Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Индивидуальные задания

по линейной алгебре

Линейные операторы,

квадратичные формы,

кривые второго порядка

Учебно-методическое пособие

Новосибирск

2022

Предисловие

Данное учебно-методическое пособие предназначено для студентов Новосибирского государственного технического университета всех направлений и специальностей, в учебных планах которых имеется дисциплина «Линейная алгебра». Вместе с работой «Индивидуальные задания по линейной алгебре: Матрицы, определители, системы линейных уравнений. Линейные геометрические объекты» тех же авторов представляет собой законченный комплект индивидуальных расчетно-графических заданий, охватывающий весь курс линейной алгебры технического вуза. Изначально работа задумывалась именно как комплект индивидуальных заданий, которые могут быть предложены студентам для самостоятельного решения после изучения соответствующего раздела курса, однако впоследствии решено было снабдить работу подробными решениями аналогичных задач так называемого нулевого варианта.

В настоящей работе представлено тридцать вариантов индивидуальных заданий, относящихся к темам «Линейные пространства», «Линейные операторы», «Квадратичные формы», «Кривые второго порядка». Каждый вариант индивидуального задания содержит 8 задач.

Задача 1 связывает разделы «Системы линейных уравнений» и «Линейные пространства». Для ее решения необходимо понимать, что множество решений однородной системы линейных алгебраических уравнений является линейным пространством и потому, как любое пространство, обладает базисом. Базис пространства решений однородной системы линейных уравнений (он называется также фундаментальной системой решений) составляют решения, удовлетворяющие двум требованиям: 1) сами эти решения образуют линейно независимую систему, 2) любое решение однородной системы является линейной комбинацией этих решений.

К теме «Линейные операторы» относятся задачи 2–5. Для успешного их решения необходимо иметь представление о том, как строится матрица линейного оператора в заданном базисе, как с помощью этой матрицы можно найти координаты образа любого вектора, как связаны матрицы линейного оператора в разных базисах, как выглядит матрица линейного оператора в базисе, составленном из его собственных векторов. При этом

3

потребуется умение находить собственные числа и собственные векторы линейного оператора, а также составлять матрицу перехода к новому базису в линейном пространстве.

К теме «Квадратичные формы» относятся задачи 7 и, отчасти, 8. Для их решения нужно иметь представление о матрице квадратичной формы, о каноническом виде и каноническом базисе квадратичной формы, а также о том, как связаны канонический вид и канонический базис с собственными числами и собственными векторами симметрической матрицы квадратичной формы.

Завершающей курс линейной алгебры теме «Кривые второго порядка» посвящены задачи 6 и 8. Для решения задачи 6 нужно иметь представление о классификации, характеристиках и свойствах (в частности – директориальном свойстве) кривых второго порядка. Задача 8 требует умения приводить уравнение кривой второго порядка к каноническому виду путем перехода к новой прямоугольной системе координат, осуществляя этот переход в два этапа. На первом этапе выполняется поворот исходной прямоугольной системы координат на некоторый угол, в результате чего входящая в уравнение кривой квадратичная форма приобретает канонический вид. На втором этапе выполняется параллельный перенос системы координат, избавляющий уравнение кривой от линейных членов. Под номерами 8 и 8* мы приводим два примера решения этой задачи, относящиеся к случаям невырожденной и вырожденной кривой, соответственно, и несколько отличающиеся самими решениями.

Для того, чтобы успешно справиться с выполнением индивидуального задания, рекомендуется сначала методично изучить соответствующий теоретический материал. В пособии приводится список источников, по которым можно ознакомиться с необходимой теорией.

4

Решение задач нулевого варианта

Вариант 0

1.Найти базис пространства решений однородной системы линейных уравнений (фундаментальную систему решений)

$

’´8 1 ` 6 2 ´ 4 3 ` 4 4 ´ 4 5 “ 0,

’

&

2 1 ´ 7 2 ` 4 3 ´ 7 4 ` 5 5 “ 0,

’

’

%12 1 ` 2 2 ` 6 4 ´ 2 5 “ 0.

Решение. Решением системы линейных уравнений является такой набор значений всех переменных, входящих в эту систему, что подстановка соответствующих значений в систему обращает все уравнения в тождества. Набор значений переменных, являющийся решением, мы записываем в виде вектора. Можно увидеть, что множество векторов решений однородной системы линейных уравнений (то есть когда в правых частях стоят нули) является векторным подпространством. Базис этого подпространства также называется фундаментальной системой решений.

Для нахождения решений системы линейных уравнений применим модифицированный метод Гаусса, а именно: составим расширенную матрицу системы и преобразуем эту матрицу с помощью элементарных преобразований таким образом, чтобы в каждой строке оказался выделенный ненулевой элемент, в столбце которого он будет единственным ненулевым. (Также можно было бы решить систему и «классическим» методом Гаусса, с приведением матрицы к ступенчатому виду и обратным ходом, выражающим переменные «снизу вверх».)

5

Вернемся от матричного вида к записи в виде системы уравнений:

$

&´6 1 ´ 2 ´ 3 4 ` ○5 “ 0,

%8 1 ´ 12 2 ` ○3 ` 2 4 “ 0;

выразим выделенные базисные переменные 3 и 5:

Три остальные переменные — свободные. Выберем значения свободных переменных так, чтобы векторы, составленные из этих значений, были линейно независимыми, а соответствующие значения базисных переменных найдем из последней системы (1). Поскольку векторы из значений трех свободных переменных линейно независимы, то и векторы из значений всех пяти переменных, входящих в исходную систему, также будут независимыми.

Для этого выбора достаточно составить из свободных переменных квадратную невырожденную матрицу, проще всего — диагональную с ненулевыми элементами на диагонали. Запишем таблицу, первый, второй и четвертый столбцы которой представляют собой столбцы упомянутой невырожденной матрицы, а значения третьего и пятого столбцов найдены из системы (1):

Таким образом, в строках таблицы получили координаты линейно

6

независимых векторов

Данные векторы образуют базис пространства решений или, что то же самое, фундаментальную систему решений. То есть они линейно независимы и произвольное решение системы имеет вид

Решение. Предлагаем два способа решения данной задачи.

Способ 1. Обозначим через оператор из задачи. По свойству матрицы линейного оператора имеем:

“ ‰ r s r¯s “ p¯q .

7

#˜ ¸ ˜ ¸+

Здесь “ 1 , 0 — стандартный базис двумерного арифме-

01

тического векторного пространства, r¯s — координаты вектора ¯ в базисе , r s — матрица линейного оператора в базисе .

В нашем случае по условиям задачи справедливы равенства:

Или, что то же самое (по правилу умножения матриц),

Отсюда, решая матричное уравнение умножением обеих частей справа на обратную матрицу, получаем:

Обратная матрица, написанная здесь, существует, поскольку определитель исходной матрицы отличен от нуля. Найдем обратную матрицу размера 2 ˆ 2 по формуле:

Тогда по формуле (2) получим:

8

Способ 2. Пусть “ t¯1, ¯2u — стандартный базис. Обозначим через ¯1 и ¯2 исходные векторы из задачи, на которые действует оператор . То есть

Обратим внимание, что система векторов “ t ¯1, ¯2u образует базис, значит, задача поставлена корректно (то есть у нее существует единственное решение). Поэтому можем составить матрицу перехода от к , которую обозначим Ñ . Эта матрица получается в результате разложения векторов базиса по векторам базиса и имеет вид

Из условий задачи мы знаем, как действует оператор на векторы базиса . Его матрица в базисе имеет вид:

´ ¯

r s “ r p ¯1qs r p ¯2qs ,

где последние векторы мы можем получить с помощью формулы

r p ¯1qs “ Ñ r p ¯1qs “ ´1r p ¯1qs , r p ¯2qs “ ´1r p ¯2qs .

Это значит, что

´ ¯

r s “ ´1 r p ¯1qs r p ¯2qs .

Для получения матрицы в базисе воспользуемся следующей формулой:

r s “ Ñ r s Ñ “ r s ´1.

9

Откуда получаем:

r s “ r s ´1 “

´ ¯ ´ ¯

“ ´1 r p 1qs r p 2qs ´1 “ r p 1qs r p 2qs ´1.

Вычислим ´1.

Таким образом, получаем:

˜ ¸

Ответ: 8 ´25 .

1´3

3.Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, имеющего в некотором базисе матрицу . Сделать проверку.

¨ ˛

1 ´3 ´3

“ ˚˝´5 3 5 ‹‚.

9´9 ´11

Решение. Собственным вектором для матрицы называется та-

кой ненулевой вектор ¯, для которого выполняется равенство

¯ ‰ 0

¯ “ ¯ при некотором числе , называемом собственным числом матрицы, соответствующим собственному вектору ¯.

Для решения задачи сначала необходимо найти собственные числа. Составим характеристическое уравнение | ´ | “ 0, решения-

10