Упорядоченные системы решетки, группы. Курс лекций

Ю.В. Кочетова, Е.Е. Ширшова •УПОРЯДОЧЕННЫЕ СИСТЕМЫ: РЕШЕТКИ, ГРУППЫ

Выясним вопрос о существовании взаимосвязей между свойствами отношений, и о влиянии операций над отношениями на наличие того или иного свойства у отношения, являющегося результатом операции.

Предложение 1.3.1. Для любых рефлексивных отношений ρ и σ верно

ρ σ ρσ.

Предложение 1.3.2. Отношение ρ симметрично тогда и только тогда, когда ρ = ρ−1.

Доказательство. Утверждение следует из определения симметричного отношения и из предложения 1.2.1.

Предложение 1.3.3. Всякое асимметричное отношение ρ является антирефлексивным.

Доказательство. Предположив, что для некоторого элемента x A выполнено xρx, получаем, что xρ−1x. Отсюда (x, x) ρ ∩ ρ−1, что противоречит асимметричности ρ.

Предложение 1.3.4. Для рефлексивного отношения его транзитивность равносильна равенству ρ2 = ρ.

Предложение 1.3.5. Всякое отношение ρ, обладающее свойствами антирефлексивности и транзитивности, является антисимметричным и асимметричным.

Доказательство. В силу транзитивности ρ, для любых x, y A из xρy и yρx следует xρx. При этом xρx не выполняется ни для одного x A, так как отношение ρ антирефлексивно. Поэтому одновременное выполнение соотношений xρy и yρx невозможно ни для каких элементов x, y A. Таким образом, ρ ∩ ρ−1 = .

Следовательно, ρ антисимметрично и асимметрично.

Из определения транзитивного отношения, учитывая предложение 1.2.3, по индукции получаем следующее утверждение.

Предложение 1.3.6. Любое транзитивное отношение ρ удовлетворяет условию ρn ρ для любого n N.

Предложение 1.3.7. Транзитивное замыкание ρ отношения ρ совпадает с ρ в том и только в том случае, когда ρ транзитивно.

12

1 • ОТНОШЕНИЕ ПОРЯДКА

Доказательство. Используя предложения 1.2.5 и 1.3.6, имеем ρ ρ и

ρ = ρ ρ2 · · · ρn · · · ρ ρ · · · ρ · · · = ρ.

Обратно, при ρ = ρ из ρ2 ρ следует транзитивность отношения ρ.

Предложение 1.3.8. Для любого отношения ρ его транзитивное замыкание ρ равно пересечению Ψ всех транзитивных отношений ψ, содержащих ρ.

Доказательство. Учитывая предложения 1.2.6 и 1.3.7, заключаем, что от-

Теорема 1.3.9 (Инвариантность свойств бинарных отношений).

Пусть ρ и σ — бинарные отношения на множестве A. Тогда

I если ρ и σ рефлексивны, то отношения ρ σ, ρ∩σ, ρ−1, ρσ и ρ также рефлексивны;

IIесли ρ и σ антирефлексивны, то антирефлексивны отношения ρ σ,

ρ∩σ и ρ−1, а их произведение ρσ антирефлексивно тогда и только тогда, когда выполнено еще и условие ρ ∩ σ−1 = ;

IIIесли ρ и σ симметричны, то отношения ρ σ, ρ∩σ, ρ−1 и ρ симметричны. Произведение же ρσ симметричных отношений симметрично в том и только в том случае, когда ρσ = σρ;

IV если ρ и σ антисимметричны, то антисимметричны ρ−1 и ρ ∩ σ, а их объединение ρ σ антисимметрично тогда и только тогда, когда

ρ ∩ σ−1 εA;

V если ρ асимметрично, то ρ−1 асимметрично, и отношение ρ ∩ σ асимметрично для любого отношения σ. Объединение ρ σ асимметричных отношений асимметрично тогда и только тогда, когда ρ ∩ σ−1 = ; VI если ρ и σ транзитивны, то отношения ρ ∩ σ, ρ−1 и ρ также транзитивны, а их объединение ρ σ транзитивно в том и только в

том случае, когда ρσ σρ ρ σ.

Доказательство. Для доказательства утверждений пункта III достаточно воспользоваться предложениями 1.2.1, 1.2.3, 1.2.5 и 1.3.2.

Далее, учитывая предложение 1.2.1, получаем равенства

ρ−1 ∩ (ρ−1)−1 = ρ ∩ ρ−1 и (ρ ∩ σ) ∩ (ρ ∩ σ)−1 = (ρ ∩ ρ−1) ∩ (σ ∩ σ−1).

13

Ю.В. Кочетова, Е.Е. Ширшова •УПОРЯДОЧЕННЫЕ СИСТЕМЫ: РЕШЕТКИ, ГРУППЫ

Первое из них влечет выполнение пунктов IV и V для обратного к ρ отношения, а второе — для ρ ∩ σ.

Для объединения ρ σ отношений, обозначив ψ = ρ ∩ σ−1, вычислим

(ρ σ) ∩ (ρ σ)−1 = (ρ σ) ∩ (ρ−1 σ−1) =

=(ρ∩ρ−1) (ρ∩σ−1) (σ ∩ρ−1) (σ ∩σ−1) = (ρ∩ρ−1) ψ ψ−1 (σ ∩σ−1).

Вслучае асимметричности ρ и σ равенство этого выражения равносильно тому, что ψ = , а для антисимметричных отношений ρ и σ данное

выражение содержится в εA в том и только в том случае, когда ψ εA. Транзитивность отношения ρ σ с учетом предложения 1.2.3 равно-

сильна выполнению соотношения ρ2 σ2 ρσ σρ ρ σ. Поэтому из транзитивности объединения следует ρσ σρ ρ σ. Обратно, если верно

ρσ σρ ρ σ, то, учитывая ρ2 ρ и σ2 σ, получаем (ρ σ)2 ρ σ.

Пример. Для антирефлексивного бинарного отношения ρ, заданного на

Определение 1.3.1. Отношение на множестве называется квазипорядком, или предпорядком, если оно рефлексивно и транзитивно.

Отношение предпорядка, удовлетворяющее свойству симметричности, называется отношением эквивалентности.

Предложение 1.3.10. Если отношение ρ на множестве A является квазипорядком, то ρ ∩ ρ−1 — отношение эквивалентности.

Доказательство. Рефлексивность и транзитивность отношения ρ∩ρ−1 следует из теоремы 1.3.9, а его симметричность — из предложения 1.2.1 и предложения 1.3.2.

1.4Отношения частичного порядка и операции над ними

Рассмотрим два подхода к определению порядка.

Определение 1.4.1 (Определение I ). Порядком, или нестрогим порядком называется отношение на множестве A, которое является рефлексивным, антисимметричным и транзитивным.

Строгим порядком называется такое отношение ρ на A, что aρb в том случае, когда a = b и aρ b для некоторого нестрогого порядка ρ на A.

14

1 • ОТНОШЕНИЕ ПОРЯДКА

Определение 1.4.2 (Определение II ). Cтрогим порядком назовем антирефлексивное и транзитивное отношение на множестве A.

Нестрогий порядок — это такое отношение на A, которое является объединением некоторого строгого порядка на A и диагонального отношения εA.

Покажем, что определение I и определение II эквивалентны. Действительно, легко видеть, что строгий порядок в смысле определе-

ния I — отношение антирефлексивное, антисимметричное и транзитивное, то есть является строгим порядком по определению II.

Нестрогий порядок ρ, удовлетворяющий определению II, равен

ρ= ρ εA, где ρ — строгий порядок. Очевидно, ρ рефлексивно. Так как отношения ρ и εA — антисимметричны и транзитивны, то из ρ ∩ εA εA и ρ εA εAρ ρ εA по теореме 1.3.9 заключаем, что ρ также антисимметрично и транзитивно, то есть ρ — нестрогий порядок по определению I.

Для строгого порядка ρ в смысле определения II рассмотрим нестрогий

порядок ρ = ρ εA, который по доказанному выше удовлетворяет определению I. Отсюда, учитывая антирефлексивность ρ, получаем, что ρ — строгий порядок по определению I.

Аналогично, рассматривая нестрогий по определению I порядок ρ, возьмем соответствующий ему строгий порядок ρ , который, как уже доказано, удовлетворяет определению II. Поскольку aρ b, если a = b и aρb, то

ρ= ρ εA — нестрогий по определению II порядок.

Отсюда, используя предложение 1.3.5, можно сделать следующий вывод.

Предложение 1.4.1. Отношение строгого порядка асимметрично.

Замечание. Граф строгого порядка не содержит контуров, то есть таких последовательностей вершин x1, x2, . . . , xn, что x1 = xn и от xi к xi+1 проходит стрелка.

Кроме того, если на множестве вершин некоторого графа без контуров определить отношение ρ, при котором aρb в случае, когда в этом графе есть путь, ведущий по направлению стрелок от a к b, то ρ будет отношением строгого порядка.

Предложение 1.4.2. Если отношение является одновременно эквивалентностью и нестрогим порядком, то оно есть отношение равенства.

Покажем, что каждый предпорядок ρ на множестве A порождает некоторый порядок. Для этого рассмотрим соответствующее предпорядку ρ по

15

Ю.В. Кочетова, Е.Е. Ширшова •УПОРЯДОЧЕННЫЕ СИСТЕМЫ: РЕШЕТКИ, ГРУППЫ

предложению 1.3.10 отношение эквивалентности σ = ρ ∩ ρ−1. На фактормножестве A/σ определим отношение ρ , считая Xρ Y для классов X, Y A/σ в том случае, когда xρy для некоторых представителей классов x X и y Y .

Ясно, что отношение ρ рефлексивно. Если Xρ Y и Y ρ Z, то существу-

ют y1, y2 Y , x X и z Z такие, что xρy1 и y2ρz. Так как для y1, y2 Y верно y1σy2, то y1ρy2. Отсюда xρz, то есть Xρ Z.

В том случае, когда Xρ Y и Y ρ X, рассмотрим элементы x, x1 X и y, y1 Y , для которых xρy и y1ρx1. Из xρy и yρy1 следует xρy1, а y1ρx1 и x1ρx влечет y1ρx. Следовательно, имеет место соотношение xσy1, которое означает, что X ∩ Y = . Поэтому X = Y .

Таким образом, доказано, что отношение ρ , индуцированное предпорядком ρ, является нестрогим порядком.

Далее рассмотрим вопрос о том, какие операции над отношениями порядка и при каких условиях дают в результате порядок.

Учитывая теорему 1.3.9, получаем следующее утверждение.

Теорема 1.4.3. Если ρ и σ — нестрогие порядки (строгие порядки, предпорядки соответственно) на множестве A, то отношения ρ−1 и ρ ∩ σ также являются нестрогими порядками (строгими порядками, предпорядками соответственно) на A.

Объединение ρ σ строгих (нестрогих) порядков ρ и σ является строгим (нестрогим) порядком в том и только в том случае, когда выполняется соотношение (A) (выполняются соотношения (A) и (B)), где

(A) ρσ σρ ρ σ; (B) ρ ∩ σ−1 εA.

Замечание. Используя предложение 1.3.1, нетрудно показать, что для рефлексивных отношений ρ и σ условие (A) теоремы 1.4.3 равносильно условию ρσ = σρ = ρ σ.

Пример. Пересечение нестрогого порядка ρ и строгого порядка σ на множестве A является строгим порядком.

Действительно, так как ρ = ρ εA для некоторого строгого порядка ρ , то ρ ∩ σ = (ρ ∩ σ) (εA ∩ σ) = ρ ∩ σ.

Замечание. Как объединение, так и произведение порядков в общем случае не является порядком.

16

1 • ОТНОШЕНИЕ ПОРЯДКА

Одно из возможных достаточных условий того, что произведение порядков является порядком, приведено в следующем утверждении.

Предложение 1.4.4. Если ρ и σ — строгие порядки на множестве A, для которых ρσ = σρ и ρ ∩ σ−1 = , то ρσ — строгий порядок.

Доказательство. Из равенства ρσ = σρ и транзитивности отношений ρ и σ получаем (ρσ)2 = ρ2σ2 ρσ.

Остается применить теорему 1.3.9.

Замечание. Транзитивное замыкание ρ отношения порядка ρ является порядком, совпадающим с ρ.

Операции над отношениями порядка дают инструмент для конструирования новых порядков.

1.5Задания к разделу "Отношение порядка"

1. Какие отношения выражают произведения ρσ и σρ, если ρ и σ — это соответственно отношения "меньше" и "больше" на множестве

A= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}?

2.Начертите граф отношения "кратно" на множестве A = {3, 5, 9, 15}. Выясните, какими свойствами обладает это отношение.

3.Выясните, какими из свойств обладают следующие отношения на N и выделите среди них порядки:

а) xρ1y, если xy = 12; б) xρ2y, если x и y взаимно просты;

в) xρ3y, если x = y2; г) xρ4y, если y − x = k для фиксированного k N.

4.Выясните, какими свойствами обладают следующие отношения на

множестве F (a, b) всех непрерывных функций, заданных на отрезке [a, b], и выделите среди них порядки:

а) fρ1g, если f(x) g(x) для всех x [a, b];

б) fρ2g, если существуют такие x1, x2 [a, b], что f(x1) g(x2); в) fρ3g, если f(a) g(a) и f(b) g(b);

г) fρ4g, если наибольшее значение функции f на [a, b] не превосходит наибольшего значения функции g на [a, b].

5. Пусть ρ — отношение на множестве A, которое симметрично и для любого x A существует такой элемент y A, что xρy. Верно ли, что ρ рефлексивно? Ответ объясните.

17

Ю.В. Кочетова, Е.Е. Ширшова •УПОРЯДОЧЕННЫЕ СИСТЕМЫ: РЕШЕТКИ, ГРУППЫ

6.Если отношение ρ на множестве A симметрично и не является рефлексивным, то является ли оно транзитивным? Ответ объясните.

7.Приведите примеры отношения:

а) рефлексивного, симметричного и не транзитивного; б) рефлексивного, транзитивного и не симметричного; в) симметричного, транзитивного и не рефлексивного; г) рефлексивного, не симметричного и не транзитивного;

д) не рефлексивного, симметричного и не транзитивного; е) не рефлексивного, не симметричного и транзитивного;

ж) не рефлексивного, не симметричного и не транзитивного.

8.Покажите, приведя соответствующие примеры, что ни одно из свойств рефлексивности, антисимметричности и транзитивности не следует из двух других.

9.Выясните, сколько элементов содержит множество всех отношений на четырехэлементном множестве. Сколько среди них квазипорядков, отношений эквивалентности и отношений порядка? Каких отношений больше: отношений эквивалентности или отношений порядка?

10.Найдите транзитивные замыкания следующих отношений:

а) σ — отношение на R, определенное условием: aσb |a − b| = 1; б) σ — отношение на Z, определенное условием: aσb a = b − 1;

в) σ — отношение на N, при котором aσb тогда и только тогда, когда b = ka, где k — простое число или 1;

г) σ — отношение на множестве A = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, при котором aσb для a, b A, если существует такой элемент c A, что a и b делятся на c без остатка.

11.Докажите, что ρ является для симметричного отношения ρ симметричным, используя для этого только определение транзитивного замыкания.

12.Приведите примеры, показывающие, что произведение и транзитивное замыкание асимметричных (антисимметричных) отношений могут быть не асимметричными (не антисимметричными).

13.Верно ли, что для произвольного отношения ρ на множестве A:

а) если ρ связно, симметрично и транзитивно, то ρ рефлексивно; б) если ρ связно, то ρ рефлексивно; в) если ρ симметрично и транзитивно, то ρ рефлексивно;

18

2Частично упорядоченные множества

При дальнейшем изложении будем обозначать нестрогий порядок на множестве через , а строгий порядок — через <.

2.1Свойства упорядоченных множеств

Пусть M — множество с отношением порядка .

Определение 2.1.1. Если a, b M и a b, то скажем, что a меньше или равно b. Если a b или b a, то будем говорить, что a и b сравнимы, в противном случае элементы a и b называются несравнимыми, что обозначается через a b.

Множество, на котором задано отношение порядка, называется частично упорядоченным множеством (сокращенно ч.у. множеством).

Множество, в котором любые два элемента сравнимы, называется линейно упорядоченным, или цепью.

Если a b и при этом a = b, то пишут a < b.

Порядок, при котором a b тогда и только тогда, когда a = b, называют тривиальным.

Примеры частично упорядоченных множеств:

1)N, Z, Q, R с естественным порядком .

2)PS — множество всех подмножеств множества S — относительно упорядочения подмножеств по включению.

3)N относительно порядка , при котором a b для a, b N, если a|b.

4)Множество действительнозначных функций, определенных на отрезке [a, b] (a < b) с упорядочением , если считать f g тогда и только тогда, когда f(x) g(x) для всех x [a, b].

5)Множество из примера 4) с порядком , для которого f < g тогда и

только тогда, когда f(xk) < g(xk), где xk — наименьшее из чисел x [a, b], удовлетворяющих условию f(x) = g(x).

Пример 5) — пример лексикографического порядка.

6)Декартов квадрат N × N относительно порядков и , заданных следующим образом:

а) (a, b) (c, d) означает, что a < c или a = c, b d в N; б) (a, b) (c, d), если a c и b d во множестве N.

20