Упорядоченные системы решетки, группы. Курс лекций

3 • ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ

Если e < b в группе G, то, в силу ее архимедовости, существует число n N, для которого a bn. Таким образом, n1 L(b), и тогда 0 L(b). Отсюда 0 < f(b), поэтому ker f = {e}. Следовательно, f — вложение. Учитывая лемму 3.7.3, заключаем, что f — o-изоморфизм на образ.

Кроме того, из a a следует, что 1 L(a). При этом, если mn Q и

1 < mn , то из e < a выводим an < am, и значит, mn U(a). Поэтому f(a) = 1, то есть 1 f(G).

3.8Задания к разделу "Частично упорядоченные группы"

1.Докажите, что аддитивную группу комплексных чисел можно частично упорядочить, задав для нее положительный конус одним из следующих способов:

а) P1 = {a + bi | a 0 и b 0};

б) P2 = {a + bi | a > 0 или a = 0, b 0};

в) P3 = {a + bi | a 0, b > 0 или a = 0, b = 0}; г) P4 = {a + bi | a > 0, b > 0 или a = 0, b = 0}.

Покажите, что определяемый положительным конусом P1 порядок является решеточным, P3 и P4 задают направленный порядок, а P2 — линейный порядок.

2.Докажите, что P = N является положительным конусом, определяющим решеточный порядок на мультипликативной группе положительных рациональных чисел.

3.Рассмотрим множество M = {ax + b | a, b R} R[x]. Зафиксируем

элементы γ1, γ2 R так, что γ1 = γ2, и зададим на M отношение ρ по правилу: (ax + b)ρ(cx + d) тогда и только тогда, когда aγ1 + b < cγ1 + d

иaγ2 + b < cγ2 + d. Докажите, что M, +, ρ — частично упорядоченная группа. Является ли она решеточно упорядоченной? Линейно упорядоченной?

4.Верно ли, что центр любой l-группы является l-группой?

5.Выясните, какие из указанных соотношений имеют место в абелевой l-группе G:

а) (|ab−1|)2 |a(bc)−1||a(bc−1)−1| для всех a, b, c G; б) (a b)2 (a bc)(a bc−1) для всех a, b, c G; в) (a b)2 (a bc)(a bc−1) для всех a, b, c G.

61

Ю.В. Кочетова, Е.Е. Ширшова •УПОРЯДОЧЕННЫЕ СИСТЕМЫ: РЕШЕТКИ, ГРУППЫ

6.Докажите, что группа R2, ◦ , где (a, b) ◦ (c, d) = (a + c, ecb + d), является l-группой, если считать, что (a, b) (c, d) тогда и только тогда, когда a < c или a = c, b d.

7.Будет ли P определять на группе R2, + структуру l-группы, если: а) P = {(a, b) | a 0 и b √a};

б) P = {(a, b) | a + b 0 и ab 0}.

8. Пусть F — группа всех функций вида ax + b, где a, b R и a > 0, относительно композиции. Рассмотрим в группе F подмножество P = {ax + b F | a > 1 или a = 1, b 0}. Покажите, что P — положительный конус некоторого частичного порядка на F . Является ли этот порядок решеточным?

9. Пусть A = {X = | a, b, c R} и пусть X 0, если a > 0

или a = 0, b > 0 или a = b = 0, c 0. Докажите, что A, ·, — линейно упорядоченная группа.

√

10. Покажите, что аддитивная группа Q[ 2] является l-группой относительно порядка, при котором a + b√2 0 в том и только в том случае,

когда a 0 и b 0. Будет ли этот порядок линейным?

11. Докажите, что аддитивная группа рациональных чисел относительно положительного конуса P = {0} {x Q | x 1} является направленной группой. Является ли она l-группой?

a = b = 0, c 0 в R.

Верно ли, что порядок, определенный в пункте б), линейный?

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Список литературы

[1]Беран Л. Упорядоченные множества.– М.: Наука, 1981.

[2]Биркгоф Г. Теория решеток. – М.: Наука, 1984.

[3]Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. – М.: Мир, 1976.

[4]Верещагин Н.К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств. 2-е изд., исправленное.

– М.: МЦНМО, 2002.

[5]Кокорин А.И., Копытов В.М. Линейно упорядоченные группы. – М.: Наука, 1972.

[6]Копытов В.М. Решеточно упорядоченные группы. – М.: Наука, 1984.

[7]Копытов В.М., Медведев Н.Я. Правоупорядоченные группы. – Новосибирск: Научная книга, 1996.

[8]Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. – СПб: Издательство "Лань", 2006.

[9]Салий В.Н. Решетки с единственными дополнениями. – М.: Наука, 1984.

[10]Скорняков Л.А. Элементы общей алгебры. – М.: Наука, 1983.

[11]Скорняков Л.А. Элементы теории структур. – М.: Наука, 1970.

[12]Фрид Э. Элементарное введение в абстрактную алгебру. – М.: Мир, 1979.

[13]Фукс Л. Частично упорядоченные алгебраические системы. – М.: Мир, 1965.

[14]Ширшова Е.Е. Алгебра. Группы. Кольца. Курс лекций. – М.: МПГУ, 2005.

[15]Шрейдер Ю.А. Равенство, сходство, порядок. – М.: Наука, 1971.

63