Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Активная идентификация стохастических динамических систем. Планирование эксперимента для моделей дискретных систем. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

некотором фиксированном значении вектора неизвестных парамет-

ров в уравнениях состояния, наблюдения, в начальных условиях и в

ковариационных матрицах шумов системы и измерений. Представим возможный вариант такого алгоритма, следуя с незначительными изменениями [40]:

Шаг 1. Определить

(tk )

(tk ),

, k 0, 1, ..., N 1, i 1, 2, ..., s

P(t0 )

x(t0 )

Q , R , P(t0 ) , x(t0 ) ,

, i 1, 2, ..., s .

M (U; )

Шаг 2. Положить

О,

0, 1, ..., N 1,

)

1, 2, ..., r

k 0 , P tk | tk P(t0 ) .

Шаг 3. Вычислить a(tk ) ,

a(tk )

i 1, 2, ..., s

F(tk )

и F(tk ) ,

i 1, 2, ..., s

использованием равенств (2.18)

(2.19)

соответст-

венно.

xA(tk 1)

и A(tk 1)

Шаг 4. Если k 0

, то определить

по форму-

лам [см. (3.51), (3.54)]

F(t

)x(t

) a(t )

F(t

)

x(t

a(t

)

x(t0 )

F(t0 )

k 1

;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

F(t

)

x(t0 )

F(t0 )

x(t

)

a(t

)

A(tk 1) О

и перейти на шаг 8.

Шаг 5. Найти K(tk )

K(tk )

, i 1, 2, ..., s

при помощи выраже-

ний [см. (3.43)]:

K(tk ) F(tk )K(tk ) ;

K(tk )

F(tk )

K (tk ) F(tk )

K(tk )

Шаг

Сформировать матрицы

FA(tk ) ,

KA(tk )

и вектор-столбец

aA(tk ) в соответствии с равенствами (3.46), (3.48) и (3.47):

)

F(tk )

H (t

)

F(t

K (tk )

F(tk ) K (tk )H (tk )

;

)

F(t

)

H (t

)

K (tk )

F(tk ) K (tk )H (tk )

K (tk )

K(tk )

KA(tk )

;

K(tk )

a(tk )

A(tk )

)

K(tk )

. . . . . . . . . . . .

a(tk )

A(tk )

K(tk )

Шаг

Вычислить

xA(tk 1)

A (tk 1)

по формулам [см. (3.51),

(3.54)]:

xA(tk 1) FA(tk )xA(tk ) aA(tk ) ;

A(tk 1) FA(tk ) A(tk )FAT (tk ) KA(tk )B(tk )KAT (tk ) .

	H (tk 1)		A(tk 1)
Шаг 8. Определить H (tk 1) ,		,		, i 1, 2, ..., s .
Шаг 8. Определить H (tk 1) ,	i	,	i	, i 1, 2, ..., s .
	i		i

Шаг 9. Найти P tk 1 | tk ,

B(tk 1) ,

K(tk 1) ,

P tk 1 | tk 1 , исполь-

зуя соотношения (3.6), (3.7), (3.8), (3.10):

P tk 1 | tk F(tk )P tk | tk FT (tk ) (tk )Q T (tk ) ;

B(tk 1) H (tk 1)P tk 1 | tk H T (tk 1) R ;

K(tk 1) P tk 1 | tk H T (tk 1)B 1(tk 1) ;

P tk 1 | tk 1 I K(tk 1)H (tk 1) P tk 1 | tk .

P tk 1 | tk

B(tk 1)

(tk

K(tk 1)

Шаг 10. Вычислить

P tk 1

| tk 1

, i

1, 2, ..., s по формулам (см. шаг 9):

P tk 1 | tk

F(tk ) P tk | tk FT (tk ) F(tk )

P tk | tk

FT (tk )

F(tk )P tk

| tk

FT (tk )

(tk ) Q T (tk )

(tk )

(tk ) (tk )Q

T (tk )

;

B(tk 1)

H (tk 1)

P tk 1 | tk H T (tk 1)

H (tk 1)

P tk 1 | tk

(tk 1)

H (tk 1)P tk 1 | tk

H T (tk 1)

;

B 1(tk 1)

(tk 1)

B(tk 1)

(tk 1) ;

K(tk 1)

P tk 1 | tk

(tk 1)B

(tk

P tk 1

| tk

H T (tk 1)

B 1(tk 1) P tk 1 | tk

H T (tk 1)

B 1(tk 1)

;

P t

k 1

| t

k 1

K(t

)

H (t

)

k 1

H (tk 1)

K (tk 1)

P tk 1

| tk

I K(tk 1)H (tk 1) P tk 1 | tk .

Шаг 11. Положить 0 .

	a(t		)
	a(t	k	)	,
Шаг 12. Найти		k
Шаг 12. Найти	u (t )
	u (t )

		F(t			)
		F(t		k	)
1, 2, ..., r	,			k			,
1, 2, ..., r	,	u	(t			)	,
		u	(t			)

1, 2, ..., r ,

	2	a(tk )
		a(tk )
				, 1, 2, ..., r,	i 1, 2, .., s	,
u		(t	)	, 1, 2, ..., r,	i 1, 2, .., s	,
			i

	2	F(tk )
		F(tk )		, 1, 2, ..., r,

u		(t	)
			i

i 1, 2, ..., s при помощи равенств (2.18), (2.19).

)

Шаг

13.

Если k 0

, определить

k 1

1, 2, ..., r

u (t )

)

k 1

по формулам (3.67)

и (3.70) и перейти на

1, 2, ..., r

u (t )

шаг 17.

)

K(t

Шаг 14. Определить

, 1, 2, ..., r

с помощью соотно-

u (t )

шения [см. (3.43)]

K(tk )

F(tk )

K (tk ) F(tk )

K(tk )

u (t )

	F (t		)
Шаг 15. Найти	F (t	k	)		и
Шаг 15. Найти	A	k		, 1, 2, ..., r	и
	u (t )

aA (tk )
		, 1,
u	(t )

2, ..., r , в соответствии с выражениями (3.68) и (3.69).

	x		(t		)
Шаг 16. Определить	x	A	(t	k 1	)		,
Шаг 16. Определить		A		k 1		, 1, 2, ..., r	,
	u (t )

A (tk 1)
A (tk 1)		,
u	(t )	,
u	(t )

KA(tk

1, 2, ..., r

используя

равенства

u (t )

, 1, 2, ..., r

(3.67), (3.70) и (3.71).

P tk 1

| tk

B(tk 1)

, 1, 2, ..., r

Шаг 17.

Вычислить

(t )

u (t )

(tk 1)

K(tk 1)

1, 2, ..., r

, 1, 2, ..., r

u (t )

, 1, 2, ..., r ,

u (t )

P tk 1 | tk

, 1, 2, ...,

по формулам (см. шаг 9):

u (t )

P tk 1 | tk

F(tk )

P tk | tk FT (tk )

u (t )

P tk | tk

F T (tk )

+ F(tk )

(tk ) F(tk )P tk

| tk u

(t )

;

(t )

B(tk 1)

H (tk 1)

P tk 1 | tk

(tk

1) ;

u (t )

B 1(tk 1)

(tk

B(tk 1)

(tk 1) ;

u (t )

(t )

K(tk 1)

P tk 1 | tk

(tk 1)B

(tk

u (t )

+ P tk 1 | tk H

(tk 1)

B 1(tk 1)

;

u (t )

P tk 1 | tk 1

K(tk 1)

H (tk 1)P

tk 1 | tk

u (t )

I K(tk 1)H (tk 1) P tk 1 | tk .u (t )

Шаг 18. Вычислить

	2	B(t			)
				k 1		, 1, 2, ..., r,

u			(t )

					i

2	P tk 1 \| tk
	P tk 1 \| tk
				, 1, 2, ..., r,	i 1, 2, ..., s	,
u		(t	)	, 1, 2, ..., r,	i 1, 2, ..., s	,
u		(t	)
			i

			2	K(tk 1)
				K(tk 1)
i 1, 2, ..., s	,						, 1, 2, ..., r,
i 1, 2, ..., s	,	u			(t	)	, 1, 2, ..., r,
		u			(t	)
						i

P tk 1

| tk 1

1, 2, ..., r,

i 1, 2, ..., s

при по-

u (t

)

мощи следующих соотношений (см. шаг 10):

2P t

k 1

| t

2F(t

)

P tk | tk FT (tk )

F(t

) P t

| t

FT (tk )

u (t ) i

u (t )

u (t ) i

F(tk )

tk | tk

FT (tk )

F(tk ) P tk

| tk

(tk )

u (t )

(t )

F(tk )

2P tk | tk

(tk ) F(tk )

tk | tk F T (tk )

u (t )

F(tk )

tk | tk

F T (tk )

F(tk )

P tk | tk FT (tk )

u (t )

(t )

F(tk )P tk | tk

2FT (tk )

;

u (t )

2B(tk 1)

H (tk 1) P tk 1 | tk

(tk 1)

u (t ) i

u (t )

H (tk 1)

2P tk 1 | tk

(tk 1) H (tk 1)

P tk 1 | tk H T (tk 1)

;

u (t )

2B 1(tk 1)

B 1(tk 1) B(tk 1)

(tk

u (t ) i

u (t )

(tk

2B(tk 1)

(tk 1) B

(tk 1)

B(tk 1) B 1(tk 1)

;

(t )

u (t )

2K(tk 1)

2P tk 1 | tk

(tk

1)B

(tk 1)

u (t ) i

P tk 1 | tk

(tk

B 1(tk 1)

u (t )

P t

k 1

| t

H T

k 1

)

1(tk 1) P tk 1 | tk

H T (t

k 1

) B

1(t

k 1

)

u (t )

P tk 1 | tk

(tk 1)

B 1(tk 1)

P tk 1 | tk

(tk 1)

2B 1(tk 1)

;

u (t )

2P tk 1 | tk 1

2K(tk 1)

K(tk 1) H (tk 1)

H (tk 1)

u (t )

P tk 1

| tk

u (t )

(t )

K(tk 1)

H (tk 1) K(tk 1)

H (tk 1)

P tk 1 | tk

u (t )

K(tk 1)

H tk 1

tk 1 | tk

I K(tk 1)H (tk 1)

2P tk 1 | tk

u (t )

(t )

M (U;

)

Шаг 19.

отве-

Получить приращение

)

1, 2, ..., r ,

чающее текущему значению , в соответствии с равенством (3.66).

Шаг20. Положить M (U; )

M (U; )

M (U; ) ,

1,2, ...,r .

u (t )

(t )

Шаг 21. Положить 1 . Если N 1 , то перейти на шаг 13. Шаг 22. Положить k k 1. Если k N 1, то пересчитать x(tk )

и P(tk ) по формулам (2.16), (2.17) и перейти на шаг 3, иначе закончить процесс.

ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

3.1. Рассмотрим линейную стационарную модель с детерминированным уравнением состояния

x(tk 1) Fx(tk ) u(tk ) ;		(3.72)
y(tk 1) Hx(tk 1) v(tk 1) ,	k 0, 1, ..., N 1 .	(3.73)

Будем считать, что

случайные векторы v(tk 1) образуют стационарную белую гауссовскую последовательность, для которой

E v(tk 1) 0 , E v(ti 1)vT (tk 1) R ik ;

начальное состояние x(t0 ) детерминировано;

неизвестные постоянные параметры сведены в вектор , включающий в себя элементы матриц F и .

Покажите, что для модели (3.72), (3.73) с учетом указанных априорных предположений выражение для элементов ИМФ имеет вид:

N 1

(tk 1)

x(tk

Mij ( )

H T R 1H

i, j 1, 2, ..., s.

k 0

3.2. Рассмотрим нелинейную математическую модель с детермини-

рованным уравнением состояния

x(tk 1) f x(tk ), u(tk ), tk ;

(3.74)

y(tk 1) h x(tk 1), tk 1 v(tk 1) ,

k 0, 1, ..., N 1. (3.75)

Будем считать, что:

случайные векторы v(tk 1)

образуют стационарную белую гаус-

совскую последовательность, для которой

E v(t

k 1

) 0 ,

E v(t

)vT (t

k 1

)

;

i 1

начальное состояние x(t0 ) детерминировано;

неизвестные постоянные параметры сведены в вектор , включающий в себя элементы вектор-функций f x(tk ), u(tk ), tk .

Покажите, что для модели (3.74), (3.75) с учетом указанных априорных предположений выражение для элементов ИМФ принимает вид

Mij ( )	N 1	hT x(tk 1), tk 1	R	1	h x(tk 1), tk 1	, i, j 1, 2, ..., s.

		i			j
	k 0	i			j

3.3. Покажите, что если в модели (3.74), (3.75) неизвестные параметры дополнительно входят в матрицу R, то элементы ИМФ вычисляются с помощью следующего соотношения:

N 1

x(t

k 1

), t

k 1

h x(t

k 1

), t

k 1

Mij ( )

R 1

k 0

R 1

, i,

j 1, 2, ..., s.

3.4. Используя материалы п. 3.1.1, покажите, что для модели (2.5), (2.6) с соответствующим вероятностным описанием при вхождении

неизвестных параметров в матрицы F , , , H , Q , R , P(t0 ) и вектор x(t0 ) , выражение (3.32) для элементов ИМФ можно представить в следующем удобном для программной реализации виде:

N 1

C0 xA (tk 1)xAT (tk 1) A (tk 1) C0T

Mij ( )

B 1(tk 1)

k 0

xA (tk 1)xAT (tk 1)

A (tk 1) CTj H T B 1(tk 1)

)xT

)

CT H

)

sp HC

B 1(t

k 1

(tk

sp HCi xA (tk 1)xA (tk

1) A(tk 1) C j

B(tk

B(tk 1)

(tk 1)

j 1, 2, ..., s . (3.76)

3.5.Как будет выглядеть соотношение (3.76), в случае когда неизвестные параметры входят только в матрицы F и ?

3.6.Используя выражение (3.76), предложите и программно реализуйте алгоритм вычисления ИМФ для линейной стационарной модели.

3.7.Рассмотрим следующую одномерную линейную стационарную модель:

x(tk 1) 1x(tk ) 2u(tk ) w(tk ) ;

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]