Упорядоченные системы решетки, группы. Курс лекций

3 • ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ

Доказательство. Если имеет место закон монотонности, то, применяя его для x = a b к неравенствам a x и b x, получаем верные неравенства cad cxd и cbd cxd, из которых заключаем, что cad cbd cxd.

С другой стороны, если y = cad cbd, то неравенства cad y и cbd y влекут неравенства a c−1yd−1 и b c−1yd−1, которые означают, что

xc−1yd−1, то есть cxd y. Таким образом, cxd = y.

Пусть далее имеет место тождество (a). Поскольку в случае, когда x y для некоторых элементов x, y G, верно y = x y, то для любых элементов c, d G выполняется равенство cyd = c(x y)d. Применяя к нему тождество (a), заключаем, что cyd = cxd cyd, и поэтому cxd cyd.

Положив в последнем неравенстве c = e, а затем — d = e, получим неравенства закона монотонности.

Аналогично можно доказать утверждение для второго тождества.

Теорема 3.4.2. Пусть G = G, ·, , — множество с тремя бинарными операциями ·, и , удовлетворяющее условиям:

(1)G, · — группа;

(2)G, , — решетка;

(3)в G справедливы аксиомы связи (a) и (b). Тогда G — l-группа.

Доказательство. В силу предложения 3.4.1, из условия (3) следует справедливость закона монотонности, поэтому G — частично упорядоченная группа.

Предложение 3.4.3. Пусть G является l-группой. Тогда для любых элементов a, b G справедливы равенства:

a(a b)−1b = a b и a(a b)−1b = a b.

Доказательство. При доказательстве предложения 3.2.5 были получены равенства (a b)−1 = a−1 b−1 и (a b)−1 = a−1 b−1. Применение к ним свойств (a) и (b) предложения 3.4.1 завершает доказательство.

Теорема 3.4.4. Решетка G, , в l-группе G является дистрибутивной.

Доказательство. Пусть a x = a y и a x = a y для a, x, y G. Согласно теореме 2.5.5, достаточно показать, что x = y при таких a, x, y G.

51

Ю.В. Кочетова, Е.Е. Ширшова •УПОРЯДОЧЕННЫЕ СИСТЕМЫ: РЕШЕТКИ, ГРУППЫ

Вычислим

x= ex = (a x)e(a x)−1x = (a x)a−1a(a x)−1x,

аэто выражение по предложению 3.4.3 равно (a x)a−1(a x). Последнее по условию равно (a y)a−1(a y) = y.

Таким образом, x = y. Остается воспользоваться критерием дистрибу-

тивной решетки.

Предложение 3.4.5. Пусть G — l-группа, a G и e an для n N. Тогда e a.

Доказательство. По предложению 3.4.1

(a e)2 = (a e)(a e) = a(a e) e(a e) = a2 a a e = a2 a e.

Предположим, что для n − 1 имеет место равенство

(a e)n−1 = an−1 an−2 · · · a e.

Тогда для n получаем

(a e)n = (a e)n−1(a e) = an an−1 an−2 · · · a e.

Так как по условию e an, то

(a e)n = an−1 an−2 · · · a e.

Таким образом, (a e)n = (a e)n−1. Откуда a e = e, то есть e a.

Следствие 3.4.6. Любая l-группа G является группой без кручения.

Предложение 3.4.7. Пусть G — частично упорядоченная группа. G является l-группой тогда и только тогда, когда для всех a G найдется элемент e a в группе G.

Доказательство. Необходимость условия очевидна.

Пусть для фиксированного элемента e и для всех a G найдется элемент e a в группе G. В этом случае выполняются условия теоремы 3.2.3, поэтому G — направленная группа.

Если a, b G+, то по условию существует элемент x = ab−1 e. Тогда ab−1 x и x G+. Отсюда следуют неравенства a xb и b xb, где, в силу транзитивности отношения порядка, xb G+.

Так как для произвольного элемента t G, для которого a t и b t, верны неравенства ab−1 tb−1 и e tb−1, то x tb−1. Значит, xb t.

Таким образом, xb = a b в G+. По пункту 2 теоремы 3.2.8 группа G является решеточно упорядоченной.

52

3 • ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ

Пусть G является l-группой и a G. Тогда в группе G существуют элементы

a+ = a e, a− = a e и |a| = a a−1.

Из определений следует, что a+ G+ и a− e.

Определение 3.4.1. Элемент a+ принято называть положительной частью элемента a, элемент a− — отрицательной частью элемента a, |a| — модулем элемента a.

Предложение 3.4.8. Пусть G является l-группой и a G. Тогда:

Доказательство. Из верных по определению модуля неравенств a |a| и a−1 |a| по предложению 3.1.1 получаем неравенство e |a|2, из которого по предложению 3.4.5 следует, что e |a|.

Из определения положительной и отрицательной части элемента и предложения 3.2.5 выводим

(a−1)+ = a−1 e = (a e)−1 = (a−)−1 и (a−1)− = a−1 e = (a e)−1 = (a+)−1.

Учитывая доказанное выше, по предложению 3.4.1 получаем

a+(a−)−1 = (a e)(a−1 e) = a(a−1 e) e(a−1 e) =

= e a a−1 e = |a| e = |a|.

Теорема 3.4.9. Пусть G является l-группой и g G. Тогда для элементов a = g+ и b = (g−)−1 справедливы соотношения:

При этом, если g = uv−1, где u v = e, то u = a и v = b.

Доказательство. Из предложения 3.4.8 следует, что b = g−1 e, поэтому gb = g(g−1 e) = e g = g+ = a, то есть g = ab−1.

С другой стороны, bg = (g−1 e)g = e g = g+ = a, откуда g = b−1a. Значит, ab−1 = b−1a, то есть ba = ab.

Далее, a b = (ab−1 e)b = (g e)b = g−(g−)−1 = e.

Из равенства ab−1 = uv−1 получаем, что c = a−1u = b−1v u, v. Тогда c e, следовательно, u a и v b. Аналогично, из того, что c−1 a, b, выводим a u и b v. Отсюда следует требуемое равенство.

53

Ю.В. Кочетова, Е.Е. Ширшова •УПОРЯДОЧЕННЫЕ СИСТЕМЫ: РЕШЕТКИ, ГРУППЫ

3.5Отношение ортогональности

Пусть G является l-группой.

Определение 3.5.1. Элементы a и b из G+ называются ортогональными (a b), если a b = e.

Следствие 3.5.1. Каждый элемент g G однозначно представим в виде g = ab−1, где a b.

Отношение ортогональности играет важную роль в теории решеточно упорядоченных групп.

Предложение 3.5.2. Ортогональные элементы коммутируют. Объединение ортогональных элементов равно их произведению.

Доказательство. Если a b в l-группе G, то a b = e, откуда, по предложению 3.4.3, заключаем, что

ab = ae−1b = a(a b)−1b = a b.

Таким образом, ba = b a = a b = ab.

Предложение 3.5.3. Решеточно упорядоченная группа G является линейно упорядоченной группой в том и только в том случае, когда выполняется условие:

из a b следует a = e или b = e для всех a, b G. (3)

Доказательство. Пусть a b в o-группе G. Тогда из неравенства a b следует a = e, а из неравенства b a следует b = e.

Обратно, пусть свойство (3) справедливо в l-группе G. Для произвольных элементов x и y из G рассмотрим элемент g = xy−1 G.

По следствию 3.5.1 имеем g = ab−1, где a b. Применение к a и b свойства (3) дает a = e или b = e.

В каждом из этих случаев получаем g e или e g соответственно. Поэтому x y или y x.

Пусть G — l-группа.

Предложение 3.5.4. Для любых a, b, c G равенство a b = c справедливо тогда и только тогда, когда ac−1 bc−1.

54

3 • ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ

Доказательство. Используя предложение 3.4.1, умножаем справа на c−1 равенство a b = c.

Предложение 3.5.5. Если a b и e c, то

a bc = a c и a cb = a c.

Доказательство. Вычислим a (a b)c. С одной стороны, учитывая предложение 3.4.1, имеем a (a b)c = a ac bc. Поскольку e c, то a ac, и значит, a ac = a. Отсюда a (a b)c = a bc.

С другой стороны, a (a b)c = a c, так как a b = e.

Следствие 3.5.6. Из условий a bc и e c при a b следует a c.

Предложение 3.5.7. Если a b и a c, то a bc, a (b c) и a (b c) для всех a, b, c G+.

Доказательство. По теореме 3.4.4 решетка G, , является дистрибутивной, поэтому

a (b c) = (a b) (a c) = e e = e.

А по предложению 3.5.5 получаем a bc = a c = e.

Пусть G — l-группа и a G+. Рассмотрим множество

Da = {x G+ | x a}.

Предложение 3.5.8. Da — подполугруппа и выпуклая подрешетка в G+.

Доказательство. По предложению 3.5.7 заключаем, что Da является полугруппой и подрешеткой в G+.

Далее возьмем элементы x, y Da и b G+, удовлетворяющие неравенству x b y. Тогда a x a b a y, то есть e a b e. Отсюда следует a b = e, и значит, b Da.

Предложение 3.5.9. Пусть a1, a2, . . . , an G+, где ai aj при i = j. Тогда a1 a2 · · · an = a1a2 · · · an.

Доказательство. По предложению 3.5.2 имеем a1 a2 = a1a2.

Далее, согласно индуктивному предположению, будем считать, что

a1 a2 · · · an−1 = a1a2 · · · an−1 = b.

Заметим, что an b по предложению 3.5.7. Применение к данному соотношению предложения 3.5.2 влечет ban = b an.

55

Ю.В. Кочетова, Е.Е. Ширшова •УПОРЯДОЧЕННЫЕ СИСТЕМЫ: РЕШЕТКИ, ГРУППЫ

3.6Атомы

Пусть G — l-группа.

Определение 3.6.1. Элемент a G+, где a = e, называется атомом, если из соотношений e x < a следует x = e для всех x G.

Предложение 3.6.1. Если a — атом, и x G+, то a x или a x.

Доказательство. Для элемента c = a x по определению атома верно одно из равенств: c = a или c = e.

Предложение 3.6.2. Пусть a G+ и a = e. Тогда a является атомом в том и только в том случае, когда для любых элементов b, c G+

Доказательство. Если a — атом, воспользуемся предложением 3.6.1. Допустим, что a b и a c. Тогда a bc по предложению 3.5.7. Кроме того, a bc = a, а следовательно, a = e, что противоречит условию.

Обратно, для a > e из соотношений e x < a найдем b = x−1a G+. Тогда a = xb xb. По условию (4), так как a не меньше x, то a b. Таким образом, x = ab−1 e, и значит, x = e.

Теорема 3.6.3. Если M = {ai}i I — множество различных атомов l- группы G, то подгруппа H, порожденная множеством M, является свободной абелевой группой со свободными образующими ai.

Доказательство. По предложению 3.5.9 элементы множества M коммутируют. Поэтому группа H абелева.

Рассмотрим элемент h = ak11 ak22 · · · akt t e, где ai M и ki Z. Преобразуем данное неравенство так, чтобы все показатели степеней

стали неотрицательными. В результате получим

b = al11 al22 · · · alss a−s+1ls+1 a−s+2ls+2 · · · a−t lt = c.

Из предложения 3.6.1 можно сделать вывод о том, что ai aj при i = j для любых ai, aj M. Отсюда, используя предложение 3.5.7, заключаем, что b c.

Так как при этом c b, то c = e. Следовательно, в выражении h можно считать ki 0 для всех показателей степеней.

Пусть далее ak11 ak22 · · · aknn = e, где ai M и ki Z+.

56

3 • ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ

Тогда x = ak11 = (ak22 · · · aknn )−1 = y, где e x и y e. В этом случае ak11 = e, поэтому k1 = 0.

Аналогично доказывается, что все показатели степеней равны нулю. Значит, множество M — свободная система образующих.

3.7Линейно упорядоченные группы

Пусть G — o-группа.

Замечание. Так как из a b следует a = a b и b = a b, то o-группа G

является l-группой.

Кроме того, |a| = a, если e a, и |a| = a−1, если a e для a G.

Определение 3.7.1. Элементы a, b G называются архимедово эквивалентными, если существуют целые положительные числа m и n, для которых |a| |b|m и |b| |a|n.

o-группа называется архимедовой, если любые два ее элемента архимедово эквивалентны.

Прежде чем сформулировать одну из важнейших теорем теории упорядоченных групп, напомним, что одним из способов построения модели R является разбиение множества Q на непересекающиеся классы: образование сечений.

Определение 3.7.2. Сечением множества Q называется представление его в виде Q = K L, где для любого α K и любого β L имеет место неравенство α < β.

Множество M Q называется верхним классом сечения, если из α < β для α M следует β M для любого β Q.

Множество M Q называется нижним классом сечения, если из β α для α M следует β M для любого β Q.

Между множеством сечений и множеством верхних (нижних) классов существует биективное соответствие, при котором каждому сечению соответствует именно его класс.

Пусть L — множество всех верхних классов. Определяя поэлементное сложение и умножение классов, получают, что относительно этих операций L — поле. Далее определяют вложение ψ : Q, + → L, + по правилу: ψ(α) = Lα для любого α Q, где Lα — верхний класс сечения, порожденного числом α.

57

Ю.В. Кочетова, Е.Е. Ширшова •УПОРЯДОЧЕННЫЕ СИСТЕМЫ: РЕШЕТКИ, ГРУППЫ

Рассмотрим A = L\ψ(Q). В универсальном поле T , содержащем группу Q, возьмем подмножество B T , удовлетворяющее условиям: B ∩ Q =

исуществует биекция σ : B → A. Обозначим R = Q B. Тогда биективной будет функция ϕ : R → L, где

ψ(a), если a Q;

ϕ(a) =

σ(a), если a / Q.

Элементы множества R называют вещественными числами, а элементы множества R \ Q — иррациональными числами.

Положим K L, если L K для K, L L. Тогда L — линейно упорядоченное множество.

Говорят, что a b в R, если ϕ(a) ϕ(b).

Вернемся к o-группам. Пусть G — архимедова o-группа.

Лемма 3.7.1. Если e < a для a G, то для любого b G множества

неравенств {am1 bn1 | n1 N, m1 Z} и {am2 > bn2 | n2 N, m2 Z} не пусты.

Доказательство. В силу архимедовости группы G, существуют числа k, l N, для которых a |b|k и |b| al.

Если e b, то a bk и b al. Так как e < a, то b < al+1. Таким образом,

можно считать m1 = n2 = 1, n1 = k и m2 = l + 1.

Если b < e, то a b−k и b−1 al. Отсюда, a−l b и bk a−1 < a. В этом случае положим m2 = n1 = 1, n2 = k и m1 = −l.

Лемма 3.7.2. Пусть a, b G и e < a. Тогда пара (L(b), U(b)) образует сечение множества Q, где множество

L(b) = mn Q | n > 0, am bn

является нижним классом сечения, а множество

U(b) = mn Q | n > 0, am > bn −

верхним классом сечения.

Доказательство. По лемме 3.7.1 классы L(b) и U(b) не пусты.

Для произвольных элементов α L(b) и β U(b) имеем α = m1 и

β = m2 , где am1 bn1 и am2 > bn2 для n1, n2 N и m1, m2 Z.

n1

n2

58

3 • ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ

Отсюда (am1 )n2 (bn1 )n2 и (bn2 )n1 < (am2 )n1 . По транзитивности отношения порядка am1n2 < am2n1 , то есть e < am2n1−m1n2 . Значит, 0 < m2n1 −m1n2. Следовательно, α < β.

Пусть далее β U(b) и γ Q, где β < γ. Тогда β = mn и γ = st , где am > bn для n, t N и m, s Z.

Так как mn < st , то u = sn − mt > 0. В этом случае au > e, что означает

asn > amt.

Из am > bn следует amt > bnt, откуда, используя доказанное выше, получаем asn > bnt. Значит, (asb−t)n > e.

Поскольку o-группа G в силу следствия 3.4.6 является группой без кручения, то asb−t > e, поэтому, bt < as, то есть γ U(b).

Аналогичные рассуждения показывают, что, если γ α для α L(b) и

γ Q, то γ L(b).

Лемма 3.7.3. Пусть G и H — o-группы, и ϕ : G → H — o-гомоморфизм, являющийся изоморфизмом групп. Тогда ϕ — o-изоморфизм.

Доказательство. Если h H+, тогда по условию существует a G, для которого ϕ(a) = h. Если a < e, то h = ϕ(a) < e, что противоречит выбору элемента h. Значит, H+ ϕ(G+). Кроме того, G+ ϕ−1(H+).

Остается заметить, что вторая группа также линейно упорядочена.

Теорема 3.7.4 (Теорема Гельдера). Линейно упорядоченная группа является архимедовой группой тогда и только тогда, когда она o-изоморфна подгруппе аддитивной группы действительных чисел с естественной упорядоченностью.

Доказательство. Для архимедовой o-группы G рассмотрим два случая. I. В группе G существует атом a.

Тогда для любого неединичного элемента b G+ по предложению 3.6.1, учитывая линейную упорядоченность группы G, получаем неравенство a b. Кроме того, благодаря архимедовости группы G, можно найти такое натуральное число n, для которого an b < an+1. Отсюда e a−nb < a, что по определению атома влечет a−nb = e. Значит, b = an, то есть группа G = (a) — бесконечная циклическая группа.

Покажем, что отображение ϕ : Z → G по правилу ϕ(n) = an является o-изоморфизмом. В силу леммы 3.7.3 достаточно показать, что ϕ является o-гомоморфизмом.

Для этого возьмем n Z+. Так как an G+, то ϕ(Z+) G+.

59

Ю.В. Кочетова, Е.Е. Ширшова •УПОРЯДОЧЕННЫЕ СИСТЕМЫ: РЕШЕТКИ, ГРУППЫ

II. В группе G нет атомов.

Тогда для любого элемента x G+ такого, что x = e, найдется элемент y G, для которого e < y < x. Сравним элементы x и y2.

Если y2 x, то положим z = y.

Если x < y2, то y−1xy−1 < e. Отсюда xy−1xy−1 < x, то есть (xy−1)2 < x. Положим в этом случае z = xy−1. Тогда из y < x следует e < z, а неравенство y−1 < e влечет z < x.

Таким образом, для неединичного элемента x G+ всегда существует элемент z G, удовлетворяющий условиям e < z < x и z2 x.

Покажем, что G — абелева группа. Допустим, от противного, что найдутся a, b G, для которых ba < ab.

Рассмотрим x = aba−1b−1. Ясно, что e < x. Выберем для взятого x элемент z как указано выше. Из свойства архимедовости следует существование целых чисел m и n, для которых zm a < zm+1 и zn b < zn+1. Отсюда x < zm+1zn+1z−mz−n = z2. Но это противоречит выбору элемента z. Следовательно, G — коммутативная группа.

Определим функцию f из G в R. Для этого зафиксируем элемент a G, где e < a. Для него и для произвольного элемента b G, согласно леммы 3.7.2, существует сечение (L(b), U(b)) множества Q. Исходя из этого, найдется такое действительное число rb, что rb = ϕ−1(U(b)). Будем счи-

тать f(b) = rb.

Пусть далее c G и f(c) = rc. Тогда для α U(b) и γ U(c), где α = mn и γ = st , справедливы неравенства am > bn и as > ct для n, t N

и m, s Z.

Отсюда следует, что bnt < amt и cnt < ans. Из последних неравенств выводим неравенство amt+ns > (bc)nt, где nt N и mt + ns Z.

Значит, α + γ U(bc). Следовательно, U(b) + U(c) U(bc).

С другой стороны, если α / U(b) и γ / U(c), то α L(b) и γ L(c), поэтому справедливы неравенства am bn и as ct для n, t N и m, s Z. Из последних неравенств следует, что amt+ns (bc)nt, то есть α + γ L(bc).

Значит, α + γ / U(bc), откуда U(b) + U(c) = U(bc).

Таким образом, rb + rc = rbc, то есть f(b) + f(c) = f(bc). Получили, что f — гомоморфизм групп.

Пусть далее b c в группе G. Так как из неравенства cn < am следует верность неравенства bn < am, то U(c) U(b). Поэтому rb rc, то есть f(b) f(c). Следовательно, f — o-гомоморфизм.

60