Активная идентификация динамических систем. Учебное пособие
.pdf
Выходной сигнал y, как следует из рис. 8, является суперпозицией
двух сигналов типа меандр. Оценка параметров довольно быстро сходится к истинному значению, примерно за 50 шагов. То же самое можно сказать и о матрице оценки дисперсии PN и коэффициенте
усиления KN . После ста измерений получены следующие оценки
параметров: 1 0,981, 2 0,4912. На рис. 11–14 приведены результаты моделирования при наличии шума процесса v с нулевым сред-
ним m и дисперсией 2 0,005, что соответствует погрешности измерений в пределах 5–7 %.
Рис. 10. Параметр PN . без шума (v 0)
11
Рис. 11. Оценка ˆ N при наличии шума
Рис. 12. Выход объекта Y при наличии шума
12
Рис. 13. Параметр KN при наличии шума
Рис. 14. Параметр PN при наличии шума
13
Полученыследующиезначенияоцениваемыхпараметров: 1 0,9771,
2 0,4817. Как следует из результатов моделирования, алгоритм успешно работает даже при наличии значительных шумов измерений.
1.2. ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ СТАТИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ С МАТРИЧНЫМ ВХОДОМ
ИМАТРИЧНЫМ ВЫХОДОМ
Вданной работе рассматривается статический объект с матричным входом и зашумленным матричным выходом в следующем виде:
y x v , |
(7) |
где x – матричный входной сигнал размерности n n ; y – матричный выходной сигнал размерности n n ; v – гауссовский шум с нулевым
математическим ожиданием и дисперсией . По уравнению (7) с матричным входом и матричным выходом требуется определить параметры [ ij ]. Для получения оценок параметров предлагается использо-
вать рекуррентную процедуру метода наименьших квадратов.
Рекуррентная процедура метода наименьших квадратов
Оценка параметров [ ij ]n n для объекта (7) по N измерениям вычисляется с помощью рекуррентного метода наименьших квадратов:
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
X N X N |
|
|
|
X NYN , |
|
|
|
|
(8) |
|||||
где |
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
) , Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
) . |
|
||
X |
N |
(x |
x x |
N |
|
|
( y |
y |
2 |
y |
N |
(9) |
|||||
|
1 |
2 |
|
|
N |
|
1 |
|
|
|
|
||||||
Для ковариационной матрицы размера n n принято использовать |
|||||||||||||||||
следующее выражение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
P |
(X X |
N |
) 1 . |
|
|
|
|
|
(10) |
||||
|
|
|
|
N |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В рекуррентном виде для N 1 измерения формулу (10) можно записать следующим образом:
14
P |
|
|
X |
N |
|
X |
N |
|
1 |
|||
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|||
N 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
N 1 |
N 1 |
|
|
|||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
(X |
X |
N |
x |
N 1 |
x |
|
|
) 1. |
|||
N 1 |
|
|
N |
|
N 1 |
|
||||||
(11)
(12)
Ниже приводится итерационный алгоритм определения неизвестных параметров:
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
ˆ |
; |
(13) |
|
N 1 |
N KN 1 yN 1 xN 1 N |
||||||||
KN 1 PN xN 1 |
I xN 1PN xN 1 ; |
(14) |
|||||||
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
P |
I P |
|
N 1 |
N 1 |
P |
|
, |
(15) |
|
|
|
|
|
||||||
N 1 |
|
N |
|
|
N |
|
|
||
|
|
|
I xN 1PN xN 1 |
|
|
|
|
||
где KN 1 – матрица коэффициентов усиления размерности n n и PN 1 – ковариационная матрица размерности n n , вычисленные по
результатам N 1 измерений.
Формулы (13–15) можно получить на основании нижеследующего
утверждения. |
|
|
|
Лемма. Для матриц |
A, B, C размерами n n , |
n m и |
m n соот- |
ветственно справедливо выражение |
|
|
|
(A BC) 1 |
A 1 A 1B(I CA 1B) 1CA 1 . |
(16) |
|
Отметим, что формулу (15) можно получить из выражения (12) после применения формулы (10). Для этого необходимо осуществить
следующие замены: X N X N A , xN 1 B , |
xN 1 C . |
|
ˆ |
на основе уравнений (8) и (9) имеет вид |
|
Оценка параметров N 1 |
||
ˆ |
|
|
PN 1X N 1YN 1. |
|
|
N 1 |
|
|
|
15 |
|
Выражая последнюю формулу через N и N меняя формулу (15), имеем
ˆ |
|
|
|
xN 1xN 1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N 1 |
I P |
|
|
P |
X |
N |
Y |
||
|
|
|||||||||
|
|
N |
|
|
|
N |
|
N |
||
|
|
|
|
1 xN 1PN xN 1 |
|
|
|
|
||
1 измерения и при-
xN 1yN 1 .
Раскрывая скобки и применяя выражение (14), получим соотноше-
ние (13):
ˆ |
ˆ |
yN 1 |
|
ˆ |
N 1 |
N KN 1 |
xN 1 N . |
||
В среде Simulink выполнено моделирование объекта, входных сигналов, а также алгоритма определения неизвестных параметров с использованием итерационной процедуры метода наименьших квадратов. Блоки, реализующие формирование итерационной процедуры метода наименьших квадратов, соответствуют формулам (13–15), которые находятся в составе алгоритма рекуррентного метода наименьших квадратов.
Пример 1. Рассматривается статический объект второго порядка в следующем виде:
y1 |
|
|
|
|
x1 |
|
1 |
1 |
|
|
(17) |
k 1 |
|
|
11 |
12 |
k |
|
k |
, |
|
||
y2 |
|
|
21 |
22 |
x2 |
|
2 |
1 |
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
k |
|
k |
|
|
|
|
где x – матричный входной сигнал размерности |
n n; ; |
y – матрич- |
|||||||||
ный выходной сигнал размерности n n; |
[ ij ] |
– матрица оценива- |
|||||||||
емых параметров объекта; |
v – гауссовский шум с нулевым математи- |
||||||||||
ческим ожиданием m и дисперсией 0,1. |
|
|
|
|
|
||||||
На вход подаются тестовые сигналы типа меандр с перио- |
|||||||||||
дами T 6 (для первого |
входного сигнала), |
T 12 |
(для |
второго |
|||||||
входного сигнала), T 14 |
|
(для третьего входного сигнала) |
и T 10 |
||||||||
(для четвертого входного сигнала). Амплитуда всех входных сигналов равна единице. На рис. 15 и 16 показаны входные сигналы для объекта (17).
16
Рис. 15. Входные сигналы U1 , U2
Рис. 16. Входные сигналы U3 , U4
17
По уравнению (17) с матричным входом и матричным выходом
требуется |
определить параметры |
|
|
11 |
12 . |
Моделирование |
|
|
|
ij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
22 |
|
|
выполнено при следующих базовых значениях: 11 |
1,0, |
12 2,5, |
|||||
21 0,5, |
22 1,0. На рис. 17 и 18 представлены выходные сигналы. |
||||||
Рис. 17. Выходные сигналы Y11 , Y21
Рис. 18. Выходные сигналы Y22 , Y12
18
На рис. 19 показан график шума, наблюдаемого на выходе объекта в одном из каналов. В качестве начального значения матрицы P выбрана матрица в виде P0 [0,9, 0,2; 0,3,1,0] . Для случая N 50 изме-
рений были получены следующие значения оцениваемых параметров:
11 0,9834, 12 2,447, 21 0,5396, 22 1,045. На рис. 20–22
приведены результаты моделирования для N 50 измерений.
Рис. 19. Шум, наблюдаемый на выходе объекта в одном из каналов
Рис. 20. Оценки параметров N
19
При увеличении числа измерений до N 200 были получены следующие значения оцениваемых параметров: 11 0,9954, 12 2,493,
21 0,5044, 22 1,014.
Для числа измерений N 50 были получены следующие значения:
P11 0,009336, |
P21 0,0001751, P21 0,0001659, |
P22 0,008461. |
При увеличении числа измерений до N 200 значения элементов |
||
матрицы PN |
изменяются следующим образом: |
P11 0,002452, |
P21 0,0001058, |
P21 0,0001064, P22 0,00288. |
|
Рис. 21. Поведение матрицы PN
Отметим, что рекуррентные оценки параметров объекта сходятся к истинным значениям примерно за 70–80 шагов. Можно отметить и аналогичную сходимость значений KN и PN . Результаты моделиро-
вания показывают, что алгоритм дает хорошие оценки неизвестных параметров даже при наличии значительных шумов, наблюдаемых на выходе объекта.
На рис. 23 приведены результаты моделирования для случая, когда первый и второй входные сигналы имели период T 4, а третий и
четвертый входные сигналы имели период T 8.
20