Активная идентификация динамических систем. Учебное пособие

Рис. 22. Поведение коэффициента усиления KN

Рис. 23. Оценки параметров N (периоды T 4 и T 8)

На рис. 24 приведены результаты моделирования для случая, когда период T 8 для всех входных сигналов.

Анализируя графики, представленные на рис. 23 и 24, можно отметить плохое поведение рассматриваемой системы на начальном участке в случае, когда периоды имеют одинаковое значение входных сигналов типа меандр. Таким образом, показано применение рекуррентного метода наименьших квадратов для определения параметров статического объекта с матричным входом и матричным выходом.

21

Рис. 24. Оценки параметров N для периода T 8 для всех входных сигналов

В качестве тестовых входных сигналов использовались сигналы типа меандр с единичной амплитудой. Продемонстрированы проблемы, которые возникают с выбором параметров тестовых входных сигналов. Результаты оценивания параметров объекта приведены для случая, когда на выходе объекта присутствуют гауссовские шумы. На примере объекта второго порядка построены графики оценок, полученных в ходе работы алгоритма. Отмечается быстрая сходимость оценок параметров к базовым значениям параметров объекта. Вычисления показывают, что алгоритм дает хорошие оценки неизвестных параметров даже при наличии значительных шумов, наблюдаемых на выходе объекта. В дальнейшем предложенный подход предполагается использовать для оценивания параметров объектов более высокого порядка с различным количеством параметров.

Ниже рассматривается итерационная схема метода наименьших квадратов для параметрической идентификации многоканального объекта, когда на систему осуществляется подача синусоидальных тестовых сигналов.

Пример 2. Рассматривается двухканальный объект вида

где x – входной сигнал; y – выходной сигнал, [ ij ] – матрица

оцениваемых параметров объекта; v – гауссовский шум с нулевым математическим ожиданием.

Моделирование выполнено при базовых значениях параметров11 1, 12 2, 21 0,5, 22 1,5. Результаты эксперимента пред-

ставлены для случая, когда присутствуют гауссовские шумы измерений с нулевым средним и дисперсией 0,1. В качестве начального

значения матрицы P выбрана матрица в виде P0 [0,6, 0,4; 0,5, 0,8].

Одним из самых распространенных сигналов является синусоидальный сигнал (рис. 25). Для создания прямоугольных импульсов используется источник Pulse Generator (рис. 26).

На рис. 27 показан источник входного воздействия в виде «ступеньки». Для построения случайного сигнала с нормальным распределением используется источник Random Number (рис. 28).

23

На рис. 29 приведен выходной сигнал объекта для синусоидальных тестовых сигналов.

Рис. 29. Выходной сигнал объекта для синусоидальных тестовых сигналов

24

На рис. 30 продемонстрировано поведение оценок параметров объекта для синусоидальных входных сигналов.

Для коэффициентов усиления при синусоидальных тестовых сигналах получены следующие значения: K1 0,007626, K2 0,008358. На рис. 31 показан график поведения коэффициентов усиления.

Рис. 30. Оценка параметров для синусоидальных тестовых сигналов

Рис. 31. Коэффициенты усиления для синусоидальных тестовых сигналов

25

На рис. 32 приведены результаты поведения элементов матрицы P для синусоидальных входных сигналов.

Рис. 32. Значения параметра P для синусоидальных тестовых сигналов

Отметим, что рекуррентная оценка сходится к истинному значению параметра примерно за 70–80 итераций. То же самое можно сказать и о сходимости значений KN и PN .

Пример 3. В данном примере рассматривается статический объект третьего порядка вида

Моделирование выполнялось при следующих базовых значениях:

a32 0,9, a33 0,5. В качестве начального значения матрицы P вы-

бирают матрицу со случайными значениями, сформированными генератором случайных чисел из интервала [0,1]: P0 [0,9, 0,2, 0,1;

0,3,1,0, 0,2; 0,3, 0,5,1,0]. Объект и входные сигналы моделируются в

среде Simulink. Каждый этап рекуррентной оценки на основе метода наименьших квадратов выполнен как независимый вычислительный блок. Входные и выходные параметры определяются для каждого блока. Блоки для расчета оценок параметров показаны на рис. 33.

Рис. 33. Вычисление оценок параметров

На вход подаются тестовые сигналы типа меандр с периодами

це для всех входных сигналов. На рис. 34 показаны входные сигналы для исходного объекта (входной сигнал (x12 , x22 , x32 ) с периодом

T = 14, T = 10, T = 9).

На рис. 35 представлены выходные сигналы (выходной сигнал ( y12 , y22 , y32 ) ) . Для случая N = 50 измерений были получены следу-

Рис. 34. Тестовые сигналы

Рис. 35. Выходные сигналы

28

мерений были получены следующие значения оцениваемых парамет-

можно наблюдать на графиках, что оценки параметров сходятся к базовым значениям.

Рис. 36. Оцениваемые параметры для N = 50 измерений

Поведение коэффициентов матрицы усиления, включенных в алгоритм рекуррентного метода наименьших квадратов, показано на рис. 37

Предложенный подход может быть использован для определения неизвестных параметров более сложных систем, где присутствует возможность периодического тестирования параметров систем управления.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К РАЗДЕЛУ 1

1.Перечислите параметры, которые необходимо указать при формировании синусоидальных входных сигналов.

2.Каким образом осуществляется соединение блоков при моделировании?

3.Какой блок предназначен для вывода в графическое окно графика зависимости величины, подаваемой на его вход, от модельного времени?

4.С помощью какого блока можно осуществить вывод числового значения сигнала?

30