Индивидуальные задания по линейной алгебре линейные операторы, квадратичные формы, кривые второго порядка. Учебно-методическое пособие
.pdfтора, имеющего в некотором базисе матрицу . Сделать проверку.
|
|
|
|
¨ |
´1 |
1 |
|
5 |
˛ |
|
|
|
|
“ ˚ |
14 |
14 |
|
15 |
. |
||
|
|
|
16 |
18 |
´13 |
‹ |
|
|||
|
|
|
|
˝ |
|
|
´ |
‚ |
||
4. В некотором базисе линейные операторы |
и имеют, соответствен- |
|||||||||
но, матрицы “ ˜ |
5 |
4 |
¸ , |
“ ˜ |
0 |
|
1 |
¸ . Найти базис, состо- |
||
3 |
1 |
3 |
´ |
1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ящий из собственных векторов оператора (новый базис), а также матрицы операторов и в этом базисе.
5.При каких значениях число “ 3 является собственным числом
¨˛
3 2
матрицы ˚˝ 4 0‹‚?
0 1 2
6.Построить уравнение кривой и указать её тип, если одна из директрис задается уравнением ` ´1 “ 0, ближайший фокус — в точке p´1, ´7q, а эксцентриситет равен 2.
7.Найти канонический вид квадратичной формы
5 2 ´ 12 ´ 12 ` 3 2 ´ 8 ` 3 2.
8. Дано уравнение кривой второго порядка в системе координат :
9 2 ´ 24 ` 16 2 ´ 20 ` 110 ´ 50 “ 0.
Найти канонический базис, каноническую систему координат, каноническое уравнение кривой. Построить кривую в исходной системе координат.
61
Вариант 23
1.Найти базис пространства решений однородной системы линейных уравнений (фундаментальную систему решений)
|
|
$10 1 ` 3 2 ` 3 3 ` 10 4 ` 5 “ 0, |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
’´6 1 ´ 6 2 ´ 3 3 ´ 9 4 “ 0, |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
6 1 |
|
7 2 |
|
2 3 |
|
|
11 4 |
|
5 |
|
0, |
|
|
|||||
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
’ |
|
|
|
|
´ |
|
|
´ |
|
´ |
|
|
` |
|
“ |
|
|
|
|
|
|
’´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’5 1 ` 2 ` 2 3 ` 4 4 ` 5 “ 0, |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
’ 2 |
|
|
3 |
|
2 4 |
5 |
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
’ |
|
´ |
|
|
` |
|
|
´ |
|
“ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Составить матрицу линейного оператора, переводящего вектор ˜ |
´9 |
¸ |
|||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||
в ˜ |
´2 |
¸, а вектор |
˜ |
´5 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
1 |
¸ — в вектор ˜2¸, в стандартном базисе. |
|
||||||||||||||||||
3.Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, имеющего в некотором базисе матрицу . Сделать проверку.
¨˛
|
“ ˚ |
´11 |
´11 |
5 |
‹ |
. |
4 |
6 |
5 |
||||
|
´14 |
´16 |
9 |
|
||
|
˝ |
´ |
´ |
|
‚ |
|
4. В некотором базисе линейные операторы и имеют, соответствен-
но, матрицы “ ˜ |
6 |
3 |
¸ , |
“ ˜ |
1 |
1 |
¸ . Найти базис, состо- |
4 |
2 |
2 |
1 |
ящий из собственных векторов оператора (новый базис), а также матрицы операторов и в этом базисе.
5.При каких значениях число “ 6 является собственным числом
¨˛
0 5
матрицы ˚˝ ´4 6‹‚?
2 2 5
6. Построить уравнение кривой и указать её тип, если одна из дирек-
62
трис задается уравнением ´ ´2 “ 0, ближайший фокус — в точке p0, 4q, а эксцентриситет равен 1.
7. Найти канонический вид квадратичной формы
4 2 ´ 12 ´ 6 ` 2 ´ 4 ` 4 2.
8. Дано уравнение кривой второго порядка в системе координат :
? ?
4 2 ` 12 ` 9 2 ` 3 13 ´ 2 13 ` 26 “ 0.
Найти канонический базис, каноническую систему координат, каноническое уравнение кривой. Построить кривую в исходной системе координат.
Вариант 24
1.Найти базис пространства решений однородной системы линейных уравнений (фундаментальную систему решений)
$
’´6 1 ´ 9 2 ` 3 3 “ 0,
’
’
’
’
&14 1 ´ 14 2 ` 20 3 ´ 20 4 “ 0,
’4 1 ´ 6 2 ` 7 3 ´ 7 4 “ 0,
’
’
’
’
%´2 1 ´ 3 2 ` 3 “ 0.
|
|
|
5 |
2. Составить матрицу линейного оператора, переводящего вектор ˜´6¸ |
|||
в ˜ |
|
|
´ |
7 |
6 |
8 |
|
6¸, а вектор |
˜7¸ — в вектор |
˜1¸, в стандартном базисе. |
|
|
´ |
|
|
3. Найти собственные числа и собственные векторы линейного опера-
63
тора, имеющего в некотором базисе матрицу . Сделать проверку.
|
|
|
|
¨ |
´3 |
1 |
|
5 |
˛ |
|
|
|
|
“ ˚ |
14 |
12 |
|
15 |
. |
||
|
|
|
16 |
18 |
´15 |
‹ |
|
|||
|
|
|
|
˝ |
|
|
´ |
‚ |
||
4. В некотором базисе линейные операторы |
и имеют, соответствен- |
|||||||||
но, матрицы “ ˜ |
7 |
2 |
¸ , |
“ ˜ |
0 |
|
2 |
¸ . Найти базис, состо- |
||
6 |
3 |
1 |
´ |
1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ящий из собственных векторов оператора (новый базис), а также матрицы операторов и в этом базисе.
5.При каких значениях число “ ´4 является собственным числом
¨˛
5´2
матрицы ˚˝ 1 4 ‹‚?
´8 ´6 ´5
6.Построить уравнение кривой и указать её тип, если одна из директрис задается уравнением ` `1 “ 0, ближайший фокус — в точке p0, 5q, а эксцентриситет равен 1.
7.Найти канонический вид квадратичной формы
´5 2 ´ 12 ` 12 ` 4 2 ` 6 ` 4 2.
8. Дано уравнение кривой второго порядка в системе координат :
2 ´ 6 ` 9 2 ` ?10 ` 7?10 ´ 20 “ 0.
Найти канонический базис, каноническую систему координат, каноническое уравнение кривой. Построить кривую в исходной системе координат.
64
Вариант 25
1.Найти базис пространства решений однородной системы линейных уравнений (фундаментальную систему решений)
$
’8 1 ` 8 2 ´ 20 3 ´ 6 4 “ 0,
’
’
’
’
&´3 1 ´ 15 2 ` 18 3 ` 9 4 “ 0,
’´7 1 ´ 6 2 ` 13 3 ` 2 4 “ 0,
’
’
’
’
%´5 1 ´ 2 2 ` 2 3 ` 2 4 “ 0.
2. Составить матрицу линейного оператора, переводящего вектор ˜ |
47¸ |
|||
в ˜ |
´5 |
3 |
9 |
´ |
1 |
¸, а вектор ˜´5¸ — в вектор |
˜´8¸, в стандартном базисе. |
||
3.Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, имеющего в некотором базисе матрицу . Сделать проверку.
¨˛
|
“ ˚ |
´3 |
´0 |
´2 |
|
. |
18 |
6 |
12 |
||||
|
´14 |
7 |
´ 9 |
‹ |
|
|
|
˝ |
´ |
|
´ |
‚ |
|
4. В некотором базисе линейные операторы и имеют, соответствен-
но, матрицы “ ˜ |
7 |
3 |
¸ , |
“ ˜ |
1 |
0 |
¸ . Найти базис, состо- |
4 |
3 |
1 |
1 |
ящий из собственных векторов оператора (новый базис), а также матрицы операторов и в этом базисе.
5.При каких значениях число “ ´2 является собственным числом
¨˛
´1 ´7
матрицы ˚˝ ´2 2 ‹‚?
´9 ´2 ´3
6.Построить уравнение кривой и указать её тип, если одна из директрис задается уравнением 7 ´ ´1 “ 0, ближайший фокус — в точке p´1, ´1q, а эксцентриситет равен 5{2.
65
7. Найти канонический вид квадратичной формы
2 ` 6 ´ 6 ` 6 2 ´ 4 ` 6 2.
8. Дано уравнение кривой второго порядка в системе координат :
9 2 ` 24 ` 16 2 ´ 90 ` 5 ´ 125 “ 0.
Найти канонический базис, каноническую систему координат, каноническое уравнение кривой. Построить кривую в исходной системе координат.
Вариант 26
1.Найти базис пространства решений однородной системы линейных уравнений (фундаментальную систему решений)
$
’´14 1 ` 21 2 ´ 20 3 ` 5 4 “ 0,
’
’
’
’
&´7 1 ´ 2 2 ` 5 3 ` 5 4 “ 0,
’´5 2 ` 6 3 ` 4 “ 0,
’
’
’
’
%´12 1 ` 2 ` 4 3 ` 8 4 “ 0.
2. Составить матрицу линейного оператора, переводящего вектор ˜ |
´4 |
¸ |
||||
4 |
||||||
4 |
˜ |
2 |
8 |
|
|
|
в ˜´4¸, а вектор |
´ |
1¸ — в вектор |
˜9¸, в стандартном базисе. |
|
||
´ |
|
|
|
|
|
|
3.Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, имеющего в некотором базисе матрицу . Сделать проверку.
¨˛
|
“ ˚ |
2 |
0 |
2 |
‹ |
|
|
18 |
7 |
12 |
. |
||
|
14 |
´7 |
8 |
|
||
|
˝ |
|
´ |
|
‚ |
|
4. В некотором базисе линейные операторы и имеют, соответствен-
66
но, матрицы “ ˜ |
8 |
2 |
¸ , |
“ ˜ |
2 |
1 |
¸ . Найти базис, состо- |
6 |
4 |
´0 |
1 |
ящий из собственных векторов оператора (новый базис), а также матрицы операторов и в этом базисе.
5.При каких значениях число “ 10 является собственным числом
¨˛
2 2
матрицы ˚˝ ´2 0‹‚?
4 0 9
6.Построить уравнение кривой и указать её тип, если одна из директрис задается уравнением ` ´1 “ 0, ближайший фокус — в точке p1, 3q, а эксцентриситет равен 1.
7.Найти канонический вид квадратичной формы
´2 2 ´ 6 ´ 6 ` 2 ´ 12 ` 2.
8. Дано уравнение кривой второго порядка в системе координат :
? ?
4 2 ` 4 ` 2 ´ 7 5 ` 4 5 ´ 25 “ 0.
Найти канонический базис, каноническую систему координат, каноническое уравнение кривой. Построить кривую в исходной системе координат.
Вариант 27
1.Найти базис пространства решений однородной системы линейных уравнений (фундаментальную систему решений)
$
’2 1 ` 9 3 ` 4 4 ` 8 5 “ 0,
’
’
’
’
&´ 1 ` 2 2 ` 3 ´ 4 ´ 3 5 “ 0,
’´2 1 ´ 2 2 ´ 17 3 ´ 4 4 ´ 8 5 “ 0,
’
’
’
’
%2 2 ` 3 3 ` 2 4 ` 2 5 “ 0.
67
2. Составить матрицу линейного оператора, переводящего вектор ˜ |
52¸ |
||||||
9 |
˜ |
´2 |
¸ — в вектор |
˜ |
6 |
´ |
|
в ˜0¸, а вектор |
1 |
´ |
4¸, в стандартном базисе. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, имеющего в некотором базисе матрицу . Сделать проверку.
“ |
¨ |
0 |
´7 |
´1 |
˛ |
|
˚ |
4 |
´4 |
´2 |
. |
||
|
14 |
1 |
5 |
‹ |
|
|
|
˝ |
´ |
|
|
‚ |
|
4. В некотором базисе линейные операторы и имеют, соответствен-
но, матрицы “ ˜ |
8 |
3 |
¸ , |
“ ˜ |
0 |
1 |
¸ . Найти базис, состо- |
4 |
4 |
´1 |
1 |
ящий из собственных векторов оператора (новый базис), а также матрицы операторов и в этом базисе.
5.При каких значениях число “ 3 является собственным числом
¨˛
8 0
матрицы ˚˝10 2 2 ‹‚?
1 ´4
6.Построить уравнение кривой и указать её тип, если одна из директрис задается уравнением 4 ` 3 ´ 1 “ 0, ближайший фокус — в точке p2, 3q, а эксцентриситет равен 5.
7.Найти канонический вид квадратичной формы
´4 2 ` 4 ` 8 ` 3 2 ´ 8 ´ 3 2.
8. Дано уравнение кривой второго порядка в системе координат :
? ?
2 2 ` 8 ` 8 2 ` 16 5 ` 2 5 ´ 20 “ 0.
Найти канонический базис, каноническую систему координат, каноническое уравнение кривой. Построить кривую в исходной системе координат.
68
Вариант 28
1.Найти базис пространства решений однородной системы линейных уравнений (фундаментальную систему решений)
$
’5 1 ` 11 2 ` 10 3 ´ 5 4 “ 0,
’
’
’
’
&10 1 ` 4 2 ` 10 3 ´ 10 4 “ 0,
’´8 1 ` 4 2 ´ 4 3 ` 8 4 “ 0,
’
’
’
’
%11 1 ´ 10 2 ` 3 3 ´ 11 4 “ 0.
|
|
|
0 |
2. Составить матрицу линейного оператора, переводящего вектор ˜1¸ |
|||
в ˜ |
9 |
1 |
2 |
1¸, а вектор |
˜0¸ — в вектор |
˜´1¸, в стандартном базисе. |
|
|
´ |
|
´ |
3.Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, имеющего в некотором базисе матрицу . Сделать проверку.
¨˛
3´1 ´1
“ |
˚ |
´4 |
5 |
2 |
. |
||
|
18 |
´ |
17 |
8 |
‹ |
|
|
|
˝ |
|
|
´ |
‚ |
||
4. В некотором базисе линейные операторы |
и имеют, соответствен- |
||||||
но, матрицы “ ˜ |
1 |
2 |
¸ , “ ˜ |
|
1 |
0 |
¸ . Найти базис, |
´6 |
5 |
´ |
1 |
3 |
|||
|
|
´ |
|
|
|
|
|
состоящий из собственных векторов оператора (новый базис), а также матрицы операторов и в этом базисе.
5.При каких значениях число “ ´7 является собственным числом
¨˛
3 8
матрицы ˚˝´2 ´8 ´2‹‚?
´2 4
6.Построить уравнение кривой и указать её тип, если одна из директрис задается уравнением `2 ´1 “ 0, ближайший фокус — в точке p´1, 2q, а эксцентриситет равен 1.
69
7. Найти канонический вид квадратичной формы
´ 2 ` 12 ´ 6 ´ 4 2 ` 4 ´ 2.
8. Дано уравнение кривой второго порядка в системе координат :
2 2 ´ 12 ` 18 2 ` ?10 ´ 13?10 ´ 10 “ 0.
Найти канонический базис, каноническую систему координат, каноническое уравнение кривой. Построить кривую в исходной системе координат.
Вариант 29
1.Найти базис пространства решений однородной системы линейных уравнений (фундаментальную систему решений)
$
’7 1 ´ 15 2 ` 12 3 ` 11 4 ´ 10 5 “ 0,
’
’
’
’
&´9 1 ´ 15 2 ` 6 3 ` 13 4 ´ 27 5 “ 0,
’´7 1 ´ 3 2 ` 4 4 ´ 12 5 “ 0,
’
’
’
’
%´2 1 ` 6 2 ´ 6 3 ´ 6 4 ` 7 5 “ 0.
|
|
|
2 |
2. Составить матрицу линейного оператора, переводящего вектор ˜´4¸ |
|||
в ˜ |
´8 |
|
´ |
1 |
2 |
||
8 |
¸, а вектор ˜3¸ — в вектор |
˜9¸, в стандартном базисе. |
|
3.Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, имеющего в некотором базисе матрицу . Сделать проверку.
¨˛
“ |
˚ |
13 |
2 |
´8 |
|
|
´2 |
3 |
2 |
. |
|||
|
17 |
4 |
10 |
‹ |
|
|
|
˝ |
|
|
´ |
‚ |
|
70