Резонанс в цепях синусоидального тока. Сборник задач
.pdf
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
К а ф е д р а «Теоретическая и общая электротехника»
В.Ф. ЯКОВЛЕВ
РЕЗОНАНС В ЦЕПЯХ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Сборник задач
Самара Самарский государственный технический университет
2019
1
Печатается по решению учѐного совета СамГТУ (протокол № 8 от 28.03.2019 г.).
УДК 621.31(076.8)
ББК 31.2я73 Я 47
Яковлев В.Ф.
Я 47 Резонанс в цепях синусоидального тока: сб. задач / В.Ф. Яковлев. –
Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2019. – 55 с.
Приведены задачи для текущей аттестации студентов при защите лабораторных работ «Исследование резонанса напряжений» и «Исследование резонанса токов». Задачи можно использовать также для самостоятельной работы студентов. Описана методика решения задач, имеется список рекомендованной учебной литературы.
Предназначен для студентов, обучающихся по направлениям 21.03.01 «Нефтегазовое дело», 12.03.01 «Приборостроение», 27.03.03 «Системный анализ и управление», 27.03.04 «Управление в технических системах», 15.03.04 «Автоматизация технологических процессов и производств», но может быть полезен и студентам других направлений, изучающим электротехнику.
УДК 621.31(076.8)
ББК 31.2я73 Я 47
Ре ц е н з е н т : канд. техн. наук, доцент К.В. Киреев
©В.Ф. Яковлев, 2019
©Самарский государственный технический университет, 2019
2
ПРЕДИСЛОВИЕ
Вперечень контрольных мероприятий при изучении курсов «Теоретические основы электротехники», «Электротехника», «Электротехника и электроника» входит выполнение и защита лабораторных работ.
При защите лабораторных работ, помимо вопросов по ходу их выполнения, студентам целесообразно предлагать для решения задачи по изучаемой теме.
Впредлагаемом компактном сборнике собраны задачи, позволяющие проверить усвоение студентами теоретического материала к лабораторным работам «Исследование резонанса напряжений» и «Исследование резонанса токов» [1], выполняемыми студентами различных факультетов. Решение задач не требует сложных вычислений.
Всборнике задач имеется сорок вариантов заданий по пять задач
вкаждом. Приведены примеры решений и ответы к задачам. Предлагаемый сборник задач является полезным дополнением к
стандартным учебникам по электротехнике [2, 3]. Решение задач из сборника в рамках самостоятельной работы поможет лучше усвоить пройденный материал.
Представленные в сборнике задачи используются для текущей аттестации студентов на практических занятиях и при защите лабораторных работ по курсам «Теоретические основы электротехники», «Электротехника», «Электротехника и электроника».
3
1. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Для успешного решения предлагаемых задач студент должен освоить следующие разделы программы: установившийся синусоидальный ток в линейных электрических цепях, резонанс токов, резонанс напряжений.
Необходимая информация имеется в учебниках и задачниках по электротехнике [2, 3, 4, 5], в теоретической части описаний лабораторных работ [1].
Примеры решений
Пример 1.
U 2
U 1
U 3
U 4
Рис. 1.1
Последовательный RLC-контур подключен к источнику синусоидальной ЭДС с угловой частотой ω, ток в цепи 1 А. На рис. 1.1 представлена векторная диаграмма напряжений. Длина стороны клетки соответствует 1 В. Какова будет активная мощность, потребляемая цепью, если контур ввести в режим резонанса?
Решение:
Сначала разберемся, какой вектор на диаграмме соответствует падению напряжения, какому элементу цепи соответствует. Имеем в виду, что вектор, изображающий падение напряжения, на активном сопротивлении отстает от вектора напряжения индуктивности на 90º, но опережает вектор падения напряжения емкости на 90º. С учетом этих требований векторную диаграмму расшифруем так:
UR = U3 = 4 B, UL = U2 = 1 B, UC = U4 = 6 B.
4
Входное напряжение:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U U |
|
U 2 |
(U |
|
|
U |
|
) 2 |
|
16 25 |
|
41 В. |
(1.1) |
||
|
1 |
R |
|
|
L |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
Сопротивление элемента R при заданном токе I = 1 А: |
|
||||||||||||||
|
|
|
R |
U |
|
4 |
4 |
Ом. |
|
|
|
(1.2) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
I1
Врежиме резонанса в последовательной цепи напряжение на активном сопротивлении равно входному независимо от способа, которым был достигнут режим, поэтому:
Вт. (1.3)
Пример 2.
R1
С
U |
|
R2 |
|
L
Рис. 1.2
Дано: R1 = 2 Ом, R2 = 10 Ом, L = 0,2 Гн, С = 1 мкФ. Определить входное сопротивление цепи при резонансе (рис. 1.2).
Решение:
Запишем комплекс входной проводимости:
Y |
1 |
j C |
1 |
. |
(1.4) |
|
|
||||
|
|
||||
|
R 2 |
R 1 j L |
|
|
|
При резонансе входное сопротивление контура чисто активное,
т.е.
. (1.5)
Здесь ω0 − резонансная частота.
5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2236 рад/с. |
(1.6) |
|||
Входное сопротивление контура при резонансе: |
|
|
||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
R |
1 |
|
) |
1 |
1 |
|
|
2 |
) |
1 |
= 9,99 Ом. |
(1.7) |
||||
Z ( |
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
R 2 |
( |
|
|
L ) 2 |
|
10 |
2 2 |
( 2236 0 .2 ) 2 |
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3.
В неразветвленной электрической цепи последовательно включены элементы RLC. R = 40 Ом, ХL = 7 Ом, XC = 10 Ом, приложено напряжение U = 220 В с частотой f = 50 Гц.
Определить частоту f0, при которой возникает резонанс напряжений, ток I0, а также полную мощность S0 цепи при резонансе.
Решение:
Режим работы электрической цепи при последовательном соединении активного, индуктивного и емкостного элементов, когда угол сдвига фаз между напряжением и током цепи равен нулю, называется резонансом напряжений.
Следовательно, при резонансе напряжений
X = XL – XC = 0 или XL = XC .
Из равенства реактивных сопротивлений L=1/ C следует, что режим резонанса напряжений в электрической цепи возникает при частоте:
f 0 |
|
1 |
|
|
, |
(1.8) |
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|||
|
|
|||||
|
|
LC |
|
|||
называемой резонансной, которая определяет частоту незатухающих колебаний данной цепи и характеризует установление в ней наибольшего тока Imах, так как при этом полное сопротивление цепи Z минимально.
Определим индуктивность L и емкость C рассматриваемой цепи
по величинам заданных реактивных сопротивлений: |
|
L = XL /(2 f) = 7 / (2 50) = 22,28 10–3 Гн = 22,28 мГн, |
(1.9) |
6 |
|
C = 1 / (2 f XC) = 1 / (2 50 10) = 3,183 10–4 Ф = 318,3 мкФ. (1.10)
Подставим полученные значения L и C в формулу (1.8) и определим резонансную частоту:
f 0 |
|
|
1 |
|
|
|
59 ,767 |
60 Гц. |
(1.11) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
3 |
|
4 |
||||||
2 |
22 , 28 10 |
3 ,183 10 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
Определим ток I0, а также полную мощность S0 цепи при резонансе.
Полное сопротивление сопротивления цепи:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
R 2 |
( X |
L |
X |
C |
) 2 . |
|
|
(1.12) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При резонансе напряжений X = XL – XC = 0, поэтому Z = R, а угол |
||||||||||||
сдвига фаз: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
X |
arctg |
X L |
|
X C |
|
arctg |
0 |
0 . |
(1.13) |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
|
R |
|
|
Ток в цепи при резонансе: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
I0= U/R = 220/40 = 5.5 A. |
|
|
(1.14) |
|||||||||
Полная мощность цепи при резонансе: |
|
|
|
|
|
|||||||
S = U I0 = 220 5.5 = 1210 BA. |
|
|
(1.15) |
|||||||||
Пример 4.
Дано: С = 50 мкФ, L = 0,25 Гн. Определить величину сопротивлений R1, R2 так, чтобы в цепи на рис. 1.3 происходил резонанс токов на частотах 100 Гц и 200 Гц.
Решение:
В цепи с одной парой элементов С и L резонанс может происходить только на одной частоте. Чтобы обеспечить резонанс токов на частотах 100 и 200 Гц, цепь (см. рис. 1.3) должна быть введена в режим безразличного резонанса [2]. В этом режиме ток и напряжение на входе цепи совпадают по фазе на всех частотах.
7
Резонансная частота для цепи на рис. 1.3:
R1 R2
U
С L
Рис. 1.3
. (1.16)
При 
Ом в цепи реализуется безразличный резонанс.
Для проверки определим реактивные проводимости ветвей на частотах 100 и 200 Гц.
Из [2]:
|
|
L |
|
1 /( |
C ) |
2 f . |
(1.17) |
||
b L |
|
|
; b C |
|
|
|
; |
||
R 2 |
|
R 2 |
1 /( |
|
|||||
|
2 L 2 |
2 C 2 ) |
|
|
|||||
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Расчет на калькуляторе дает такие результаты: на частоте 100 Гц bL = bC = 5,294∙10–3 См, на частоте 200 Гц bL = bC = 3,03∙10–3 См. В
обоих случаях реактивные проводимости компенсируются, и цепь себя ведет как активный двухполюсник.
Пример 5.
Последовательный RLC-контур подключен к источнику синусоидальной ЭДС 50 В. Режим резонансный. Определить напряжение на катушке RL, если напряжение на конденсаторе 120 В.
8
Решение:
При резонансе в последовательной цепи напряжения на индуктивности UL и емкости UC равны, напряжение на активном элементе UR равно входному U. На рис. 1.4 представлена векторная диаграмма напряжений на катушке.
U RL
U L
U R
Рис. 1.4
Из треугольника напряжений:
U |
U 2 |
U 2 |
|
50 2 |
120 2 |
130 В. |
(1.18) |
RL |
R |
L |
|
|
|
|
|
2. ЗАДАНИЯ
ВАРИАНТ 1
1.Последовательный RLC-контур подключен к источнику синусоидальной ЭДС 1,6 В с внутренним сопротивлением 16 Ом. Если активное сопротивление контура можно изменять, какую максимальную активную мощность можно передать в контур пр и резонансе?
2.В последовательной RLC-цепи ток при резонансе 2 мА, напряжение питания 0,1 В, частота 4 кГц, добротность контура 90. Найти напряжение на емкости и емкость.
3.Определить добротность последовательного RLC-контура при резонансе, если R = 25 Ом, L = 100 мГн, C = 0,12 мкФ.
9
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Последовательный RLC-контур подклю- |
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
чен к источнику синусоидальной ЭДС с угловой |
||||||
|
U |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
частотой ω. На рис. 2.1 представлена векторная |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
U 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. |
2.1 |
|
|
|
|
|
|
|
диаграмма напряжений. Длина стороны клетки |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
соответствует 1 В. Какой нужно сделать частоту |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
источника питания, чтобы цепь заработала в |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
режиме резонанса? |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
На рис. 2.2 представлена векторная |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
диаграмма напряжений для катушки RL, под- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
ключенной к источнику синусоидальной ЭДС |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
U |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с угловой частотой ω. Длина стороны клетки |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
соответствует 1 В. Последовательно с катуш- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Рис. |
2.2 |
|
|
|
|
|
|
|
кой, в ту же цепь подключают емкость, обес- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
печивающую резонансный режим. Опреде- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лить напряжение на емкости. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 2
1.Последовательный RLC-контур подключен к источнику синусоидальной ЭДС 35 В. Режим резонансный. Определить напряжение на катушке RL, если напряжение на конденсаторе 120 В.
2.В последовательной RLC-цепи при резонансе ток 0,12 мА. Напряжение питания 24 мВ, частота 40 кГц. L = 0,05 Гн. Определить полное сопротивление цепи и емкость.
3.В последовательном RLC-контуре при резонансе на частоте
100 кГц течет ток 0,2 мА, приложенное |
напряжение |
250 мВ, |
||
C = 0,04 мкФ. Определить величину индуктивности. |
|
|
||
4. Последовательный RLC-контур подклю- |
|
U |
|
|
чен к источнику синусоидальной ЭДС с угловой |
2 |
|||
U |
1 |
U |
||
|
|
|
|
|
частотой ω. На рис. 2.3 представлена векторная |
|
|
3 |
|
|
|
|||
|
|
|
U 4 |
|
диаграмма напряжений. Длина стороны клетки |
|
|
|
|
соответствует 1 В. Каким будет напряжение на |
|
Рис. 2.3 |
||
|
|
|
||
сопротивлении R, если цепь ввести в режим ре- |
|
|
|
|
зонанса? |
|
|
|
|
10