Индивидуальные задания по линейной алгебре линейные операторы, квадратичные формы, кривые второго порядка. Учебно-методическое пособие
.pdfИндивидуальные задания
Вариант 1
1.Найти базис пространства решений однородной системы линейных уравнений (фундаментальную систему решений)
|
|
$´2 1 ` 6 2 ` 6 3 “ 0, |
|
|
|
||||||
|
|
’9 1 ´ 12 2 ` 3 3 ´ 5 4 “ 0, |
|||||||||
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
5 |
6 |
2 |
3 |
3 |
3 |
4 |
|
0, |
|
|
’ |
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
& |
|
` 3 2 |
´ 4 |
|
`0. |
|
|
|
|
|
|
’´2 1 |
|
|
“ |
|
|||||
|
|
’´ |
` |
|
` |
“ |
|
|
|
||
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2. Составить матрицу линейного оператора, переводящего вектор ˜´1¸ |
|||||||||||
в ˜ |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
´ |
3¸, а вектор |
˜2¸ — в вектор ˜6¸, в стандартном базисе. |
||||||||||
|
´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, имеющего в некотором базисе матрицу . Сделать проверку.
|
|
|
|
¨ |
14 |
2 |
8 |
˛ |
|
|
|
|
“ ˚ |
16 |
42 |
10 |
. |
||
|
|
|
18 |
9 |
‹ |
|
|||
|
|
|
|
˝ |
´ |
´ |
´ |
‚ |
|
4. В некотором базисе линейные операторы |
и имеют, соответствен- |
||||||||
но, матрицы “ ˜ |
5 |
|
1 |
¸ , |
“ ˜ |
2 |
0 |
¸ . Найти базис, состо- |
|
8 |
|
3 |
´1 |
1 |
|||||
ящий из собственных векторов оператора (новый базис), а также матрицы операторов и в этом базисе.
5.При каких значениях число “ 10 является собственным числом
¨˛
8´1
матрицы ˚˝ 1 ´2‹‚?
´3 ´4 9
31
6.Построить уравнение кривой и указать её тип, если одна из директрис задается уравнением ´ `2 “ 0, ближайший фокус — в точке p´3, ´2q, а эксцентриситет равен 3.
7.Найти канонический вид квадратичной формы
´3 2 ´ 12 ` 12 ` 6 2 ` 6 ` 6 2.
8. Дано уравнение кривой второго порядка в системе координат :
3 2 ´ 10 ` 4 ` 3 2 ´ 28 ´ 4 “ 0.
Найти канонический базис, каноническую систему координат, каноническое уравнение кривой. Построить кривую в исходной системе координат.
Вариант 2
1.Найти базис пространства решений однородной системы линейных уравнений (фундаментальную систему решений)
|
|
$ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
´2 1 ` 2 ` 3 3 ` 6 4 ´ 4 5 “ 0, |
|
|
|||||||||||||
|
|
’ 1 ` 3 3 ´ 4 ` 3 5 “ 0, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
8 |
|
15 |
3 |
12 |
4 |
|
|
22 |
5 |
|
0, |
|
||
|
|
’ |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
´ |
|
“ |
|
|
|||
|
|
& |
|
|
´ 7 4 |
|
`7 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
’´3 1 ` |
2 |
|
“ |
0. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
’´ |
` |
|
` |
´ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Составить матрицу линейного оператора, переводящего вектор ˜ |
01¸ |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
´ |
в ˜ |
´7 |
|
1 |
— в вектор ˜ |
´1 |
¸, в стандартном базисе. |
|||||||||||
4 |
¸, а вектор ˜5¸ |
|
2 |
||||||||||||||
3. Найти собственные числа и собственные векторы линейного опера-
32
тора, имеющего в некотором базисе матрицу . Сделать проверку.
¨˛
|
“ ˚ |
13 |
2 |
8 |
|
|
|
|
16 |
3 |
10 |
. |
|||
|
18 |
´ |
2 |
10 |
‹ |
|
|
|
˝ |
´ |
|
´ |
‚ |
||
4. В некотором базисе линейные операторы и имеют, соответствен-
но, матрицы “ ˜ |
6 |
2 |
¸ , |
“ ˜ |
1 |
1 |
¸ . Найти базис, состо- |
4 |
4 |
´2 |
0 |
ящий из собственных векторов оператора (новый базис), а также матрицы операторов и в этом базисе.
5.При каких значениях число “ 10 является собственным числом
¨˛
0 ´2
матрицы ˚˝´6 9 ´1‹‚?
´1 8
6.Построить уравнение кривой и указать её тип, если одна из директрис задается уравнением 3 ` 3 ` 1 “ 0, ближайший фокус — в точке p0, 1q, а эксцентриситет равен 2.
7.Найти канонический вид квадратичной формы
4 2 ` 12 ´ 6 ´ 2 ´ 4 ´ 4 2.
8. Дано уравнение кривой второго порядка в системе координат :
2 ` ` 3 ` 2 ` 12 ` 36 “ 0.
Найти канонический базис, каноническую систему координат, каноническое уравнение кривой. Построить кривую в исходной системе координат.
33
Вариант 3
1.Найти базис пространства решений однородной системы линейных уравнений (фундаментальную систему решений)
|
$´17 1 ´ 13 2 ` 23 3 ´ 19 4 ´ 17 5 “ 0, |
|||||||||||||
|
’´7 1 ´ 6 2 ` 5 3 ´ 4 4 ´ 5 5 “ 0, |
|||||||||||||
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
3 2 |
|
3 |
|
|
4 |
5 |
|
0, |
|
||
|
’3 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
’ |
` |
|
` |
|
´ |
|
` |
|
“ |
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’´14 1 ´ 11 2 ` 17 3 ´ 14 4 ´ 13 5 “ 0, |
|||||||||||||
|
’3 1 |
|
2 2 |
|
6 3 |
|
|
5 4 |
|
4 5 0. |
||||
|
’ |
` |
|
´ |
|
|
` |
|
` |
|
|
“ |
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2. Составить матрицу линейного оператора, переводящего вектор ˜´1¸ |
||||||||||||||
в ˜ |
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
´ |
|
6¸, а вектор |
˜´3¸ — в вектор ˜´3¸, в стандартном базисе. |
|||||||||||||
|
´ |
|
´ |
|
|
|
|
|
|
|
´ |
|
|
|
3.Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, имеющего в некотором базисе матрицу . Сделать проверку.
¨˛
|
“ ˚ |
´8 |
´6 |
9 |
‹ |
. |
7 |
7 |
7 |
||||
|
´14 |
´12 |
15 |
|
||
|
˝ |
´ |
´ |
|
‚ |
|
4. В некотором базисе линейные операторы и имеют, соответствен-
но, матрицы “ ˜ |
7 |
8 |
¸ , |
“ ˜ |
0 |
3 |
¸ . Найти базис, состо- |
1 |
5 |
1 |
1 |
ящий из собственных векторов оператора (новый базис), а также матрицы операторов и в этом базисе.
5.При каких значениях число “ ´8 является собственным числом
¨˛
´8 6
матрицы ˚˝ 0 7 ‹‚?
´2 ´1 ´9
6. Построить уравнение кривой и указать её тип, если одна из дирек-
34
трис задается уравнением ´2 ´1 “ 0, ближайший фокус — в точке p´3, 1q, а эксцентриситет равен 1.
7. Найти канонический вид квадратичной формы
4 2 ´ 8 ´ 4 ` 4 2 ` 4 ` 2.
8. Дано уравнение кривой второго порядка в системе координат :
´2 2 ´ 4 ` 16 ` 2 ` 22 ´ 17 “ 0.
Найти канонический базис, каноническую систему координат, каноническое уравнение кривой. Построить кривую в исходной системе координат.
Вариант 4
1.Найти базис пространства решений однородной системы линейных уравнений (фундаментальную систему решений)
$
’´3 3 ` 3 4 “ 0,
’
’
’
’
&´2 1 ` 3 2 ´ 4 4 “ 0,
’´10 1 ´ 5 2 ´ 10 3 ` 12 4 “ 0,
’
’
’
’
%2 1 ` 7 2 ´ 3 ´ 6 4 “ 0.
|
|
|
´9 |
¸ |
2. |
Составить матрицу линейного оператора, переводящего вектор ˜ 6 |
|||
|
9 |
´2 |
3 |
|
|
в ˜ 6¸, а вектор |
˜ 1 ¸ — в вектор |
˜6¸, в стандартном базисе. |
|
|
´ |
|
|
|
3. |
Найти собственные числа и собственные векторы линейного опера- |
|||
35
тора, имеющего в некотором базисе матрицу . Сделать проверку.
|
¨ |
´7 |
´6 |
9 |
˛ |
|
|
“ ˚ |
7 |
6 |
7 |
‹ |
. |
|
´14 |
´12 |
16 |
|
||
|
˝ |
´ |
´ |
|
‚ |
|
4. В некотором базисе линейные операторы |
и имеют, соответствен- |
|||||||
но, матрицы “ ˜ |
3 |
4 |
¸ , |
“ ˜ |
1 |
|
3 |
¸ . Найти базис, состо- |
2 |
1 |
0 |
´ |
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ящий из собственных векторов оператора (новый базис), а также матрицы операторов и в этом базисе.
5.При каких значениях число “ ´5 является собственным числом
¨˛
´8 ´4
матрицы ˚˝´6 ´6 5 ‹‚?
´1 ´8
6.Построить уравнение кривой и указать её тип, если одна из директрис задается уравнением ` ´1 “ 0, ближайший фокус — в точке p´5, 2q, а эксцентриситет равен 4.
7.Найти канонический вид квадратичной формы
´2 2 ` 12 ` 12 ´ 6 2 ´ 4 ´ 6 2.
8. Дано уравнение кривой второго порядка в системе координат :
5 2 ` 6 ` 30 ` 13 2 ` 18 ` 17 “ 0
Найти канонический базис, каноническую систему координат, каноническое уравнение кривой. Построить кривую в исходной системе координат.
36
Вариант 5
1.Найти базис пространства решений однородной системы линейных уравнений (фундаментальную систему решений)
$
’19 1 ´ 11 2 ` 28 3 ´ 3 4 “ 0,
’
’
’
’
&7 1 ´ 5 2 ` 7 3 ´ 8 4 “ 0,
’´18 1 ` 11 2 ´ 21 3 ` 7 4 “ 0,
’
’
’
’
%5 1 ´ 5 2 ` 4 3 ´ 4 4 “ 0.
2. Составить матрицу линейного оператора, переводящего вектор ˜ |
34¸ |
|||
2 |
˜ |
7 |
8 |
´ |
в ˜1¸, а вектор |
9¸ — в вектор |
˜9¸, в стандартном базисе. |
|
|
|
|
´ |
|
|
3.Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, имеющего в некотором базисе матрицу . Сделать проверку.
¨˛
|
“ ˚ |
10 |
18 |
18 |
|
|
|
|
48 |
11 |
12 |
. |
|||
|
´ |
18 |
19 |
‹ |
|
||
|
˝ |
´ |
|
´ |
‚ |
||
4. В некотором базисе линейные операторы и имеют, соответствен-
но, матрицы “ ˜ |
4 |
1 |
¸ , |
“ ˜ |
1 |
0 |
¸ . Найти базис, состо- |
8 |
2 |
´5 |
1 |
ящий из собственных векторов оператора (новый базис), а также матрицы операторов и в этом базисе.
5.При каких значениях число “ ´1 является собственным числом
¨˛
0 0
матрицы ˚˝ 1 ´1‹‚?
´8 9 ´2
6.Построить уравнение кривой и указать её тип, если одна из директрис задается уравнением ´ `5 “ 0, ближайший фокус — в точке p9, 3q, а эксцентриситет равен 2.
37
7. Найти канонический вид квадратичной формы
2 2 ´ 2 ´ 2 ´ 3 2 ` 8 ´ 3 2.
8. Дано уравнение кривой второго порядка в системе координат :
2 2 ´ 10 ´ 32 ` 2 2 ´ 4 ´ 19 “ 0.
Найти канонический базис, каноническую систему координат, каноническое уравнение кривой. Построить кривую в исходной системе координат.
Вариант 6
1.Найти базис пространства решений однородной системы линейных уравнений (фундаментальную систему решений)
$´ 1 ` 11 2 ` 9 3 ` 7 4 ` 6 5 “ 0, |
|
|
||||||||||||||
’´ 1 ` 13 2 ` 10 3 ` 12 4 ` 10 5 “ 0, |
|
|
||||||||||||||
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
2 1 |
|
16 2 |
|
|
12 3 |
|
9 4 |
|
13 5 0, |
|
|
||||
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
’ |
|
` |
|
|
` |
|
` |
|
|
` |
|
|
“ |
|
|
|
’´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’´2 1 ´ 6 2 ´ 4 3 ´ 4 4 ´ 3 5 “ 0, |
|
|
||||||||||||||
’ |
4 1 |
|
6 2 |
|
|
2 3 |
3 4 |
|
7 5 |
|
0. |
|
|
|||
’ |
|
´ |
|
´ |
|
´ |
|
|
´ |
|
|
“ |
|
|
|
|
’´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Составить матрицу линейного оператора, переводящего вектор ˜ |
´5 |
¸ |
||||||||||||||
6 |
||||||||||||||||
6 |
´7 |
|
|
|
|
|
˜ |
0 |
|
|
|
|
|
|
||
в ˜9¸, а вектор ˜ 8 |
¸ — в вектор |
´ |
3¸, в стандартном базисе. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, имеющего в некотором базисе матрицу . Сделать проверку.
¨˛
11 18 18
“ ˚˝ 4 12 12 ‹‚. ´8 ´18 ´18
38
4. В некотором базисе линейные операторы и имеют, соответствен-
но, матрицы “ ˜ |
1 |
|
2 |
¸ , |
“ ˜ |
2 |
1 |
¸ . Найти базис, со- |
4 |
´ |
1 |
0 |
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
´ |
|
стоящий из собственных векторов оператора (новый базис), а также матрицы операторов и в этом базисе.
5.При каких значениях число “ 0 является собственным числом
¨˛
3 5
матрицы ˚˝ ´1 10 ‹‚?
6 ´6 ´1
6.Построить уравнение кривой и указать её тип, если одна из директрис задается уравнением ´3 ´3 “ 0, ближайший фокус — в точке p1, ´2q, а эксцентриситет равен 2.
7.Найти канонический вид квадратичной формы
5 2 ´ 6 ` 6 ` 6 2 ` 8 ` 6 2.
8. Дано уравнение кривой второго порядка в системе координат :
5 2 ´ 14 ` 5 2 ` 12 “ 0.
Найти канонический базис, каноническую систему координат, каноническое уравнение кривой. Построить кривую в исходной системе координат.
Вариант 7
1.Найти базис пространства решений однородной системы линейных уравнений (фундаментальную систему решений)
$
’´3 1 ` 5 2 ` 6 3 ` 3 4 “ 0,
’
’
’
’
&6 1 ´ 3 2 ` 2 3 ´ 6 4 “ 0,
’7 1 ´ 2 ´ 8 3 ´ 7 4 “ 0,
’
’
’
’
%´2 1 ´ 2 ` 3 3 ` 2 4 “ 0.
39
2. Составить матрицу линейного оператора, переводящего вектор ˜ |
´2 |
¸ |
|||||||
6 |
|||||||||
в ˜ |
6 |
˜ |
1 |
˜ |
´7 |
¸, в стандартном базисе. |
|
||
6¸, а вектор |
´ |
4¸ — в вектор |
5 |
|
|||||
|
´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, имеющего в некотором базисе матрицу . Сделать проверку.
|
¨ |
´11 |
´9 |
´7 |
˛ |
|
|
|
“ ˚ |
16 |
18 |
11 |
. |
||
|
12 |
´ |
18 |
9 |
‹ |
|
|
|
˝ |
´ |
|
´ |
‚ |
||
4. В некотором базисе линейные операторы |
и имеют, соответствен- |
||||||
но, матрицы “ ˜ |
3 |
8 |
¸ , “ ˜ |
|
1 |
2 |
¸ . Найти базис, |
´1 |
1 |
´ |
1 |
1 |
|||
|
|
´ |
|
|
|
|
|
состоящий из собственных векторов оператора (новый базис), а также матрицы операторов и в этом базисе.
5.При каких значениях число “ ´4 является собственным числом
¨˛
´8 ´2
матрицы ˚˝ 3 ´5‹‚?
´2 ´6 ´5
6.Построить уравнение кривой и указать её тип, если одна из директрис задается уравнением 3 ` 4 ` 3 “ 0, ближайший фокус — в точке p0, 0q, а эксцентриситет равен 5{2.
7.Найти канонический вид квадратичной формы
´5 2 ` 6 ` 6 ` 6 2 ` 12 ` 6 2.
8. Дано уравнение кривой второго порядка в системе координат :
´3 2 ´ 10 ` 8 ´ 3 2 ` 24 ` 16 “ 0.
Найти канонический базис, каноническую систему координат, каноническое уравнение кривой. Построить кривую в исходной системе координат.
40