Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Активная идентификация стохастических динамических систем. Планирование эксперимента для моделей дискретных систем. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

в уравнениях состояния, наблюдения, в начальных условиях и в ковариационных матрицах шумов системы и измерений. Представим возможный вариант такого алгоритма, следуя с незначительными изменениями [28].

Шаг 1. Определить

	(tk )
(tk ),		, k 0, 1, ..., N 1,	i 1,
(tk ),	i	, k 0, 1, ..., N 1,	i 1,
	i

x(t0 )

P(t0 )

Шаг 2. Положить M ( ) О,

k 0 ,

P tk

| tk

P(t0 )

2, ..., s , Q , R , x(t0 ) , P(t0 ) ,

, i 1, 2, ..., s .

P tk | tk P(t0 ) ,

i 1, 2, ..., s .

Шаг 3.

Определить

a(tk ) ,

a(tk )

, F(tk ) и

i 1, 2, ..., s

F(tk )

, i

1, 2, ..., s .

Шаг 4.

Если k 0 , вычислить

xA(tk 1)

и A(tk 1)

по формулам

(3.51) и (3.54) соответственно, после чего перейти на шаг 8 .

Шаг 5.

Найти K(tk )

при помощи (3.43)

K(tk )

i 1, 2, ..., s

по формуле

		K(tk )		F(tk )	K (tk ) F(tk )	K(tk )	.
					K (tk ) F(tk )		.
		i		i		i
Шаг 6.	Сформировать матрицы FA(tk ) , KA(tk ) и вектор aA(tk ) ,
воспользовавшись равенствами (3.46)–(3.48).
Шаг 7.	Вычислить		xA(tk 1)		и A(tk 1)	по формулам (3.51) и
(3.54) соответственно.
					51

Шаг 8. Определить	A(tk 1)	,	i 1, 2, ..., s ,


	i

i 1, 2, ..., s .

Шаг 9. Найти P tk 1|tk по формуле

H (tk 1) и H (tk 1) ,

(3.6) и	P tk 1\|tk	,



	i
	i

i 1,2,..., s по формуле

P tk 1|tk

F(tk ) P tk | tk FT (tk ) F(tk )

P tk | tk

F T(tk )

F(tk )P tk

| tk

FT (tk )

(tk )Q T (tk )

(tk )

(tk ) (tk )Q

T (tk )

Вычислить B(tk 1)

при

помощи

равенства (3.7) и

B(tk 1)

по формуле

i 1, 2, ..., s

B(tk 1)

H (tk 1)

P tk +1|tk H T (tk 1)

H (tk

P tk 1 | tk

(tk 1)

H (tk 1)P tk 1 | tk

H T (tk 1)

Определить

K(tk 1)

по формуле (3.8) и

K(tk 1)

по

1, 2, ..., s

формуле

K(t

)

P t

k 1

| t

H T (tk 1) P tk 1 | tk

H T (t

k 1

)

P tk 1 | tk H (tk 1)

B(tk 1)

(tk 1)

(tk 1) .

Найти

P tk 1 | tk 1

по

формуле

(3.10)

P t

| t

k 1

i 1, 2, ..., s

по формуле

P tk 1 | tk 1

I K (tk 1)H (tk 1)

P tk 1 | tk

K(tk 1)

H (tk 1)

H (tk 1) K(tk 1)

P tk 1

| tk .

Шаг 10. Используя выражения (3.39) с учетом (3.40), (3.42), получить приращение M ( ) , отвечающее текущему значению k .

Шаг 11. Положить M ( ) M ( ) M ( ) .

Шаг 12. Увеличить k на единицу. Если k N 1, перейти на шаг 3. В противном случае закончить процесс.

3.1.3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНФОРМАЦИОННОЙ МАТРИЦЫ ФИШЕРА ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ МОДЕЛЕЙ, ПОЛУЧЕННЫХ В РЕЗУЛЬТАТЕ ВРЕМЕННОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ

В случае применения линеаризации во временной области (подроб-

но см. главу 2) к математической модели (2.1), (2.2) алгоритм вычисления ИМФ из п. 3.1.2 претерпевает незначительные изменения. Уточ-

ним, какие именно шаги требуют корректировки, и представим их в новой редакции, не повторяя шаги, оставшиеся без изменений.

Шаг 2. Положить M ( ) О,

k 0 ,

xн(tk ) x(t0 ) ,

xн(tk )

x(t0 ) ,

P t

P(t ) ,

i 1, 2, ..., s ,

| t

P tk | tk

P(t0 )

i 1, 2, ..., s .

Шаг 3.

Определить uн(tk ), u(tk )

и при помощи равенства (2.8)

найти a u(tk ),

tk и

a u(t

), t

1, 2, ..., s

по формуле

a u(tk ), tk

f xн(tk ), uн(tk ), tk

2 f x (t

), u (t

), t

x (t

), u (t

), t

x (t

)

x (t

)

i x(tk )

x(tk )

2 f x (t

), u (t

), t

u(tk ) uн(tk ) .

i u(tk )

F(tk )

Используя

выражение

(2.9),

получить

F(tk )

i 1, 2, ..., s

Шаг 8. Найти

)

xн(tk 1)

, i 1, 2, ..., s по формуле (2.7).

При помощи равенств (2.10), (2.11) определить

A(tk 1)

, i 1, 2, ..., s ,

H (tk 1)

i 1,

H (tk 1) и

2, ..., s .

3.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ИНФОРМАЦИОННОЙ МАТРИЦЫ ФИШЕРА ПО КОМПОНЕНТАМ ВХОДНОГО СИГНАЛА

Построение оптимальных планов будем осуществлять при помощи прямой и двойственной градиентных процедур, что предполагает вычисление следующих градиентов (см. формулы (1.21), (1.22) и (1.27)):

X M ( )

1, 2, ..., q,

u (t )

0, 1, ..., N 1,

1, 2, ..., r ;

P X M ( )

X M ( )

1, 2, ..., q;

(U , )

, 0, 1, ..., N 1, 1, 2, ..., r.

u (t )

Соотношения (1.23)–(1.26) и (1.28), (1.29) показывают, что для этого необходимо получить выражения для производных от ИМФ по компонентам входного сигнала и разработать соответствующие вычислительные алгоритмы.

3.2.1. НАХОЖДЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ ИНФОРМАЦИОННОЙ МАТРИЦЫ ФИШЕРА ПО КОМПОНЕНТАМ

ВХОДНОГО СИГНАЛА ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ МОДЕЛЕЙ

Будем считать, что в модели состояния управляемой линейной нестационарной системы (2.3), (2.4)

a(tk ) b(tk ) (tk )u(tk ) ,		(3.55)
неизвестные параметры входят в матрицы F(tk ) ,	(tk ) ,	(tk ) ,
H (tk 1) , Q , R , P(t0 ) и векторы b(tk ) , A(tk 1) , x(t0 )	и выполнены
априорные предположения из главы 2.
55

Для вычисления производных

M (U; )			Mij (U; )
u (t )			u (t )
u (t )			u (t )

0, 1,			..., N 1,

, i, j 1, 2, ..., s,

1, 2, ..., r ,

представим ИМФ в виде суммы двух слагаемых, одно из которых зависит от входного сигнала, а другое – нет:

M (U; ) W (U; ) V ( ) .

(3.56)

Чтобы получить такое разложение, подставим равенства (3.40), (3.42) в формулу (3.39). В результате получим следующие выражения для эле-

ментов матриц W (U; )

и V ( ) :

N 1

H (t

)

Wij (U; )

k 1

C0 xA(tk 1)xAT (tk 1)

k 0

CT H

(tk 1)

B 1(t

)

H (tk 1)C x

)xT (t

)CT H T (t

k 1

)B 1(t

k 1

)

H (tk 1)

C x

)

A (tk 1)

B 1 (t

)

k 1

)C x

)xT (t

)CT H

(tk 1) B 1(t

)

H (t

k 1

sp H (t

k 1

)C x

k 1

)xT (t

k 1

)CT H T

k 1

)B 1(t

k 1

)

H (t

)C x

)

A (tk

B 1(t

)

k 1

(tk 1)

A(tk 1)

)CT

B 1(t

)

k 1

A(tk 1)

(tk 1)C j

(tk 1)B

(tk 1)

;

(3.57)

N 1

H (t

)

C0 A (tk 1)C0T

B 1(tk 1)

Vij ( ) sp

k 1

k 0

+ sp H (tk 1)C

k 1

)CT H T (t

k 1

)B 1(t

k 1

)

)CT

(tk 1)

B 1(t

sp H (t

)

k 1

sp H (t

k 1

)CT H T

k 1

)B 1(t

k 1

A(tk 1) AT (tk 1)

(tk 1)

B(tk 1)

(tk

, i,

Из соотношений (3.56), (3.57) следует, что

Mij (U; ) Wij (U; )

u (t ) u (t )

)

j 1, 2, ..., s.

N 1

H (t )

x (t

)

xT (t

k 1

A k 1

k 1

)

u (t )

k 0

(tk 1)

)

xA (tk

B 1(t

k 1

)

u (t )

H (tk 1)C

xA(tk 1) xT (t

)

k 1

(t )

)

xT (t

k 1

)

)B 1(t

k 1

CT H T (t

)

u (t )

								T
sp	H (tk 1)C			xA (tk 1)			A (tk 1)
sp	H (tk 1)C			xA (tk 1)
		i		0	u (t )				j
		i							j

	sp					xA (tk 1) xT (t
	sp	H (t	k 1		)C	xA (tk 1) xT (t
			k 1		i	u (t )				A

B 1(tk 1)

k 1)

)

(tk 1)

B 1(t

)

xA (tk 1)

CT H

k 1

u (t )

xA (tk 1) xT (t

)

sp H (t

k 1

u (t )

)

xT (t

)

)B 1(t

k 1

CT H T (t

)

u (t )

H (t

k 1

xA (tk 1)

A (tk 1)

B 1(t

k 1

)

u (t )

(tk 1)

A(tk 1)

xA (tk 1)

B 1(t

k 1

)

u (t )

A(tk 1) xA (tk 1)

u (t )

C j

(tk 1)B

(tk

(3.58)

Производные xA (tk 1) найдем при помощи равенства (3.51):

u (t )

F (t

)

xA(tk )

aA(tk )

если k

1, 2, ..., N 1;

(t )

u (t )

a(t0 )

xA (tk 1)

u (t )

2a(t

)

(3.59)

u (t )

если k 0.

u (t ) 1

. . . . . . . . .

a(t0 )

(t )

)

Перейдем к определению производных

k 1, 2, ..., N 1 .

u (t )

Для этого, воспользовавшись формулами (3.47) и (3.55), представим выражение для aA(tk ) в виде суммы двух слагаемых, одно из которых

не зависит, а другое – зависит от u(tk ) :

b(t

)

b(tk ) (tk )u(tk )

A(t

)

u(tk ) K(tk )

)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b(t

)

u(tk ) K(tk )

A(t

)

bA(tk ) A(tk )u(tk ) ,

(3.60)

где

b(tk )

A(tk )

)

K (tk )

;

. . . . . . . . . . . .

b(tk )

A(tk )

K (tk )

(tk )

)

. . . .

(tk )

Из соотношения (3.60) и (3.61) следует, что

...

aA(tk )

u(tk )

A(tk )

u (t )

...

(tk )

если

An(s 1), (tk )

, если k.

(3.61)

(3.62)

(3.63)

Подставляя равенство (3.55) в формулу (3.59) при k = 0, с учетом выражения (3.62) получаем

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]