Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Активная идентификация стохастических динамических систем. Планирование эксперимента для моделей дискретных систем. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

X M ( )

D( )

M ( )

= sp D( )

D( )

i, j

p sp

( ) M ( i )

;

(1.23)

X M ( )

D( )

M ( )

sp D( )

D( )

sp D2 ( )M (

) .

(1.24)

Перейдем теперь к критерию D-оптимальности (1.8). В этом случае

X M ( )

ln det M ( )

M ( )

sp D( )

i, j

		M ( i )
sp D( )p
	i	i, j

X M ( )
	sp D( )
pi

	p		M ( i )	;	(1.25)
	p	sp D( )	M ( i )	;	(1.25)
	i		i, j

M ( )		sp D( )M ( i ) .			(1.26)
	p	sp D( )M ( i ) .			(1.26)
	i

Таким образом [см. соотношения (1.23)–(1.26)], применение прямой градиентной процедуры синтеза непрерывных А- или D-оптимальных планов предполагает вычисление ИМФ и их производных по компонентам точек спектра плана эксперимен-

та (1.2).

1.3. ДВОЙСТВЕННАЯ ГРАДИЕНТНАЯ ПРОЦЕДУРА СИНТЕЗА

НЕПРЕРЫВНЫХ ОПТИМАЛЬНЫХ ПЛАНОВ

Другой подход (его называют двойственным) к решению оптимизационной задачи (1.20) основан на обобщенной теореме эквивалентности из раздела 1.1. В этом случае рассматриваемая задача уже не

будет задачей выпуклого программирования, но размерность пространства варьируемых параметров и в целом скорость сходимости меньше, чем при прямом подходе. Возможные варианты двойственных процедур представлены, например, в [3, 5, 6, 18]. Остановимся на сле-

дующей двойственной градиентной процедуре построения непре-

рывных оптимальных планов из [4, 20–23] .

Шаг 1. Зададим начальный невырожденный план 0 и по формуле (1.4) вычислим нормированную матрицу M ( 0 ) плана. Положим

k 0 .

Шаг 2. Найдем локальный максимум

k arg max ( , k )

методом последовательного квадратичного программирования. Если

окажется, что	k , k		,		закончим процесс. Если
окажется, что	k , k		,		закончим процесс. Если
k , k , перейдем к шагу 3.				В противном случае будем искать
новый локальный максимум.
Шаг 3. Вычислим k		по формуле
	k	arg min
	k	arg min		X M k 1			.
		0 1
Здесь
					(	k	),
	k 1 (1 ) k				(		),

где ( k ) – одноточечный план, размещенный в точке k . Шаг 4. Составим план

k 1 (1 k ) k k ( k ),

произведем его «очистку» в соответствии с рекомендациями из [5], положим k k 1 и перейдем на шаг 2.

Соответствие значений параметров X M ( ) , ( , ) , двойственной процедуры критериям А- и D-оптимальности такое же, как в таблице.

Приведенный алгоритм требует вычисления градиента

,	( , )	,	j 1, 2, ..., n .	(1.27)
	j

Для критерия А-оптимальности (1.7) получаем

( , )		2			2		M ( )
( , )	sp M		( )M ( )	sp D	2	( )	M ( )	. (1.28)
j		j		sp D		( )	j	. (1.28)
j		j					j

В случае критерия D-оптимальности (1.8) имеем

( , )		1			M ( )
( , )	sp M		( )M ( )	sp D( )	M ( )	.	(1.29)
j		j		sp D( )	j	.	(1.29)
j		j			j

Соотношения (1.28) и (1.29) показывают, что, как и в случае прямой градиентной процедуры, для применения двойственной градиентной процедуры синтеза непрерывных А- или D-оптимальных планов необходимо разработать алгоритмы вычисления ИМФ и ее производной по компонентам точек спектра плана эксперимента.

Как прямая, так и двойственная процедура обладает своими преимуществами и недостатками. По-видимому, наиболее удачен подход, когда на первых этапах для улучшения начального приближения применяется прямая процедура, а затем при помощи двойственной процедуры строится A- или D-оптимальный план.

1.4. ПОСТРОЕНИЕ ДИСКРЕТНЫХ ОПТИМАЛЬНЫХ ПЛАНОВ

Предположим, что мы при помощи прямой, двойственной или комбинированной прямой – двойственной процедуры синтезировали непрерывный план

* , ...,

, i 1, 2, ..., q .

p*, ...,

p*,

i 1

Его практическое использование затруднено тем обстоятельством, что веса pi* представляют собой произвольные вещественные числа,

заключенные в интервале от нуля до единицы, и в случае заданного

числа возможных запусков системы величины ki* pi* могут не быть целыми числами. Проведение эксперимента требует округления

величин ki* до целых чисел. Очевидно, что полученный в результате

такого округления план будет отличаться от оптимального непрерывного плана, причем приближение будет тем лучше, чем больше число возможных запусков.

Приведем следующий алгоритм «округления» непрерывного плана до точного (см. (1.1)) из [6].

Шаг 1. Вычислим числа i и i по формулам

		*			*	i 1, 2, ..., q
	( q) pi ;			pi ,
i			i

(здесь z – ближайшее к z целое число, большее z; z – целая часть

числа z).

Шаг 2. Вычислим и , воспользовавшись выражениями

	q				q
			;
		i	;			i .
	i 1				i 1
При этом если , то i i				для i 1, 2, ..., q			и 1 . В про-
тивном случае i i , 1 .
Шаг 3. Величины	p*	i	(i 1, 2, ..., q) расположим в порядке
	i	i

убывания их значений. Положим j = 1.

Шаг 4. Если p*j j стоит на одном из первых 1 мест в указанном упорядоченном наборе, то положим s j 1 , в противном случае

s j 0 .

Шаг 5. Если j q , увеличим j на единицу и перейдем на шаг 4. В противном случае сформируем приближенный дискретный план

,			, ...,
1		2

1 s1		2 s2
1 s1	,	2 s2
	,

				,		, ...,
q		1			2

					k
	q sq	k
, ...,			1	,	2	, ...,

. kq

ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

1.1. Рассмотрим следующую линейную по параметрам математическую модель:

y(tk 1) Tu(tk 1) v(tk 1),

k 0, 1, .., N 1.

Будем считать, что случайные величины v(tk 1) образуют стационарную белую гауссовскую последовательность, для которой

E v(tk 1) 0, E v(ti 1)v(tk 1) 2 ik

(здесь и далее ik – символ Кронекера).

Покажите, что в этом случае элементы ИМФ не зависят от параметров , причем

	1	N 1
Mij	1	ui (tk 1)u j (tk 1), i,	j 1, 2, ..., s .
Mij	2	ui (tk 1)u j (tk 1), i,	j 1, 2, ..., s .
		k 0

1.2. Покажите, что для нелинейной безынерционной модели

y(tk 1) f u(tk 1); v(tk 1),

k 0, 1, ..., N 1,

в предположении, что шумы измерений v(tk 1) образуют стационар-

ную белую гауссовскую последовательность с нулевым средним и ковариационной матрицей R , элементы ИМФ вычисляются по следующей формуле:

N 1	f T u(t	k	1	);	R 1	f u(t	k 1	);
Mij ( )		k	1				k 1		.
Mij ( )	i					j			.
k 0	i					j
1.3. Используя теорему 1.2, покажите, что для модели из упражне-
ния 1.1. при s 1 и 1 u(tk 1) 2				А- и D-оптимальные планы экспе-
			25

римента совпадают и сосредоточены в одной точке u*(t1)

u*(t2 ) ... u*(tN ) 2 .

1.4.На основе прямой градиентной процедуры разработайте про-

граммы синтеза А- и D-оптимальных планов. Используйте результат упражнения 1.3 для тестирования программного обеспечения.

1.5. На основе двойственной градиентной процедуры разработайте программы построения А- и D-оптимальных планов. Используйте результат упражнения 1.3 для тестирования программного обеспечения.

ГЛАВА 2

СТРУКТУРНО-ВЕРОЯТНОСТНОЕ ОПИСАНИЕ МОДЕЛЕЙ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

Рассмотрим управляемую, наблюдаемую, идентифицируемую модель динамической системы вида

x(tk 1) f x(tk ), u(tk ), tk (tk )w(tk ) ;

(2.1)

y(tk 1) h x(tk 1), tk 1 v(tk 1) ,

k 0, 1, ..., N 1,

(2.2)

где x(tk )

– n-вектор состояния;

u(tk )

– детерминированный r-вектор

управления (входа); w(tk ) –

p-вектор шума

системы (возмущения);

y(tk 1) –

m-вектор измерения

(выхода);

v(tk 1)

– m-вектор

шума

(ошибки) измерения.

Априорные предположения:

случайные векторы w(tk )

и v(tk 1) образуют стационарные бе-

лые гауссовские последовательности, для которых

E w(t

) 0 , E w(t )wT (t

)

E v(t

k 1

) 0 , E

v(t

)vT (t

k 1

) R

i 1

E v(t

)wT (t

) 0 , k, i 0, 1, , N 1;

i 1

начальное состояние x(t0 ) имеет нормальное распределение с параметрами

E x(t0 ) x(t0 ) , E x(t0 ) x(t0 ) x(t0 ) x(t0 ) T P(t0 )

и не коррелирует с w(tk ) и v(tk 1) при любых значениях k ;

неизвестные постоянные	параметры сведены в вектор , вклю-
чающий в себя элементы	вектор-функций f x(tk ), u(tk ), tk ,
h x(tk 1), tk 1 , матриц (tk ) ,	Q , R , P(t0 ) и вектора x(t0 ) в различ-

ных комбинациях.

Частным случаем модели (2.1), (2.2) являются модели линейной не-

стационарной системы
x(tk 1) a u(tk ), tk F(tk )x(tk ) (tk )w(tk ) ;	(2.3)
y(tk 1) A(tk 1) H (tk 1)x(tk 1) v(tk 1) , k 0, 1, ..., N 1 , (2.4)
и линейной стационарной системы
x(tk 1) Fx(tk ) u(tk ) w(tk ) ;	(2.5)
y(tk 1) Hx(tk 1) v(tk 1) , k 0, 1, ..., N 1 .	(2.6)

При планировании эксперимента для моделей нелинейных систем (2.1), (2.2) с указанными априорными предположениями будем приме-

нять временную [24, 25] и статистическую [26, 27] линеаризацию, в

результате сводя исходную задачу к соответствующей задаче для мо-

дели вида (2.3), (2.4) со специальным образом определенными векто-
рами a u(tk ), tk	, A(tk 1)		и матрицами F(tk ), H (tk 1) .
Линеаризация во временной области возможна в предположении,
что вектор-функции f x(tk ), u(tk ), tk и h x(tk 1), tk 1 непрерывны и
дифференцируемы по x(tk ) ,				u(tk ) и x(tk 1) соответственно.
Зададим номинальную траекторию									xн(tk 1),	k 0, 1, ..., N 1	в
соответствии с равенством
x (t	k 1	) f x (t		k	), u (t	k	), t	k	, k 0, 1, , N 1;
н	k 1		н	k	н	k		k		(2.7)
										(2.7)

xн(t0 ) x(t0 ).
Разложив для	каждого		k		вектор-функции					f x(tk ), u(tk ), tk	и
h x(tk 1), tk 1	в ряды Тейлора в окрестностях точек xн(tk ), uн(tk )										и

xн(tk 1) соответственно и отбросив члены второго и более высоких порядков, запишем уравнения линеаризованной модели:

x(tk 1) f xн(tk ), uн(tk ), tk f xн(tk ), uн(tk ), tk x(tk ) xн(tk )x(tk )

f xн(tk ), uн(tk ), tk u(tk ) uн(tk ) (tk )w(tk );

u(tk )

y(tk 1) h xн(tk 1), tk 1

h xн(tk 1), tk 1 x(tk 1) xн(tk 1) v(tk 1) .x(tk 1)

Положив

a u(tk ), tk f xн(tk ), uн(tk ), tk f xн(tk ), uн(tk ), tk xн(tx(tk )

f xн(tk ), uн(tk ), tk u(tk ) uн(tk ) ;

u(tk )

F(tk ) f xн(tk ), uн(tk ), tk ;

x(tk )

A(tk 1) h xн(tk 1), tk 1 h xн(tk 1), tk 1 xн(tk 1) ;x(tk 1)

H (tk 1) h xн(tk 1), tk 1 ,x(tk 1)

k )

(2.8)

(2.9)

(2.10)

(2.11)

приходим к модели линейной нестационарной системы (2.3), (2.4).

В отличие от временной линеаризации статистическая линеаризация применима к неоднозначным функциям и к существенным нелинейностям, имеющим характеристики с угловыми точками и разрывами. Статистическая линеаризация заключается в замене нелинейной характеристики эквивалентной (в вероятностном смысле) линеаризованной функциональной зависимостью. В соответствии с [27] получим:

f x(tk ), u(tk ), tk f0 x(tk ), P(tk ), u(tk ), tk

f1 x(tk ), P(tk ), u(tk ), tk x(tk ) x(tk ) ;

(2.12)

h x(tk 1), tk 1 h0 x(tk 1), P(tk 1), tk 1

h1 x(tk 1), P(tk 1), tk 1 x(tk 1) x(tk 1) ,

(2.13)

где

x(t

), P(t

), u(t

), t

f x(t

), u(t

), t

f x(tk ), u(tk ), tk

(2 )n det

P(tk )

exp

x(tk ) x

(tk ) T P 1(tk ) x(tk )

x(tk ) dx(tk ) ;

(2.14)

x(t

), P(t

), u(t

), t

f0 x(tk ), P(tk ), u(tk ), tk

;

x(tk )

x(t

), P(t

), t

x(t

), t

k 1

h x(tk 1), tk 1

(2 )n det P(tk 1)

exp

1 x(tk 1) x(tk 1) T

P 1(tk 1) x(tk 1) x(tk 1) dx(tk 1) ;

(2.15)

x(t

), P(t

), t

h0 x(tk 1), P(tk 1), tk 1

;

x(tk 1)

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]