Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Активная идентификация стохастических динамических систем. Планирование эксперимента для моделей дискретных систем. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

					x(tk ) E x(tk )
f	0	x(t	k 1	), P(t	k 1	), u(t	k 1	), t	k 1	, если k 1, 2, ..., N 1,
	0		k 1		k 1		k 1		k 1

x(t ), если k 0;

P(tk ) E x(tk ) x(tk ) x(tk ) x(tk ) T

f1 x(tk 1), P(tk 1), u(tk 1), tk 1 P tk 1

1 x(tk 1), P(tk 1), u(tk 1), tk 1

(tk )Q T (tk ), если k 1, 2, ..., N 1,

P(t0 ), если k 0.f T

(2.16)

(2.17)

Отметим, что вычисление интегралов в формулах (2.14), (2.15) можно существенно упростить с помощью представленных в [26, 27] выражений для коэффициентов статистической линеаризации типовых одномерных нелинейностей, встречающихся в системах автоматического управления.

Подставив выражения (2.12), (2.13) в уравнения (2.1), (2.2) соответственно, с учетом обозначений

a x(tk ), P(tk ), u(tk ), tk f0 x(tk ), P(tk ), u(tk ), tk
f1 x(tk ), P(tk ), u(tk ), tk x(tk ) ;	(2.18)
F x(tk ), P(tk ), u(tk ), tk f1 x(tk ), P(tk ), u(tk ), tk ;	(2.19)
A x(tk 1), P(tk 1), tk 1 h0 x(tk 1), P(tk 1), tk 1
h1 x(tk 1), P(tk 1), tk 1 x(tk 1) ;
H x(tk 1), P(tk 1), tk 1 h1 x(tk 1), P(tk 1), tk 1

приходим к модели линейной нестационарной системы (2.3), (2.4).

ГЛАВА 3

ПЛАНИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ВХОДНЫХ СИГНАЛОВ

При построении моделей динамических систем можно использовать различные способы управления экспериментом. В простейшем случае управление экспериментом сводится к выбору оптимальных моментов измерений, в более сложном – к планированию оптимальных входных сигналов и начальных условий [9]. Возможны также варианты смешанных схем.

Планирование входных сигналов – по-видимому, наиболее эффективный способ управления экспериментом, используемый при построении моделей стохастических динамических систем. Отметим, что свобода в выборе входных характеристик существенно зависит от приложений. В экономических и экологических системах у экспериментатора нет возможности воздействовать на систему с целью проведения идентификационных экспериментов, в то время как в лабораторных условиях и на стадиях разработки нового оборудования выбор входных величин имеет лишь амплитудные и мощностные ограничения.

Остановимся на теоретических и прикладных аспектах синтеза детерминированных входных сигналов, рассмотрение которых позволит наполнить конкретным содержанием приведенные в разделах 1.2 и 1.3 прямую и двойственную градиентные процедуры построения непрерывных оптимальных планов.

Следуя [9], будем считать, что непрерывный нормированный план (1.2) в данном случае может быть задан в виде

U		, U	2		, , U			q
	1		2			q	, pi 0,	pi 1,
		, p		, , p			, pi 0,	pi 1,	(3.1)
p	1	, p	2	, , p				i 1	(3.1)
	1		2			q

U i U , i 1, 2, ..., q.

При этом каждая точка спектра плана представляет собой последовательность импульсов, «развернутую во времени». Применительно к моделям, структурно-вероятностное описание которых представлено в главе 2, это означает, что

ui (t0 ) Ui ui (t1) .

ui (tN 1)

Замкнутое ограниченное множество U представляет собой об-

ласть допустимых входных сигналов. На практике чаще всего используются два типа ограничений: на амплитуду и на мощность. В первом случае область допустимых входных сигналов определяется соотношением

U U R Nr		a j u j (tk ) bj , k 0, 1, ..., N 1, j 1, 2, ..., r

и представляет собой координатный параллелепипед. Во втором случае

	N 1	r
	N 1	r
	u2j
U U RNr	u2j		(tk ) C
	k 0	j 1

иявляется шаром.

3.1.ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНФОРМАЦИОННОЙ МАТРИЦЫ ПЛАНА

Нормированная информационная матрица плана (3.1) определяется соотношением

q
M ( ) piM (Ui ; ) .	(3.2)

Ввыражении (3.2) ИМФ одноточечных планов M (Ui ; ) зависят от подлежащих оцениванию параметров.

3.1.1. ВЫВОД ИНФОРМАЦИОННОЙ МАТРИЦЫ ФИШЕРА ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ МОДЕЛЕЙ

Приведем вывод выражения ИМФ для гауссовских линейных нестационарных дискретных систем, которое обобщает все ранее полученные результаты.

Теорема 3.1 [28]. Для математической модели (2.3), (2.4) с априорными предположениями из главы 2 и неизвестными параметрами ,

входящими в матрицы F(tk ) , (tk ) ,

H (tk 1) ,

Q , R ,

P(t0 ) и векторы

a u(tk ), tk , A(tk 1) ,

x(t0 )

в различных комбинациях, элементы ИМФ

определяются выражением

N 1

H (tk 1)

Mij ( )

1 | tk

tk 1 | tk x

k 0

H T (tk 1)

(tk 1)

H (t

)

k 1

| t

k 1

tk 1

| tk

H T

(tk 1)B 1

(tk 1)

H (t

)

AT (t

)

k 1

x t

| t

)

k 1

x tk 1 | tk

tk 1

H T (tk 1)

sp H (tk 1)E

| tk

(tk 1)

x t

k 1

| t

k 1

| t

sp H (tk 1)E

H T

(tk 1)B 1

(tk 1)

x t

k 1

| t

AT (t

k 1

)

B 1(t

sp H (t

k 1

)

A(t

)

E xT

H T (t

)

k 1

| t

k 1 B 1(t

k 1

)

A(t

k 1

)

xT t

k 1

| t

H T (tk 1)B 1(tk 1)

A(t

)

AT (t

)

k 1

B 1(tk 1)

B(tk 1)

(tk 1)

, i, j 1, 2, ..., s , (3.3)

в котором матрицы B(tk 1) ,

B(tk 1)

находятся при помощи уравне-

ний дискретного фильтра Калмана.

Доказательство.

Введем в рассмотрение обновляющую последовательность

(tk 1) y(tk 1) H (tk 1)x tk 1 | tk

A(tk 1),

k 0, 1, ..., N 1 .

(3.4)

В соотношении (3.4) x tk 1 | tk определяется по следующим уравнениям дискретного фильтра Калмана [27, 29–33]:

x tk 1 \| tk F(tk )x tk \| tk a u(tk ), tk ;	(3.5)
P tk 1 \| tk F(tk )P tk \| tk FT (tk ) (tk )Q T (tk ) ;	(3.6)
B(tk 1) H (tk 1)P tk 1 \| tk H T (tk 1) R ;	(3.7)
K(tk 1) P tk 1 \| tk H T (tk 1)B 1(tk 1) ;	(3.8)
x tk 1 \| tk 1 x tk 1 \| tk K(tk 1) (tk 1) ;	(3.9)
35

P tk 1 \| tk 1 I K(tk 1)H (tk 1) P tk 1				\| tk		(3.10)
для k 0, 1 ..., N 1,		с начальными условиями		x t0	\| t0 x(t0 ) ,
P t0 \| t0 P(t0 ) .
Запишем логарифмическую функцию правдоподобия:
		ln L ; Y N Nm ln 2
		1	2
			2
N 1		(tk 1)B 1(tk 1) (tk 1) ln det B(tk 1)
1	T	(tk 1)B 1(tk 1) (tk 1) ln det B(tk 1)			.	(3.11)
2 k 0

Элементы ИМФ связаны с логарифмической функцией правдоподобия

(3.11) соотношением [34–38]:

			2 ln L ; Y N
M	ij	( ) E		1	,	i, j 1, 2, ..., s ,	(3.12)

		Y		j
			i

в котором усреднение берется по выборочному пространству. Поскольку

B 1(tk 1)

B(tk 1)

(tk 1)

(tk 1) ,

ln L

; Y

N 1

)

k 1

B 1(t

) (t

k 1

)

T (t

)B 1(t

k 1

)

k 0

B(tk 1)

(tk 1) (tk 1)

sp B

(tk 1)

с учетом

симметричности

матриц

B(tk 1),

B(tk 1)

(tk 1) ,

B(tk 1)

B 1(t

k 1

)

B 1

k 1

) и равенства

aTb sp(abT ) ,

где

a, b R

имеем:

ln L ; Y

N 1

)

k 1

T (tk

1)B 1(tk 1)

i j

(tk 1)

(tk 1)B

(tk

B(tk 1)

(tk 1)

(tk 1) T (tk 1)

(tk 1)

(tk 1)B

(tk

B(tk 1)

(tk 1)

B(tk 1)

sp (tk 1)

(tk 1)B

(tk 1)

(tk 1)B

(tk 1)

2B(tk 1)

sp (tk 1)

j i

(tk 1)

B(tk 1)

(tk 1)

B(tk 1)

sp B

B(tk 1)

sp B

(tk 1)

i, j 1, 2, ..., s .

Подставим последнее равенство в (3.12). Воспользовавшись тем,

что

sp(AB) sp(BA), где A Rn m , B Rm n ,

E (tk 1) T (tk 1) B(tk 1) ,

получим

)

N 1

1 T (tk 1) B

1(tk 1)

Mij ( )

sp E

k 0

i j

(tk 1)

T (t

1(t

B(tk 1)

B 1(t

sp E

)

) T (t

)

sp E

B 1(t

k 1

)

k 1

)

T (t

1(t

B(t

k 1

)

B 1(t

sp E

)

B(tk 1)

(tk 1)

i, j 1,2,..., s . (3.13)

Таким образом, необходимо вычислить следующие математиче-

ские ожидания:

(tk 1)

(tk

(tk 1) T (tk 1)

;

2 (tk 1)

i j

(tk 1) .

Поскольку

(tk 1)

H (tk 1)

tk 1

| tk

H tk 1

x tk 1

| tk

A(tk 1)

;

(3.14)

2 (tk 1)

2H (tk 1)

tk 1 | tk

H (tk 1) x tk 1

| tk

i j

H (t

)

x t

k 1

| t

2 x t

k 1

| t

2 A(t

k 1

)

k 1

H (t

)

(3.15)

i j

из (3.14), (3.15) следует:

(tk 1)

H (tk 1)

(tk

E x tk 1 | tk

(tk

H (t

x t

| t

T (t

A(t

k 1

)

T (t

)

;

(3.16)

k 1

)

(tk 1)

T (tk 1)

H (tk 1)

k 1

| t

k 1

| t

H T (t

)

H (t

)

xT t

| t

x tk

1 | tk

H T

(tk 1)

H (tk 1)

(tk 1)

x t

| t

x tk 1 | tk

1 | tk

H T (tk 1)

H (tk 1)E

tk 1 | tk xT tk 1 | tk

H (tk

1)E

(tk

H (tk 1)E x tk 1 | tk AT (tk 1)

i j

A(tk 1)

H T (tk 1)

A(tk 1)

| t

xT tk 1 | tk

A(tk 1) AT (tk 1)

(tk 1)

;

(3.17)

2 (tk 1)

2H (tk 1)

| t

)

i j

k 1

)

i j

E x

k 1

H (tk 1)

x tk 1

| tk

(tk

H (tk 1)

x tk 1

| tk

)

2 x t

k 1

| t

T (t

2 A(t

k 1

)

E T (t

H (t

k 1

)

(3.18)

Для доказательства теоремы нам необходимо вычислить следующие математические ожидания:

1)E x tk 1 | tk T (tk 1) ;

2)E x tk 1 | tk T (tk 1) ;

	2 x tk 1 \| tk		T
3) E				(tk 1) .
3) E				(tk 1) .
		j
	i	j

Для вычисления первого математического ожидания воспользуемся формулой

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]