Упорядоченные системы решетки, группы. Курс лекций

3 • ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ

Следствие 3.1.4. Порядок в группе можно задавать указанием положительного конуса.

Пусть далее M — полугруппа, удовлетворяющая условиям:

(I)в M справедлив закон сокращения;

(II)в M существует единица e;

(III) если ab = e, то a = b = e для всех a, b M;

(IV) для любых элементов a и b из M найдутся элементы c, d M, для которых ab = ca и ba = ad.

Предложение 3.1.5. Элементы c и d в условии (IV) определены однозначно.

Доказательство. Пусть для элементов a и b из M найдутся элементы c, c M, для которых ab = ca и ab = c a.

Тогда ca = c a, откуда, в силу условия (I), c = c . Для элемента d доказательство аналогично.

Лемма 3.1.6. Для любого фиксированного элемента a M существует биективное отображение ϕa : M → M, удовлетворяющее условиям:

Доказательство. Пусть a — фиксированный элемент из M и x M. Положим ϕa(x) = y, если xa = ay. Из предложения 3.1.5 следует, что ϕa — функция. При этом xa = aϕa(x).

Если ϕa(x) = ϕa(y) = c, то xa = ac и ya = ac. Значит, xa = ya, откуда по свойству (I) следует верность равенства x = y.

Таким образом, ϕa — инъективная функция.

Для любого элемента z M по условию (IV) существует элемент t M, для которого az = ta. Значит, ϕa(t) = z, то есть ϕa — биективная функция. Рассмотрим ее свойства.

Так как aa = aa, то ϕa(a) = a по определению функции ϕa.

По доказанному выше верно равенство (xy)a = aϕa(xy). С другой стороны,

(xy)a = x(ya) = x(aϕa(y)) = (xa)ϕa(y) = (aϕa(x))ϕa(y),

поэтому aϕa(xy) = aϕa(x)ϕa(y). Используя условие (I), сократим данное равенство на a и получим (B).

41

Ю.В. Кочетова, Е.Е. Ширшова •УПОРЯДОЧЕННЫЕ СИСТЕМЫ: РЕШЕТКИ, ГРУППЫ

Учитывая правило задания функции ϕ, имеем x(ab) = abϕab(x). С другой стороны,

x(ab) = (xa)b = (aϕa(x))b = a(ϕa(x)b) = a bϕb(ϕa(x)) ,

откуда abϕab(x) = abϕb(ϕa(x)). Сокращение на ab дает (C).

Пусть K = M × M = {(a, b) | a, b M}. Будем считать

(a, b)ρ(c, d) aϕb(d) = cb.

Лемма 3.1.7. Отношение ρ является отношением эквивалентности на множестве K.

Доказательство. Так как aϕb(b) = ab по свойству (A), то по правилу задания отношения ρ имеем (a, b)ρ(a, b) для любой пары (a, b) K.

Пусть (a, b)ρ(c, d). Тогда aϕb(d) = cb. Умножив равенство справа на d, получим aϕb(d)d = cbd.

Учитывая определение функции ϕ и свойство (C), вычислим

ϕb(d)d = dϕd(ϕb(d)) = dϕbd(d).

Кроме того,

bd = ϕbd(bd) = ϕbd(b)ϕbd(d) = ϕd(ϕb(b))ϕbd(d) = ϕd(b)ϕbd(d).

Таким образом, adϕbd(d) = cϕd(b)ϕbd(d). Используя условие (I), сокра-

щаем на ϕbd(d) и получаем ad = cϕd(b). Отсюда (c, d)ρ(a, b) по определению отношения ρ.

Пусть далее (a, b)ρ(c, d) и (a, b)ρ(g, h). Тогда

Умножая второе из равенств ( ) на ϕb(d), имеем aϕb(h)ϕb(d) = gbϕb(d). При этом

aϕb(h)ϕb(d) = aϕb(hd) = aϕb(dϕd(h)) = aϕb(d)ϕdb(h) =

= cbϕdb(h) = cbϕb(ϕd(h)) = cϕd(h)b и gbϕb(d) = gdb.

Следовательно, cϕd(h)b = gdb. После сокращения на b остается равенство cϕd(h) = gd, которое означает, что (c, d)ρ(g, h).

42

3 • ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ

Рассмотрим фактормножество G = K/ρ = {[a, b] | a, b M}, где [a, b] — класс эквивалентности, содержащий пару (a, b).

Определим на множестве G операцию умножения, положив

[a, b][c, d] = [aϕb(c), db].

Предложение 3.1.8. Операция умножения определена на G корректно.

Доказательство. Пусть (a, b)ρ(u, v) и (c, d)ρ(p, q). Тогда

Вычислим произведения классов

[a, b][c, d] = [aϕb(c), db] и [u, v][p, q] = [uϕv(p), qv].

Докажем, что пары (aϕb(c), db) и (uϕv(p), qv) принадлежат одному классу эквивалентности. Действительно, учитывая ( ), имеем

(aϕb(c))ϕdb(qv) = aϕb(c)ϕb(ϕd(qv)) = aϕb(cϕd(qv)) = aϕb(cϕd(q)ϕd(v)) = = aϕb(pdϕd(v)) = aϕb(p)ϕb(dϕd(v)) = aϕb(p)ϕb(vd) = aϕb(pvd) =

= aϕb(vϕv(p)d) = aϕb(v)ϕb(ϕv(p)d) = ubϕb(ϕv(p)d) = uϕv(p)db.

Теорема 3.1.9. G — группа относительно определенного умножения.

Доказательство. Проверим ассоциативность введенной операции. Пусть a, b, c, d, p, q M, тогда

([a, b][c, d])[p, q] = [aϕb(c), db][p, q] = [(aϕb(c))ϕdb(p), q(db)] =

=[aϕb(c)ϕb(ϕd(p)), qdb] = [aϕb(cϕd(p)), (qd)b] =

=[a, b][cϕd(p), qd] = [a, b]([c, d][p, q]).

Для a, b M рассмотрим в K пары (a, a) и (b, b). Так как aϕa(b) = ba, то (a, a)ρ(b, b), то есть класс [e, e] содержит пару (x, x) для любого x M.

Кроме того, из равенства ea = aϕa(e) получаем равенство ϕa(e) = e, а из равенства ae = eϕe(a) следует верность равенства ϕe(a) = a.

Поэтому [a, b][e, e] = [aϕb(e), eb] = [a, b] и [e, e][a, b] = [eϕe(a), be] = [a, b]. Таким образом, класс [e, e] — единица полугруппы G.

Далее, используя [a, b][b, a] = [aϕb(b), ab] = [ab, ab] = [e, e] и [b, a][a, b] = [bϕa(a), ba] = [ba, ba] = [e, e], заключаем, что класс [b, a] = [a, b]−1.

43

Ю.В. Кочетова, Е.Е. Ширшова •УПОРЯДОЧЕННЫЕ СИСТЕМЫ: РЕШЕТКИ, ГРУППЫ

Предложение 3.1.10. Существует инъективный гомоморфизм f из M в G.

Доказательство. При построении гомоморфизма f : M → G для каждого элемента a M положим f(a) = [a, e]. Из того, как определены множества K и G, следует, что f — функция.

Так как для a, b M выполнено равенство

f(ab) = [ab, e] = [aϕe(b), ee] = [a, e][b, e] = f(a)f(b),

то f — гомоморфизм полугрупп.

Если a = b, то aϕe(e) = be. Поэтому [a, e] = [b, e], то есть f(a) = f(b).

Замечание. Для a, c, d M верно (ca, da)ρ(c, d). Действительно,

(ca)ϕda(d) = c aϕa(ϕd(d)) = c(aϕa(d)) = c(da).

Предложение 3.1.11. Множество P = Imf является положительным конусом группы G.

Доказательство. Если x P ∩ P −, то x = [a, e] и x = [e, b] для некоторых элементов a, b M. Тогда пары (a, e) и (e, b) принадлежат одному классу эквивалентности. Поэтому имеет место равенство aϕe(b) = ee.

Значит, ab = e, откуда по условию (III) заключаем, что a = b = e, то есть x = [e, e].

Пусть далее x G и y P . Тогда x = [a, b] и y = [c, e] для некоторых элементов a, b, c M.

Вычислим x−1yx:

x−1yx = ([b, a][c, e])[a, b] = [bϕa(c), ea][a, b] = [bϕa(c)ϕa(a), ba] =

= [b(ϕa(c)a), ba] = [baϕa(ϕa(c)), ba] = [(ba)u, ba],

где u = ϕa(ϕa(c)) M.

По условию (IV) существует t M, для которого (ba)u = t(ba). Поэтому, учитывая сделанное выше замечание, x−1yx = [t(ba), ba] = [t, e].

Следовательно, полугруппа P удовлетворяет условиям 2) и 3) предложения 3.1.2 и является положительным конусом группы G.

Таким образом, нами доказано утверждение.

Теорема 3.1.12. Для полугруппы, удовлетворяющей условиям (I) — (IV), можно найти частично упорядоченную группу, в которой данная полугруппа будет положительным конусом.

44

3 • ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ

Следствие 3.1.13. Каждый элемент g группы G представим в виде xy−1, где x, y G+.

(О таких группах речь пойдет далее.)

Доказательство. Поскольку [a, b] = [aϕe(e), be] = [a, e][e, b] = [a, e][b, e]−1, то, отождествив [a, e] = a, получим P = {a | a M} и g = [a, b] = ab−1, где a, b P .

3.2Направленные группы

Пусть G, ·, — частично упорядоченная группа.

Определение 3.2.1. Если G, является направленным множеством, то G называют направленной группой.

Предложение 3.2.1. Пусть G — частично упорядоченная группа. Если элементы a и b из G имеют верхнюю (нижнюю) грань в группе G, то элементы a−1 и b−1 обладают в группе G нижней (верхней) гранью.

Доказательство. Пусть a c и b c для некоторого элемента c G. Тогда, по предложению 3.1.1, c−1 a−1 и c−1 b−1, то есть c−1 — нижняя грань элементов a−1 и b−1.

Следствие 3.2.2. Пусть G — частично упорядоченная группа. Если любые два элемента из G имеют верхнюю (нижнюю) грань в группе G, то G — направленная группа.

Теорема 3.2.3. Пусть G — частично упорядоченная группа, и a — фиксированный элемент из G. Если для a и любого b G в группе G найдется верхняя (нижняя) грань, то G — направленная группа.

Доказательство. Пусть x, y G. Рассмотрим c G — верхнюю грань элементов a и b = ax−1y.

Так как b c, то есть ax−1y c, то y xa−1c = z.

Из неравенства a c следует неравенство e a−1c, поэтому x xa−1c. Значит, z — верхняя грань элементов x и y.

Поскольку элементы x и y выбраны произвольно, то по следствию 3.2.2 G — направленная группа.

Утверждение для нижней грани доказывается аналогично.

45

Ю.В. Кочетова, Е.Е. Ширшова •УПОРЯДОЧЕННЫЕ СИСТЕМЫ: РЕШЕТКИ, ГРУППЫ

Теорема 3.2.4. Пусть G — частично упорядоченная группа. Группа G является направленной в том и только в том случае, когда любой элемент g G представим в виде g = ab−1, где a, b G+.

Доказательство. Если в группе G любой элемент g имеет нужное представление, то у фиксированного элемента e и произвольного элемента g найдется верхняя грань a. В этом случае из теоремы 3.2.3 следует, что G — направленная группа.

Обратно, в направленной группе G для e и любого элемента g G существует верхняя грань a, поэтому a G+ и g a. Следовательно, b = g−1a G+ и g = ab−1.

Предложение 3.2.5. Пусть G — частично упорядоченная группа. Если у элементов a и b из G существует в группе G объединение (пересечение), то элементы a−1 и b−1 обладают в группе G пересечением (объединением).

Доказательство. Пусть c = a b. Так как c — верхняя грань элементов a

иb, то c−1 является по предложению 3.2.1 нижней гранью элементов a−1

иb−1.

Пусть далее x a−1 и x b−1 для некоторого элемента x G. Используя предложение 3.1.1, получим a x−1 и b x−1. Значит, c x−1. Следовательно, x c−1.

Таким образом, доказано, что (a b)−1 = a−1 b−1. Аналогично доказывается, что (a b)−1 = a−1 b−1.

Определение 3.2.2. Если G, — решетка, то группа G называется решеточно упорядоченной группой, или l-группой.

Следствие 3.2.6. Всякая решеточно упорядоченная группа является направленной группой.

Следствие 3.2.7. Если группа G является полурешеткой сверху (снизу), то она является l-группой.

Определение 3.2.3. Если G, — цепь, то группа G называется линейно упорядоченной группой, или o-группой.

46

3 • ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ

Теорема 3.2.8. Пусть G — частично упорядоченная группа.

1.Группа G является направленной группой в том и только в том случае, когда множество G+ порождает группу G.

2.Группа G является l-группой тогда и только тогда, когда группа G является направленной группой, а G+ — полурешеткой сверху.

3.Группа G является o-группой в том и только в том случае, когда

G = P P −, где P = G+.

Доказательство. 1. Если множество G+ порождает группу G, то для любого g G существует представление g = a1a2 · · · an, где ai G+ или ai−1 G+. Поэтому, используя свойство инвариантности положительного конуса, можно представить элемент g в виде g = uv−1, где u, v G+.

Следовательно, G по теореме 3.2.4 является направленной группой. Обратно, если G — направленная группа, то по теореме 3.2.4 множество

G+ порождает группу G.

2. Пусть G является l-группой. Тогда для элементов a G+ и b G+ в группе G существует объединение c = a b. Из неравенств e a и a c по транзитивности отношения порядка следует, что c G+.

Значит, G+ является полурешеткой сверху.

Обратно, пусть G — направленная группа, и G+ — полурешетка сверху. Если a, b G, то в направленной группе существует элемент c G, удовлетворяющий неравенствам c a и c b. В этом случае элементы c−1a и c−1b принадлежат множеству G+. Тогда существует элемент u G+, где u = c−1a c−1b. Отсюда следует, что c−1a u и c−1b u, то есть a cu и

b cu.

Пусть далее a t и b t для некоторого элемента t G. Тогда имеем c−1a c−1t и c−1b c−1t, что, в свою очередь, по транзитивности отношения порядка влечет c−1t G+. Кроме того, u c−1t, то есть cu t.

Таким образом, cu = a b, и G — полурешетка сверху. Остается применить следствие 3.2.7.

3. Если G является o-группой, то для g G это означает, что e g или g e. В первом случае имеем g P , а во втором — g P −. Значит,

G P P −.

Обратное включение очевидно.

47

Ю.В. Кочетова, Е.Е. Ширшова •УПОРЯДОЧЕННЫЕ СИСТЕМЫ: РЕШЕТКИ, ГРУППЫ

3.3Подгруппы частично упорядоченных групп

Пусть G — частично упорядоченная группа.

Определение 3.3.1. Если M — подгруппа группы G, положим a b для a, b M при условии, что a b в группе G.

В этом случае говорят, что порядок на множестве M индуцирован порядком на G.

Следствие 3.3.1. Если M — подгруппа частично упорядоченной группы G, то M — частично упорядоченная группа. При этом M+ = G+ ∩ M.

Предложение 3.3.2. Если G — o-группа, то M — o-группа.

Пример. Пусть G = C, + , где G+ = {a + bi | 0 a и 0 b}, и M = (−1 + i). Тогда G — l-группа, а группа M тривиально упорядочена, так как M+ = {0}.

Определение 3.3.2. Подгруппа M группы G называется выпуклой, если из a g b следует g M для всех a, b M и g G.

Предложение 3.3.3. M — выпуклая подгруппа группы G тогда и только тогда, когда M+ — выпуклое подмножество в G+.

Доказательство. Необходимость условия очевидна.

Пусть M+ — выпуклое подмножество в G+, и a g b для некоторых a, b M и g G. Тогда e a−1g a−1b для e, a−1b M+ и a−1g G+. Следовательно, a−1g M+, то есть g M.

Предложение 3.3.4. Если H — выпуклая подгруппа в M, а M — выпуклая подгруппа в G, то H — выпуклая подгруппа в G.

Предложение 3.3.5. Пересечение выпуклых подгрупп является выпуклой подгруппой.

Доказательство. Пусть H = Mi, где Mi — выпуклые подгруппы груп-

i I

пы G. Рассмотрим элементы a, b H и g G, для которых a g b. Это означает, что a g b для a, b Mi и g G при каждом i I. Но тогда g Mi для любого i I, поэтому g H.

Пусть M — выпуклая подгруппа группы G. Положим aM bM, если найдутся x aM и y bM, для которых x y.

48

3 • ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ

Предложение 3.3.6. Множество левых (правых) смежных классов группы G по подгруппе M является частично упорядоченным.

Доказательство. Так как a a, то aM aM для любого a G.

Если aM bM и bM aM, то существуют m1, m2 M, для которых

a bm1 и b am2. Отсюда m1−1 a−1b и a−1b m2. Поэтому a−1b M, и значит, aM = bM.

Если aM bM и bM cM, то a bm и b cn для некоторых m, n M. Тогда a cnm, что означает aM cM.

Теорема 3.3.7. Если M — выпуклая нормальная подгруппа частично упорядоченной группы G, то G/M — частично упорядоченная группа.

Определение 3.3.3. Пусть G1 и G2 — частично упорядоченные группы. Гомоморфизм групп f : G1 → G2, являющийся o-гомоморфизмом частично упорядоченных множеств, называется o-гомоморфизмом частично упорядоченных групп.

То есть f удовлетворяет условиям:

1)f(ab) = f(a)f(b) для любых элементов a, b G1;

2)из a b следует f(a) f(b) для всех a, b G1.

Теорема 3.3.8. Гомоморфизм f : G1 → G2 частично упорядоченных групп является o-гомоморфизмом групп в том и только в том случае, когда f(G1+) G2+.

Доказательство. Пусть f — o-гомоморфизм и a G1+. Тогда из e a следует неравенство f(e) f(a). Таким образом, f(a) G2+.

Обратно, пусть f является гомоморфизмом групп, для которого

f(G1+) G2+. Взяв a b в группе G1, получим a−1b G1+, и значит, f(a−1b) G2+. Отсюда следует, что f(a) f(b), то есть f — порядковый

гомоморфизм.

Определение 3.3.4. Пусть G1 и G2 — частично упорядоченные группы. Сюръективный o-гомоморфизм f : G1 → G2, для которого f(G1+) = G2+, называется o-эпиморфизмом.

Если для биективного o-эпиморфизма f обратная функция является o-эпиморфизмом, то f называют o-изоморфизмом.

Теорема 3.3.9. Естественный гомоморфизм ε частично упорядоченной группы G на частично упорядоченную группу G/M по выпуклой нормальной подгруппе M является o-эпиморфизмом.

49

Ю.В. Кочетова, Е.Е. Ширшова •УПОРЯДОЧЕННЫЕ СИСТЕМЫ: РЕШЕТКИ, ГРУППЫ

Доказательство. Из определения порядка на группе G/M следует, что ε является сюръективным o-гомоморфизмом, для которого, согласно теореме 3.3.8, выполняется ε(G+) (G/M)+.

Если K (G/M)+, то существует такой элемент a G+, что K = aM. Это означает, что K = ε(a). Следовательно, (G/M)+ ε(G+).

Теорема 3.3.10. Ядро o-гомоморфизма f : G1 → G2 является выпуклой подгруппой группы G1.

Доказательство. Из неравенства a g b для элементов a, b ker f и g G1 следует справедливость неравенства f(a) f(g) f(b) в G2, то есть e f(g) e. Значит, f(g) = e и g ker f.

Теорема 3.3.11 (Теорема о гомоморфизмах групп). Пусть f : G → H является o-эпиморфизмом частично упорядоченных групп. Тогда частично упорядоченная группа G/ker f o-изоморфна частично упорядоченной группе H.

Доказательство. Из основного курса алгебры известно, что существует изоморфизм ϕ : G/ker f → H, определенный по правилу: ϕ(a ker f) = f(a).

Обозначим ker f = M. Рассматривая aM bM для a, b G, найдем элемент m M, для которого a bm. Отсюда получаем f(a) f(bm) и f(bm) = f(b)f(m) = f(b)e = f(b). Поэтому гомоморфизм ϕ явля-

ется o-гомоморфизмом, удовлетворяющим по теореме 3.3.8 соотношению

ϕ (G/M)+ H+.

Так как f = ϕ ◦ ε и f(G+) = H+, то

H+ = f(G+) = ϕ ε(G+) = ϕ (G/M)+ .

Из равенства ϕ (G/M)+ = H+ следует, что ϕ — o-эпиморфизм.

С другой стороны, ϕ−1 ◦ f = ε, откуда ε(G+) = ϕ−1 f(G+) = ϕ−1(H+). Таким образом, ϕ−1(H+) = (G/M)+, поэтому гомоморфизм ϕ−1 является o-эпиморфизмом.

3.4Решеточно упорядоченные группы

Предложение 3.4.1. Пусть G является l-группой. Тогда закон монотонности равносилен любому из тождеств:

50