Активная идентификация динамических систем. Учебное пособие
.pdf
Эксперимент осуществлен для 200 измерений. Для математической модели второго порядка при наличии шумов получили следующие результаты: 1 0,5173, 1 0,808. На рис. 50 демонстрируются резуль-
таты поведения оценок параметров для модели с шумом и 2 0,001.
Рис. 50. Оценивание параметра для модели с шумом
График поведения коэффициента усиления KN при действии тесто-
вого сигнала типа меандр представлен на рис. 51. Полученные оценки параметров сходятся к базовым значениям примерно за 70–80 итераций. Ошибка измерений находится примерно в пределах 5–7 %.
Пример 5. Допустим, что динамический объект описывается в следующем виде
x1 |
1 |
|
|
1 |
0,5 |
x1 |
|
|
0,5 |
|
w1 |
1 |
|
, |
||
k |
|
|
1 |
0,3 |
|
k |
|
|
0 |
u k |
k |
|
||||
x2 |
|
|
x2 |
|
|
|
w2 |
|
|
|||||||
k |
1 |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
k |
1 |
|
|
|
|
|
|
yk 1 (0 |
1) xk 1 vk 1 , |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
41 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 51. Поведение параметра KN для входного сигнала типа меандр
где xk 1 |
– вектор состояния; uk |
– вектор управления; wk – вектор |
||
возмущения с нулевым средним; |
yk 1 – вектор наблюдения; vk 1 – |
|||
вектор ошибки измерения с нулевым средним. |
||||
Моделирование осуществлялось при базовом значении: 1 0,5. |
||||
Следующее значение матрицы P |
выбрано в качестве начального зна- |
|||
чения: P 2 |
0 |
. В этой работе рассматривается активная иденти- |
||
0 |
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
фикация.
В качестве входного сигнала выбрана синусоида с периодом T 20 . Амплитуда входного сигнала равна единице. Для модели, находящейся под действием шумов, получаем следующие результаты оценивания: 1 0,99. Результаты моделирования для модели с шу-
мом и 2 0,001 даны на рис. 52.
42
Рис. 52. Оценка параметра при действии входного сигнала в виде синусоиды
График сходимости параметра KN при использовании синусоиды в качестве входного сигнала типа представлен на рис. 53.
Рис. 53. Поведение параметра KN (входной сигнал – синусоида)
43
График сходимости параметров PN в случае, когда входной сигнал – синусоида, приводится на рис. 54.
Рис. 54. Поведение параметров PN (входной сигнал – синусоида)
Рассмотрим случай, когда в качестве входного сигнала выбран сигнал типа меандр с периодом T 20 . Амплитуда входного сигнала равна единице. Эксперимент выполнен для 100 измерений. Для модели, находящейся под действием шумов, получаем следующие результаты оценивания: 1 0,5659. При увеличении числа измерений до N 200
получаем более точную оценку неизвестного параметра: 1 0,5173.
Результаты моделирования для модели с шумом и 2 0,001 даны на рис. 55.
График сходимости параметра KN при действии входного сигнала типа меандр представлен на рис. 56.
График сходимости параметров PN при действии входного сигна-
ла типа меандр приводится на рис. 57.
Рекуррентное оценивание сходится к истинному значению параметра приблизительно за 80–90 итераций. Ошибка измерений находится примерно в пределах 5–7 %.
44
Рис. 55. Оценка параметра при действии входного сигнала типа меандр
Рис. 56. Поведение параметра KN (входной сигнал – меандр)
45
Рис. 57. Поведение параметров PN (входной сигнал – меандр)
Пример 6. Пусть динамический объект рассматривается в следующей форме:
x1 |
1 |
|
1 |
||
|
k |
|
|
1 |
|
x2 |
|
|
|||
|
k |
1 |
|
|
|
0,5 |
|
x1 |
|
|
0,5 |
|
|
|
|
k |
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
u k |
||
1 2 |
x2 |
|
|
|
|||
|
|
|
k |
|
|
|
|
w1 |
1 |
|
, |
|
|
k |
|
||
w2 |
|
|
||
|
k |
1 |
|
|
yk 1 (0 1) xk 1 vk 1 ,
где xk 1 – вектор состояния; uk – вектор управления; wk – вектор возмущения; yk 1 – вектор измерения; vk 1 – вектор ошибки измере-
ния с нулевым математическим ожиданием.
Вычисления производятся шаг за шагом. После некоторых преобразований получаем следующие выражения для сигналов xi и yi :
x |
|
0,5uk 0,5 yk yk 1 |
|
, |
|
k 1 |
|
|
yk 1 yk |
|
|
|
|
|
|
|
|
yk 1 yk 2 yk 1 .
46
Эти выражения используются в дальнейшем в блоке моделирования (рис. 58).
Рис. 58. Блок Simulation
Моделирование выполнено при базовых значениях объекта: 1 0,5,2 0,8. Моделирование дискретного объекта показано на рис. 59.
Рис. 59. Моделирование дискретного объекта
47
В качестве начального значения матрицы P принято следующее
значение: P |
4 |
0 |
|
. В этой работе рассматривается активная иден- |
|
0 |
|
0 |
4 |
|
|
|
|
|
|
||
тификация. Это означает, что можно выбирать такой воздействующий сигнал, который в наибольшей степени «раскачивает» объект. В данном случае выбран входной сигнал типа меандр с периодом T 20 и амплитудой, равной единице (рис. 60).
Рис. 60. Входной сигнал
График выходного сигнала объекта без шума измерений показан на рис. 61.
Рис. 61. Выходной сигнал объекта (без шума)
48
Эксперимент проводился для 120 измерений. Для случая, когда шумы измерений отсутствуют, результат оценивания довольно точ-
ный, а именно 1 0,4934, 2 0,8212 (рис. 62).
Рис. 62. Оценивание параметров (без шума)
Рекуррентная оценка сходится к истинному значению параметра примерно за 50–60 итераций. То же самое можно сказать и о сходимости значений PN (рис. 63).
Рис. 63. Параметр PN (без шума)
49
График сходимости параметра KN представлен на рис. 64.
Рис. 64. Параметр KN (без шума)
Результаты рекуррентного оценивания для случая, когда присутствуют шумы измерений с m 0 и 2 0,025 , даны на рис. 65.
Рис. 65. Оценивание параметров (с шумом)
50