Упорядоченные системы решетки, группы. Курс лекций

2 • ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА

Определение 2.1.2. Функция f, отображающая ч.у. множество M в ч.у. множество N, называется изотонной, а также порядковым гомоморфизмом, или o-гомоморфизмом, если f сохраняет порядок, то есть для всех a, b M из a b в M следует f(a) f(b) в N.

Если для o-гомоморфизма f обратная функция тоже является o- гомоморфизмом, то f называют o-изоморфизмом, или порядковым изо-

морфизмом и пишут M N.

=

Пример. Упорядоченное по включению множество PS, где S = {α, β} — двухэлементное множество, и упорядоченное по делимости множество A = {1, 2, 3, 6} являются o-изоморфными.

Теорема 2.1.1. Любое частично упорядоченное множество M порядково изоморфно вкладывается в N = PM .

Доказательство. Для произвольного a M рассмотрим подмножество A = {x M | x a} в M и положим ϕ(a) = A. Тогда ϕ : M → N.

Если ϕ(a) = ϕ(b), то A = B = {x M | x b}. Тогда a b и b a, откуда a = b. Значит, функция ϕ является инъективной.

Пусть далее a b. Если x A, то x a, откуда следует, что x b. Таким образом, x B и A B, то есть ϕ(a) ϕ(b). Если же A, B Im ϕ и A B, то для прообразов верно неравенство a b по определению функции ϕ.

Определение 2.1.3. Говорят, что в частично упорядоченном множестве M элемент a M покрывает b M (b a), если b < a и не существует элементов x M таких, что верно b < x < a.

Примеры.

1.В примере 1) в упорядоченных по величине множествах N и Z покрытие b a означает, что a = b + 1; в Q и R покрытий нет.

2.В упорядоченном по включению множестве PS из примера 2) покрытие B A означает, что B A и A \ B состоит из одного элемента.

3.В примере 3) покрытие b a означает, что a = bp для некоторого простого числа p.

4.В примере 4) покрытий нет.

5.В примере 6а) покрытие (a, b) (c, d) означает, что c = a и d = b + 1.

Вслучае a < c покрытий нет, так как (a, b) < (a, b + 1) < (c, d).

На понятии покрытия основывается графический способ задания конечного ч.у. множества. Так же, как при задании отношения графом, элементы

21

Ю.В. Кочетова, Е.Е. Ширшова •УПОРЯДОЧЕННЫЕ СИСТЕМЫ: РЕШЕТКИ, ГРУППЫ

множества изображаются в виде точек плоскости. Далее две точки соединяют тогда и только тогда, когда один из изображаемых этими точками элемент покрывает другой. При этом покрываемый элемент изображается точкой, расположенной ниже точки, изображающей покрывающий элемент. Получившееся графическое изображение называется диаграммой.

Исходя из метода построения диаграммы ч.у. множества, видно, что в нем x < y в том и только в том случае, когда на диаграмме имеется восходящая ломаная линия от точки, изображающей x, к точке, изображающей y.

Определение 2.1.4. Элемент a M называется наименьшим (наибольшим), если для всех x M выполнено a x (x a).

Лемма 2.1.2. Всякое ч.у. множество не может иметь более одного наименьшего (соответственно, наибольшего) элемента.

Определение 2.1.5. Элемент a M называется минимальным (максимальным) в M, если из соотношения x a (a x) следует x = a для всех x M.

Лемма 2.1.3. В произвольном ч.у. множестве наименьший (наибольший) элемент, если он существует, является единственным минимальным (максимальным) элементом.

Примеры.

1.В линейно упорядоченном множестве минимальный элемент является наименьшим, а максимальный элемент — наибольшим.

2.Упорядоченное множество PS имеет наименьший элемент и наибольший элемент S.

Условие минимальности. Всякое непустое подмножество N частично упорядоченного множества M обладает хотя бы одним минимальным элементом.

Условие обрыва убывающих цепей. Если ai — элементы частично упорядоченного множества M и

a1 a2 . . . an . . . ,

то существует индекс n, для которого an = an+1 = . . ..

Условие индуктивности. Все элементы ч.у. множества M обладают свойством T , если этим свойством обладают все минимальные элементы множества M (при условии их существования), и если из справедливости свойства

22

2 • ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА

T для всех элементов, строго предшествующих элементу a M, может быть выведена справедливость этого свойства для элемента a.

Теорема 2.1.4. Условие минимальности влечет условие индуктивности.

Доказательство. Пусть выполняется посылка условия индуктивности, но при этом существуют элементы, не обладающие нужным свойством. По условию минимальности среди них существует минимальный элемент a. Ясно, что он не является минимальным элементом самого множества M.

С другой стороны, если элемент b < a, то b обладает нужным свойством. Поэтому им обладает и элемент a, что противоречит выбору этого элемента.

Теорема 2.1.5. Условие индуктивности влечет справедливость условия обрыва убывающих цепей.

Доказательство. Скажем, что элемент a обладает свойством T , если любая убывающая цепь, начинающаяся с элемента a, обрывается через конечное число шагов.

Тогда все минимальные элементы множества M обладают свойством T . Кроме того, если произвольный элемент b < a обладает свойством T , то и элемент a обладает свойством T . Применяя условие индуктивности, заключаем, что все элементы множества M обладают свойством T .

Аксиома выбора. Если множество M не пусто, то существует функция ϕ, сопоставляющая каждому непустому подмножеству A множества M один определенный элемент ϕ(A) этого подмножества.

Теорема 2.1.6. Условие обрыва убывающих цепей влечет условие минимальности.

Доказательство. Пусть, от противного, найдется непустое подмножество N, в котором нет минимальных элементов. По аксиоме выбора найдем в N элемент a1. Так как он не минимальный, то найдется элемент a2 N, для которого a2 < a1. Для элемента a2, в свою очередь, существует элемент a3 N, для которого a3 < a2 и т.д. Получим бесконечно убывающую цепочку элементов в M, что противоречит условию теоремы.

Замечание. Условие индуктивности позволяет проводить построения по индукции.

23

Ю.В. Кочетова, Е.Е. Ширшова •УПОРЯДОЧЕННЫЕ СИСТЕМЫ: РЕШЕТКИ, ГРУППЫ

Пример. Пусть M — множество с условием минимальности. Нужно определить на M функцию ϕ : M → S (здесь S — вспомогательное множество), которая удовлетворяет некоторым рекуррентным соотношениям.

Рекуррентные соотношения для любого a M определяют значение ϕ(a) по значениям ϕ(b) для всех b < a.

Можно показать, что существует единственная функция, удовлетворяющая этим соотношениям и принимающая произвольные наперед заданные значения на всех минимальных элементах множества M.

Начнем с доказательства единственности. Пусть и ϕ и ψ — такие функции. Если существуют элементы x M, для которых ϕ(x) = ψ(x), то, в силу условия минимальности, найдется хотя бы один минимальный элемент a среди таких элементов. То есть ϕ(a) = ψ(a).

Так как a не является минимальным элементом M, то существуют элементы b < a в M. Для всех таких b имеет место равенство ϕ(b) = ψ(b). Следовательно, ϕ(a) = ψ(a). Полученное противоречие доказывает неверность предположения.

Далее, скажем, что элемент a M обладает свойством T , если на множестве A = {x M | x a} можно определить функцию ϕa, удовлетворяющую нужным требованиям на множестве A.

Тогда все минимальные элементы множества M обладают свойством T . С другой стороны, если b < a, где a и b обладают свойством T , то на множестве B = {x M | x b} определены две функции ϕa и ϕb. Поскольку такая функция единственна, то для любого x B имеет место

равенство ϕa(x) = ϕb(x).

Пусть теперь все элементы b, такие что b < a, обладают свойством T . Положим ϕa(b) = ϕb(b) и ϕa(a) приравняем к тому значению, которое однозначно определяется рекуррентными соотношениями. Тогда элемент a обладает свойством T . Отсюда, по условию индуктивности, следует, что все элементы множества M обладают свойством T . Остается положить

ϕ(a) = ϕa(a).

Определение 2.1.6. Линейно упорядоченное множество с условием минимальности называется вполне упорядоченным.

Следствие 2.1.7. Любое непустое подмножество вполне упорядоченного множества вполне упорядочено.

Следствие 2.1.8. Любое непустое подмножество вполне упорядоченного множества содержит единственный минимальный элемент.

24

2 • ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА

Для любого элемента вполне упорядоченного множества (кроме его максимальных элементов) существует единственный элемент, покрывающий его. Если у элемента нет непосредственно предшествующего, его называют

предельным элементом.

Теорема 2.1.9. Частично упорядоченное множество удовлетворяет условию минимальности в том и только в том случае, когда все его цепи вполне упорядочены.

2.2Решетки

Пусть M — частично упорядоченное множество.

Определение 2.2.1. Элемент u (элемент v) называется верхней (нижней) гранью элементов a, b M, если a u и b u (v a и v b).

Если любые два элемента ч.у. множества имеют верхние и нижние грани, то такое множество называется направленным.

В примерах 1) — 4) и 6) параграфа 2.1 множества являются направленными.

Определение 2.2.2. Если среди верхних (нижних) граней элементов a и b существует наименьший (наибольший) элемент a b (a b), то его называют точной верхней (точной нижней) гранью, или объединением (пересечением) элементов a и b.

Ч.у. множество называют решеткой, если для любых его двух элементов в нем существуют их объединение и пересечение.

Замечание. Каждая цепь является решеткой; каждая решетка есть направленное множество.

Примеры.

1. Покажем, что множества в примерах 1) — 4) и 6) параграфа 2.1 являются решетками.

Действительно, любое множество из примеров 1) и 6а), как всякое линейно упорядоченное множество, является решеткой.

Вупорядоченном по включению множестве PS из примера 2) для любых

A, B PS верно A B = A B и A B = A ∩ B.

Вупорядоченном по отношению делимости множестве N из примера 3)

для всех x, y N выполняется x y = НОД(x, y) и x y = НОК(x, y).

25

Ю.В. Кочетова, Е.Е. Ширшова •УПОРЯДОЧЕННЫЕ СИСТЕМЫ: РЕШЕТКИ, ГРУППЫ

Легко проверить, что для всех f и g из множества функций примера 4)

В ч.у. множестве N × N из примера 6б) для пар (a, b) и (c, d) получаем, что (a, b) (c, d) = (a c, b d) и (a, b) (c, d) = (a c, b d).

2.С точностью до изоморфизма существует одна двухэлементная решетка и одна трехэлементная решетка. Это линейно упорядоченные множества их двух и из трех элементов.

3.Пусть X — цепь и A(X) — множество биективных функций на X, сохраняющих порядок. Определим на A(X) отношение порядка по прави-

лу: для любых f, g A(X) положим f g тогда и только тогда, когда f(x) g(x) для всякого x X. Докажем, что при таком определении порядок на A(X) является решеточным.

Для произвольных функций f и g из A(X) рассмотрим функцию h : X → X, для которой положим в качестве значения при x X элемент h(x) = max{f(x), g(x)} относительно порядка в X. Докажем, что h A(X).

Так как для любого x X существуют образы f(x) X и g(x) X, и при этом f(x) g(x) или g(x) f(x) в X, то h — функция.

Инъективность функции h очевидна. Покажем, что h является сюръективной функцией. Пусть x X, тогда f(a) = x и g(b) = x для некоторых a, b X. Если a b, то g(a) g(b) = x = f(a). Отсюда следует, что h(a) = x.

Докажем, что h сохраняет порядок. Пусть a b в X. Тогда f(a) f(b) и g(a) g(b). Это влечет h(a) h(b).

Таким образом, h A(X). Легко видеть, что h = f g. Аналогично, (f g)(x) = min{f(x), g(x)}.

Кроме перечисленных выше примеров решеток, можно указать решетки подгрупп, подколец, идеалов.

Теперь рассмотрим множество, на котором заданы две бинарные операции и , и для всех элементов a, b, c выполняются следующие тождества:

(1)a a = a и a a = a (идемпотентность);

(2)a b = b a и a b = b a (коммутативность);

(3)a (b c) = (a b) c и a (b c) = (a b) c (ассоциативность);

(4)a (a b) = a и a (a b) = a (закон поглощения).

26

2 • ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА

Теорема 2.2.1. Если множество L является решеткой, то в L справедливы тождества (1) – (4).

Доказательство. Первые два тождества следуют из определений объединения и пересечения в решетке.

Из неравенств a, b c a (b c) получаем, что a, b, c a (b c), откуда a b, c a (b c). Поэтому (a b) c a (b c). Аналогично доказывается, что a (b c) (a b) c. Из антисимметричности порядка следует нужное равенство. Значит, справедливо тождество (3).

Из неравенств a, a b a заключаем, что a (a b) a. Обратное неравенство верно по определению объединения. Осталось применить антисимметричность порядка. Таким образом, выполняется тождество (4).

Посмотрим на решетку как на алгебру.

Лемма 2.2.2. Пусть L — множество с двумя бинарными операциямии , удовлетворяющими свойствам (1) — (4).

Если a, b L, то равенства a b = a и a b = b или одновременно справедливы, или оба не выполняются.

Доказательство. Пусть a b = a, тогда

a b = (a b) b = b (b a) = b.

Если a b = b, то a b = a (a b) = a.

Теорема 2.2.3. Пусть L — множество с двумя бинарными операциямии , удовлетворяющими свойствам (1) — (4). Тогда L – решетка.

Доказательство. Положим a b, если a b = a. Из свойства (1) вытекает рефлексивность введенного отношения.

Если a b и b a, то a = a b = b a = b по условию (2).

Из a b и b c следует a b = a и b c = b. Отсюда получаем a c, поскольку по свойству (3)

a c = (a b) c = a (b c) = a b = a.

Таким образом, рассматриваемое отношение является отношением частичного порядка.

Далее имеем

(a b) a = a (a b) = (a a) b = a b.

27

Ю.В. Кочетова, Е.Е. Ширшова •УПОРЯДОЧЕННЫЕ СИСТЕМЫ: РЕШЕТКИ, ГРУППЫ

Значит, a b a. Аналогично выводится соотношение a b b. Если для x L верно x a и x b, то x a = x = x b. Откуда

x (a b) = (x a) b = x b = x.

Поэтому x a b. Следовательно, a b является пересечением элементов a и b в L.

Аналогично показывается, что a b — объединение элементов a и b. Итак, L — решетка.

Определение 2.2.3. Подмножество M решетки L называется подрешеткой решетки L, если оно само является решеткой относительно операций решетки L.

Примеры.

1.В решетке натуральных чисел с упорядоченностью по делимости из примера 3) параграфа 2.1 множество всех четных чисел является подрешеткой.

2.В решетке PS из примера 2) параграфа 2.1 совокупность всех подмножеств, содержащих какой-либо фиксированный элемент из S, является подрешеткой.

3.В любой решетке всякое ее линейно упорядоченное подмножество является подрешеткой.

4.Решетка подгрупп группы G не является подрешеткой решетки подмножеств множества G.

5.Решетка подколец кольца A не является подрешеткой решетки подгрупп группы (A, +).

6.Решетка нормальных подгрупп группы G является подрешеткой решетки всех подгрупп группы G.

2.3Полные решетки

Определение 2.3.1. Решетка L называется полной, если для любого ее непустого подмножества A существует в L точная верхняя a и точ-

ная нижняя a грани для его элементов. a A

a A

Пересечение всех элементов полной решетки называют нулем и обозначают символом O.

Предложение 2.3.1. Для любого a L следующие условия равносильны:

а) O a; б) O a = O; в) O a = a.

28

2 • ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА

Определение 2.3.2. Объединение всех элементов полной решетки называют единицей и обозначают символом I.

Предложение 2.3.2. Для любого a L следующие условия равносильны:

а) a I; б) I a = a; в) I a = I.

Замечание. Для существования нуля и единицы требование полноты не обязательно.

Приведем примеры единиц и нулей в различных решетках.

Примеры.

1.G и {e} в решетке подгрупп группы G.

2.A и {0} в решетке подколец кольца A.

3.Единица во множестве N.

4.Пусть M — непустое множество. Существует решетка всех бинарных отношений на множестве M, совпадающая с решеткой всех подмножеств

множества M × M. Все отношения эквивалентности {ρi} на M образуют решетку, не являющуюся подрешеткой решетки всех бинарных отношений. Пересечение здесь теоретико-множественное.

Определим на M отношение ρ, положив aρb, если существуют такие

элементы a = c1, c2, . . . , cn = b, что ckρik ck+1 для некоторых отношений эквивалентности ρik . Тогда ρ тоже является отношением эквивалентности

и ρi ρ для всех i.

Теорема 2.3.3. Частично упорядоченное множество L является полной решеткой в том и только в том случае, когда I L, и для любого непустого подмножества A в L существует a.

a A

Доказательство. Необходимость условия очевидна. Пусть A L и A = . Рассмотрим множество

B = {b L | a b для всех a A}.

Заметим, что I B. Существует элемент c = b в L. По определению

b B

пересечения и выбору множества B верно, что a c для любого a A.

С другой стороны, если x L и a x для всех a A, то x B. Значит, c x.

Из определения объединения следует, что c = a.

a A

Пример. Упорядоченное по делимости множество N {0} из примера 3) параграфа 2.1 является полной решеткой.

29

Ю.В. Кочетова, Е.Е. Ширшова •УПОРЯДОЧЕННЫЕ СИСТЕМЫ: РЕШЕТКИ, ГРУППЫ

2.4Дистрибутивные решетки

Определение 2.4.1. Решетка L называется дистрибутивной, если для любых a, b, c L имеет место равенство

(a b) c = (a c) (b c).

Примеры.

1.Решетка PS из примера 2) параграфа 2.1.

2.Решетка натуральных чисел с упорядоченностью по делимости из примера 3) параграфа 2.1.

3.Решетка функций примера 4) параграфа 2.1.

4.Двухэлементные и трехэлементные решетки.

Рассмотрим еще две решетки, которые будут необходимы нам в дальнейшем.

Примеры.

1. В полной решетке L1 из пяти элементов 0, x, y, z и 1, в которой x y z, имеют место равенства x (y z) = x и (x y) (x z) = 1. Поэтому решетка L1 не является дистрибутивной.

2. Если L2 — полная решетка из тех же пяти элементов, и в ней z y, то выполняются следующие равенства z (x y) = z и (z x) (z y) = y. Отсюда следует, что решетка L2 не дистрибутивна.

Теорема 2.4.1. Для решетки L следующие утверждения равносильны:

1.L — дистрибутивная решетка;

2.(a b) c = (a c) (b c) для всех a, b, c L;

3.(a b) (a c) (b c) = (a b) (a c) (b c) для любых a, b, c L.

Доказательство. Пусть имеет место условие 1. Тогда

30