Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Активная идентификация стохастических динамических систем. Планирование эксперимента для моделей дискретных систем. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

k 1
x tk 1 \| tk (tk 1, t0 )x(t0 ) (tk 1, t )a(t 1)
1
k
(tk 1, t )K (t ) (t ) ,	(3.19)

которая выводится по индукции из уравнений (3.5), (3.9) фильтра Калмана, где

F(tk )F(tk 1) F(t ), если 1, 2, ..., k;

(tk 1, t )

I, если k 1.

Положив в выражении (3.19)

k 1

d(tk 1) (tk 1, t0 )x(t0 )

(tk 1, t )a(t 1) ;

D(tk 1, t ) (tk 1, t )K(t ) ,

получим

x tk 1 | tk d(tk 1) D(tk 1, t ) (t ) ,

k 1, 2, ..., N 1. (3.20)

Принимая во внимание, что

E (tk 1) 0 ;

(3.21)

) T (t

) B(t

)

(3.22)

i 1

будем иметь:

E x t

k 1

| t

T (t

k 1

) d(t

k 1

)E T (t

k 1

)

D(tk 1, t )E

(tk 1)

О.

(3.23)

(t )

Для вычисления второго математического ожидания продифференцируем x tk 1 | tk из (3.20) по i :

x tk 1

| tk

d(tk 1)

D(tk 1, t ) (t )

D(tk 1, t )

(t )

В силу того, что

(t )

1, 2, ..., k ,

(tk

О,

с учетом соотношений (3.21), (3.22) получим

x t

k 1

| t

T (t

d(t

)

E T (t

)

D(tk 1, t )

(tk 1)

(t )

D(tk 1, t )E

(tk 1)

О .

(3.24)

(3.25)

(3.26)

Для вычисления третьего математического ожидания продиффе-

ренцируем

x tk 1

| tk

из (3.24) по

j :

2 x tk 1 | tk

2d(tk 1)

i j

2D(t

k 1

, t

)

D(t

k 1

, t

) (t

)

i j

D(tk 1, t ) (t )

D(tk 1, t )

2 (t )

(3.27)

Поскольку

2 (t )

(tk 1)

О,

1, 2, ..., k ,

(3.28)

i j

с учетом соотношений (3.21), (3.22), (3.25), (3.28) и (3.27) получим

2 x t

T (t

2d(t

k 1

)

T (t

)

k 1

)

k 1

D(t

, t

)

k 1

E (t

) T (t

)

i j

D(tk 1, t )

(t )

D(tk 1, t )

(tk 1)

(t )

(tk 1)

О. (3.29)

D(tk 1, t )E

Подставив соотношения (3.21), (3.23), (3.26), (3.29) в равенства

(3.16) и (3.18), приходим к тому, что

(tk 1)

(tk 1) О;

(3.30)

2 (tk 1)

О.

(3.31)

i j

(tk 1)

Соотношения (3.17), (3.30), (3.31) позволяют записать формулу (3.13) в виде (3.3). Таким образом, теорема доказана.

Следствие. Для математической модели стационарной системы (2.5), (2.6) с неизвестными параметрами , входящими в матрицы F ,

, , H , Q , R , P(t0 ) и вектор x(t0 ) в различных комбинациях, формула (3.3) принимает вид

N 1

Mij ( )

E x tk 1 | tk xT

tk 1 | tk

B 1(tk 1)

tk 1 | tk

xT tk 1

| tk

(tk 1)

x tk 1 | tk

tk 1 | tk

H T

sp HE

(tk 1)

x t

| t

xT t

k 1

| t

sp HE

H T B 1(tk 1)

B(tk 1)

(tk 1)

(3.32)

что совпадает с результатом из [4, 39].

Непосредственно соотношение (3.3) непригодно для программной реализации, поскольку оно содержит нераскрытые математические ожидания. Перейдем к вычислению этих математических ожиданий.

Введем в рассмотрение расширенный вектор состояния

		x t		k 1		\| t	k
				k 1			k
		x	tk 1 \| tk
				1
xA tk 1	\| tk

		x	tk 1 \| tk
					s
					s
	44

размером n (s 1)

и матрицы C

[O, ..., O, I, O, ..., O],

i 0, 1, ..., s,

размером n n(s 1) . С учетом этих обозначений

E x t

k 1

| t

xT t

k 1

| t

C E

| t

CT ;

(3.33)

tk 1 | tk

xT tk 1 | tk

E x

C E

| t

CT ;

(3.34)

tk 1 | tk

| tk

C E

| t

;

(3.35)

x tk 1 | tk xT tk 1 | tk

C E

| t

;

(3.36)

E x t

k 1

| t

E x

k 1

| t

;

(3.37)

x tk 1

| tk

C E

| t

(3.38)

k 1

Соотношения (3.33)–(3.38) позволяют записать выражение (3.3) в виде

N 1

H (tk

Mij ( )

C0E

tk 1 | tk xA

tk 1

| tk

k 0

CT H

(tk 1)

B 1

k 1

)

H ( tk 1)C E x

k 1

| t

k 1

| t

CT H T (t

k 1

1(t

k 1

)

H (t

)

AT (t

)

k 1

C E

| t

)

k 1

| t

H T (tk

)

H (t

)C E x

k 1

H (t

k 1

)C E x

k 1

| t

CT H T (t

)B 1(t

)

AT (tk 1)

sp H (t

)C E x

| t

)

k 1

A(t

)

H T (t

)

B 1(t

k 1

| t

k 1

)

A(tk 1)

tk 1 | tk C j

(tk

1)B

(tk 1)

A(t

)

AT (t

)

B 1(tk

k 1

) B(tk 1) B

1(t

)

j 1, 2, ..., s .

(3.39)

1 sp B(tk 1) B 1(t

, i,

k 1

Обозначим

k 1

) E

k 1

| t

;

(3.40)

k 1

)

| t

k 1

)

| t

k 1

)

(3.41)

Тогда

E x

k 1

| t

xT t

k 1

| t

A(tk 1) xA(tk 1)xAT (tk 1) .

(3.42)

Получим рекуррентные соотношения для xA(tk 1)

и A(tk 1) . По-

ложим

K(tk ) F(tk )K(tk ) .

(3.43)

Воспользовавшись

равенствами

(3.5)

(3.9),

выразим

для

k 1, 2,

..., N 1,

x tk 1 | tk через x tk

| tk 1 . Получим

x tk 1

| tk F(tk )x tk

| tk 1 a(tk ) K (tk ) (tk ) .

(3.44)

Дифференцируя (3.44) по i , с учетом формулы (3.14) приходим к тому, что

x tk 1 | tk

F(tk )

K(tk )

H (tk )

tk | tk 1

x tk | tk 1

a(tk )

F(tk )

K(tk )H (tk )

K(t

)

A(t

)

(tk ) K (tk )

, i 1, 2, ..., s .

(3.45)

Пусть

	F(tk )
F(tk )		H(tk )
	K(tk )
1		1
F(tk )		H(tk )
F(tk )		H(tk )
s	K(tk )	s
s		s

FA(tk )

F(tk ) K(tk )H(tk )

	О
	О
	О	; (3.46)
		; (3.46)


F(tk ) K(tk )H(tk )

						a(tk )
					a(tk )		A(tk )
a		(t				K(tk )		;	(3.47)
a	A	(t	k	)	1		1	;	(3.47)
	A		k		. . . . . . . . . . . .
					a(tk )		A(tk )
					s	K(tk )	s
					s		s

K (tk )K(tk )

KA(tk ) 1 . (3.48)

K(tk )s

С учетом этих обозначений равенства (3.44) и (3.45) можно объединить следующей компактной формулой:

F (t

k 1

)

k 1

KA(tk ) (tk ),

k 1,

...,

N 1 .

(3.49)

При k 0 из соотношения (3.5) имеем

x t1 | t0 F(t0 )x(t0 ) a(t0 ) .

Поэтому

x t1 | t0 F(t0 ) x(t0 )

i i

и, следовательно,

F(t0 )

xA t1 | t0 1 .

F(t0 )

F(t	) x(t0)		a(t0 )			,		i 1, 2, ..., s ,
F(t	) x(t0)					,		i 1, 2, ..., s ,
0					i
	i				i
F(t0 )x(t0 ) a(t0 )							a(t
x(t0 ) F(t0 )		x(t		0	)		a(t		0	)
x(t0 ) F(t0 )				0					0		(3.50)
			1					1		.	(3.50)
. . . . . . . . . . . . . . . .
x(t0 ) F(t0 )		x(t		0	)		a(t		0	)
x(t0 ) F(t0 )				0					0
			s					s

Вычисляя математические ожидания от (3.49) и (3.50), получаем: xA(tk 1)

F (t

) a

), если k 1, 2, ..., N 1;

F(t0 )x(t0 ) a(t0 )

F(t0 )

a(t0 )

x(t0 ) F(t0 )

x(t0 )

(3.51)

если k 0.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

F(t0 )

x(t ) F(t

)

x(t0 )

a(t0 )

Из равенства (3.51) сразу же вытекает, что

A (t1) О .

(3.52)

При k 1, 2, ..., N 1, в силу соотношений (3.41), (3.49), (3.51) имеем

A (tk 1) FA (tk ) A(tk )FAT (tk )

FA (tk )E xA tk | tk 1 xA(tk ) T (tk ) KAT (tk )

)E (t

)

| t

k 1

) T

FT (t

)

KA(tk )B(tk )KAT (tk ) .

(3.53)

Принимая во внимание выражения (3.21), (3.23) и (3.26), находим

| t

k 1

) T (t

)

| tk 1

xA(tk )E

xA tk

(tk )

x t

| t

k 1

T (t

)

tk | tk 1

(tk )

О.

. . . . . . . . .

x tk | tk 1

(tk )

Таким образом, второе и третье слагаемые в формуле (3.53) равны нулю. С учетом равенства (3.52) получаем следующее рекуррентное соотношение:

F (t		k	)	A	(t	k	)FT (t	k	)
	A	k		A		k	A	k
			(tk )B(tk )KAT (tk ), если k 1, 2, ..., N 1;
A(tk 1) KA			(tk )B(tk )KAT (tk ), если k 1, 2, ..., N 1;							(3.54)

									если k 0.
О,									если k 0.

3.1.2. АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНФОРМАЦИОННОЙ МАТРИЦЫ ФИШЕРА ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ МОДЕЛЕЙ

Приведенные в предыдущем разделе аналитические выкладки позволяют разработать алгоритм вычисления ИМФ для математической модели (2.3), (2.4) с априорными предположениями из главы 2 при не-

котором фиксированном значении вектора оцениваемых параметров

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]