Упорядоченные системы решетки, группы. Курс лекций

2 • ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА

Значит, справедливо условие 3.

Пусть имеет место условие 3. Положим сначала a c. В этом случае

a c = a = a (a b) = (a b) (a c).

Поэтому (a c) (b c) = (a b) (a c) (b c) =

= (a b) (a c) (b c) = (a b) c.

Таким образом, в данном случае условие 1 выполняется. В общем случае положим u = (a b) (a c) (b c) и v = (a b) (a c) (b c).

Далее заметим, что (a c) (b c) c.

Отсюда получаем c u = c (a b) (a c) (b c) =

= c (a b) c (a c) (b c) = (c a b) (a c) (b c) =

Так как u = v по условию 3, то

(a b) c = c v = c u = (a c) (b c).

Следовательно, решетка является дистрибутивной.

Предложение 2.4.2. В каждой дистрибутивной решетке L выполняется условие:

если x y = x z и x y = x z, то y = z для всех x, y, z L. (1)

Доказательство.

y = y (y x) = y (z x) = (y z) (y x) =

= (y z) (z x) = (y x) z = (z x) z = z.

Определение 2.4.2. Пусть L и S — решетки. Функция f : L → S называется гомоморфизмом решеток, если f(a b) = f(a) f(b) и f(a b) = f(a) f(b) для всех a, b L.

Если при этом и функция f−1 является гомоморфизмом решеток, то f называют изоморфизмом.

Следствие 2.4.3. Решеточный изоморфизм сохраняет порядок.

Образ решеточного гомоморфизма — подрешетка в S. Следствие 2.4.4. Если решетка L содержит подрешетки, изоморфные L1 или L2, то она не дистрибутивна.

31

Ю.В. Кочетова, Е.Е. Ширшова •УПОРЯДОЧЕННЫЕ СИСТЕМЫ: РЕШЕТКИ, ГРУППЫ

2.5Модулярность

Пусть L — дистрибутивная решетка. Если x, z L и x z, то z = x z, поэтому для любого y L выполняется равенство

Определение 2.5.1. Решетка L называется модулярной, если равенство

(2) имеет место для всех x z из L.

Следствие 2.5.1. Дистрибутивная решетка является модулярной.

Пример. Рассмотрим решетку L2. В ней z y и z (x y) = z, но (z x) y = y. Значит, решетка L2 не модулярна.

Лемма 2.5.2. В произвольной решетке L из a c следует верность неравенства a (b c) (a b) c для всех a, b, c L.

Доказательство. Раз b c b a b и b c c, то b c (a b) c. Далее, из a c и a a b получаем a (a b) c.

Остается применить определение объединения элементов решетки.

Теорема 2.5.3. В произвольной группе G решетка нормальных подгрупп является модулярной.

Доказательство. Заметим, что если H и K — нормальные подгруппы группы G, то H K = H ∩ K и H K = HK = KH.

Пусть M — нормальная подгруппа в G и H M. Если a HK ∩ M, то a HK и a M. Отсюда a = hk, где h H и k K. Тогда k = h−1a M. Значит, k K ∩ M. Следовательно, a H(K ∩ M). Таким образом, (H K) M H (K M).

Обратное включение следует из леммы 2.5.2.

Так как любая подрешетка модулярной решетки, очевидно, модулярна, то модулярной является и подрешетка идеалов любого кольца.

Предложение 2.5.4. Если в решетке L выполнено условие (1), то решетка является модулярной.

Доказательство. Покажем, что для всех таких элементов a, b, c L, что a c, имеет место равенство a (b c) = (a b) c.

Обозначим u = (a b) c и v = a (b c). Заметим, что v u по лемме 2.5.2. Значит, b v b u. C другой стороны, b u b c v, поэтому b u b v. Таким образом, b u = b v.

32

2 • ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА

Далее, b v b a u, откуда b v b u. Учитывая b v b u, заключаем, что b u = b v.

Применение к полученным равенствам условия (1) завершает доказательство.

Теорема 2.5.5 (Критерий дистрибутивности решетки). Условие (1) является необходимым и достаточным для того, чтобы решетка L была дистрибутивной.

Доказательство. Необходимость условия (1) была доказана в предложе-

Аналогичные рассуждения показывают, что t2 t3 = t1 t3 = y. Кроме того, таким же образом можно доказать, что t1 t2 = t2 t3 = t1 t3 = x.

Согласно условию (1), полученные выше равенства влекут равенства t1 = t2 = t3, а значит, x = y.

2.6Идеалы и гомоморфизмы

Пусть L — решетка.

Определение 2.6.1. Подмножество I = решетки L называется идеалом, если:

1. из a, b I следует a b I для любых a, b L; 2. из a I и x a следует x I для всех x L.

33

Ю.В. Кочетова, Е.Е. Ширшова •УПОРЯДОЧЕННЫЕ СИСТЕМЫ: РЕШЕТКИ, ГРУППЫ

Определение 2.6.2. Подмножество D = L решетки L называется дуальным идеалом, если:

1.из a, b D следует a b D для любых a, b L;

2.из a D и a x следует x D для всех x L. Пустое множество принято считать дуальным идеалом.

Примеры.

1.В решетке натуральных чисел из примера 3) параграфа 2.1 с упорядоченностью по отношению делимости множество нечетных чисел является идеалом, а множество четных чисел — дуальным идеалом.

2.В решетке PS из примера 2) параграфа 2.1, где S содержит более одного элемента и a S — фиксированный элемент, совокупность всех подмножеств, не содержащих a, является идеалом, а совокупность всех подмножеств, содержащих a, — дуальным идеалом.

Предложение 2.6.1. Пусть L — решетка и c L. Тогда множество (c)i = {x L | x c} является идеалом решетки L.

Предложение 2.6.2. Пусть L — решетка и c L. Тогда множество (c)d = {x L | c x} является дуальным идеалом решетки L.

Идеалы, о которых идет речь в предложениях 2.6.1 и 2.6.2, принято называть главными.

Замечание. Если решетка конечна, то все идеалы в ней являются главными.

Определение 2.6.3. Если теоретико-множественное дополнение ¯ иде-

A

ала A решетки L является дуальным идеалом решетки L, то идеал A называют примарным, или простым.

Теорема 2.6.3. Пусть L — решетка, и идеал A является примарным. Тогда функция ϕ из L в двухэлементную решетку {0, 1}, определенная по

является гомоморфизмом решеток.

34

2 • ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА

Теорема 2.6.4. Пусть L — решетка, и функция ϕ : L → {0, 1} является гомоморфизмом решеток. Тогда:

1.ядро I гомоморфизма ϕ является идеалом решетки L;

2.множество D = {x L | ϕ(x) = 1} является дуальным идеалом решетки L.

Пример. В алгебре высказываний ложные высказывания образуют идеал, а истинные — дуальный идеал.

Теорема 2.6.5. Пусть I — идеал решетки L, u L \ I. Тогда множество

(I, u) = {x L | x a u для некоторого элемента a I}

является наименьшим идеалом решетки L, содержащим u, а также все элементы идеала I.

Доказательство. Если x, y (I, u), то y b u для некоторого элемента b I. В этом случае

x y (a u) (b u) = (a b) u, где a b I.

Значит, x y (I, u).

Если z x, то z a u, поэтому z (I, u).

Пусть J — идеал в L, для которого I J и u J. Тогда из определения идеала следует, что (I, u) J.

Теорема 2.6.6. Пусть L — дистрибутивная решетка и I — ее идеал. Если u, v L \ I, то

(I, u) ∩ (I, v) = (I, u v).

Доказательство. Из неравенств u v u, u v v следует включение правой части равенства в пересечение идеалов.

Пусть x является элементом пересечения. Тогда справедливы неравенства x a u и x b v для некоторых элементов a, b I.

Следовательно, для a b I выполняются неравенства x (a b) u

и x (a b) v.

Отсюда, учитывая дистрибутивность решетки, получаем

x (a b) u (a b) v = (a b) (u v).

Значит, x (I, u v).

35

Ю.В. Кочетова, Е.Е. Ширшова •УПОРЯДОЧЕННЫЕ СИСТЕМЫ: РЕШЕТКИ, ГРУППЫ

2.7Идеалы в дистрибутивной решетке

На протяжении этого раздела L — дистрибутивная решетка.

Теорема 2.7.1. Пусть I — идеал, а D — дуальный идеал решетки L, для которых I ∩ D = . Тогда существует идеал J решетки L, удовлетворяющий условиям: I J и J ∩ D = . При этом, если K — такой идеал решетки L, что J K, то K ∩ D = .

Доказательство. Пусть T — множество всех идеалов решетки L, содержащих идеал I и не пересекающихся с D. Тогда I T . К тому же, множество T упорядочено по включению. Рассмотрим цепь идеалов Jk T :

Следовательно, D ∩ J = , и значит J является идеалом рассматриваемой цепи.

Таким образом, по лемме Цорна, идеал I включен в некоторый максимальный элемент множества T .

Следствие 2.7.2. Идеал J, существование которого доказано в теореме 2.7.1, является примарным.

Доказательство. Пусть u, v / J. Тогда по теореме 2.6.5 существуют идеалы (J, u) и (J, v), а также идеал (J, u v), для которых по теореме 2.6.6 справедливо равенство (J, u) ∩ (J, v) = (J, u v).

Кроме того, имеем (J, u) ∩ D = и (J, v) ∩ D = .

Пусть x (J, u) ∩ D и y (J, v) ∩ D. Тогда c = x y x и c y, поэтому c (J, u) ∩ (J, v) ∩ D. Отсюда получаем, что элемент c / J, а с другой стороны, c (J, u v).

Теорема 2.7.3 (о сепарабельности элементов). Если a = b в L, то существует решеточный гомоморфизм f решетки L, для которого f(a) = f(b).

36

2 • ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА

Доказательство. Заметим, что для элементов a и b хотя бы одно из неравенств a b или b a не выполняется. Пусть b не меньше a. Тогда по предложению 2.6.1 имеем b / (a)i.

По предложению 2.6.2 существует дуальный идеал (b)d. Из выбора элемента b следует, что (a)i ∩ (b)d = .

По теореме 2.7.1 и следствию 2.7.2 существует примарный идеал P , удо-

влетворяющий условиям: (a)i P и (b)d ∩ P = . Отсюда, a P и b / P . По теореме 2.6.3 существует решеточный гомоморфизм f : L → {0, 1},

для которого f(a) = 0 и f(b) = 1.

Лемма 2.7.4. Пусть S — система подмножеств некоторого множества M, удовлетворяющая условию: X ∩ Y, X Y S для всех X, Y S. Тогда каждой точке множества M можно поставить в соответствие решеточный гомоморфизм решетки S.

Доказательство. Рассмотрим a M. Тогда существуют подмножества J = {X S | a X} и I = {Y S | a / Y } системы S. Нетрудно убедить-

ся в том, что — идеал, а — дуальный идеал решетки . Так как = ¯,

I J S J I

то I — примарный идеал.

По теореме 2.6.3 существует решеточный гомоморфизм ϕ : S → {0, 1}, при котором ϕ(I) = 0 и ϕ(J) = 1.

Теорема 2.7.5 (Теорема Стоуна). Любую дистрибутивную решетку можно вложить в решетку подмножеств некоторого множества.

2.8Задания к разделу "Частично упорядоченные множества"

1.Пусть M — произвольное множество, E — фиксированное его под-

множество. Выясните, какие из следующих отношений в PM задают на нем порядок, если S, T M:

а) Sρ1T S = T или S T E; б) Sρ2T (S E) (T E);

в) Sρ3T S = T или S ∩ E = , T ∩ E = , S T ;

г) Sρ4T S = T или S ∩ E = , T ∩ E = , S T .

2. Выясните, относительно каких из следующих отношений множество всех точек координатной плоскости является упорядоченным множеством (здесь O — начало координат, A и B — произвольные точки плоскости, xA

иxB — абсциссы этих точек, yA и yB — ординаты этих точек): а) Aρ1B, если отрезки OA и OB имеют одинаковую длину;

37

Ю.В. Кочетова, Е.Е. Ширшова •УПОРЯДОЧЕННЫЕ СИСТЕМЫ: РЕШЕТКИ, ГРУППЫ

б) Aρ2B, если xA xB;

в) Aρ3B, если xA xB и yA yB.

3.Найдите покрытия (или докажите, что их не существует) в примерах

5)и 6б) параграфа 2.1.

4.Постройте диаграмму решеточно упорядоченного по включению мно-

жества PS, где S = {α, β, γ}. Найдите в нем все подрешетки.

Укажите все максимальные и минимальные элементы, найдите наибольший и наименьший элементы (если они есть) или докажите, что их не существует.

5.Выясните, сколько существует не изоморфных двухэлементных, трехэлементных и четырехэлементных упорядоченных множеств и изобразите их диаграммы. Сколько среди них линейно упорядоченных множеств?

6.Пусть M — множество всевозможных разбиений некоторого множе-

ства M. Зададим на M отношение ρ, считая B1ρB2 для B1, B2 M, если для каждого X B1 найдется Y B2, для которого X Y . Докажите, что M, ρ — частично упорядоченное множество.

7. Постройте диаграмму упорядоченного по делимости множества A = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Покажите, что это ч.у. множество имеет четыре минимальных и пять максимальных элементов.

8.На множестве A = {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} задано бинарное отношение ρ такое, что ρ = {(a, b) | a, b A, a − b A, (a − b) делится на 2}.

Докажите, что A, ρ — частично упорядоченное множество. Найдите в нем минимальные и максимальные элементы.

9.На множестве A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} задано бинарное отношение ρ, для которого aρb, если (a−b) делится на 2 и a b. Изобразите граф отношения

ρи покажите, что ρ — отношение порядка на A. Найдите минимальные и максимальные элементы.

10.В упорядоченных отношением делимости множествах делителей числа 12 и делителей числа 30 укажите все максимальные и минимальные элементы, найдите наибольший и наименьший элементы (если они есть) или докажите, что их не существует.

11.Пусть M — частично упорядоченное множество. Для произвольного непустого подмножества A M обозначим через A (A ) и назовем верхним (нижним) конусом множества A совокупность всех x A таких, что x a (x a) для всех a A.

38

3Частично упорядоченные группы

3.1Основные понятия и определения

Пусть G, · — группа.

Определение 3.1.1. Группа G называется частично упорядоченной, если на множестве G задано отношение частичного порядка , и выполняется закон монотонности:

из a b следует ca cb и ac bc для всех a, b, c G.

Предложение 3.1.1. 1) Если a b, то b−1 a−1 для всех a, b G.

2) Если a b и c d, то ac bd для a, b, c, d G.

Пусть далее G — частично упорядоченная группа.

Определение 3.1.2. Множество G+ = {a G | e a} называется положительным конусом группы G. Если a G+, то элемент a называется положительным элементом.

Предложение 3.1.2. Пусть P = G+ для частично упорядоченной группы G. Тогда: 1) P P P ;

2)P ∩ P − = {e}, где P − = {a G | a−1 P };

3)x−1P x P для всех x G.

Предложение 3.1.3. Пусть P — подполугруппа группы G, удовлетворяющая условиям 1) – 3). Положим a b, если a−1b P для a, b G. Тогда G — частично упорядоченная группа, и P — ее положительный конус.

Доказательство. Так как для любого a G выполняется a−1a = e P ,

Следовательно, является отношением частичного порядка.

Пусть a b и c G. Рассмотрим произведения (ca)−1(cb) и (ac)−1(bc). Первое из них равно a−1c−1cb = a−1b P , а второе — c−1(a−1b)c P . Из этого заключаем, что ca cb и ac bc.

Таким образом, справедлив закон монотонности.

Если a P , тогда e−1a P , то есть e a. Значит, P G+. Обратное включение верно в силу условия 2).

40