обмотку ОВГ получена меньшая длительность переходного процесса генератора: t1<3T.

Рис. 3.1. Процессы нарастания ЭДС на выходе генератора постоянного тока

28

Аналогично можно форсировать процессы уменьшения ЭДС на выходе генератора. Если, например, задано время tp, в течение которого ЭДС генератора должна измениться от заданного значе-

ния EГ.Н до нуля, то требуемое максимальное напряжение воз-

где δ = tp /T .

Величина максимально возможного напряжения возбуждения генератора ограничивается обычно прочностью изоляции и возможностями источника электроэнергии, к которому подключена ОВГ.

Существуют также другие способы форсирования переходных процессов, например, посредством изменения коэффициента демпфирования, в результате чего требуется изменять параметры объекта на отдельных интервалах времени. Однако такой способ сложно реализовать и поэтому на практике для улучшения переходных процессов применяют нелинейные корректирующие устройства.

При разработке оптимальных по быстродействию систем обычно использует принцип управления объектом при макси-

мально допустимой величине сигнала управления u =Umax , закон

изменения которого определяют методами теории оптимального управления.

Форма кривой оптимальных переходных процессов системы определяется с учетом имеющихся ограничений координат. Примем, что зона нечувствительности в характеристиках объекта отсутствует.

Если, например, по условиям работы объекта, представляющего собой идеальный интегратор первого порядка, ограничена скорость изменения управляемой переменной (первая производная).

то процесс будет оптимальным по быстродействию, если первая производная в течение всего времени переходного процесса поддерживается на предельно допустимом значении:

откуда после интегрирования получим

29

y(t) = ±Umaxt +C .

При нулевых начальных условиях C = 0 .

В этом случае оптимальный по быстродействию процесс определяется линейным законом

y(t) = ±Umaxt .

Процесс изменения выходной переменной объекта от нуля до заданного значения Y3 за минимальное время tmin с учетом указанного ограничения показан на рис. 3.2.

Закон управления, определяющий изменение первой производной y(t) , является в данном случае релейным и имеет один

интервал включения сигнала управления.

Примером устройства, имеющего ограничение по скорости, может быть асинхронный электродвигатель, у которого установившаяся скорость не превышает синхронную; гидравлический серводвигатель, скорость которого не может превзойти его ск о- рость при полностью открытом золотнике, и др.

Рис. 3.2. График изменения y(t) и y(t)

30