Индивидуальные задания по линейной алгебре линейные операторы, квадратичные формы, кривые второго порядка. Учебно-методическое пособие
.pdfтора, имеющего в некотором базисе матрицу . Сделать проверку.
|
|
¨ |
3 |
´4 |
1 |
˛ . |
|
“ |
˚ |
´7 |
6 |
´6 |
‹ |
|
´ |
´ |
5 |
|||
|
|
10 |
10 |
|||
|
|
˝ |
|
|
|
‚ |
4. В некотором базисе линейные операторы и имеют, соответствен-
но, матрицы “ ˜ |
8 |
1 |
¸ , |
“ ˜ |
1 |
3 |
¸ . Найти базис, состо- |
7 |
2 |
0 |
2 |
ящий из собственных векторов оператора (новый базис), а также матрицы операторов и в этом базисе.
5.При каких значениях число “ 4 является собственным числом
¨˛
6´9
матрицы ˚˝ 4 4 ‹‚?
´7 ´2 3
6.Построить уравнение кривой и указать её тип, если одна из директрис задается уравнением ´ ´3 “ 0, ближайший фокус — в точке p1, ´1q, а эксцентриситет равен 1{2.
7.Найти канонический вид квадратичной формы
2 ` 8 ´ 6 ` 2 ´ 6 ` 2 2.
8. Дано уравнение кривой второго порядка в системе координат :
2 2 ´ 4 ` 12 ´ 2 ` 18 “ 0.
Найти канонический базис, каноническую систему координат, каноническое уравнение кривой. Построить кривую в исходной системе координат.
51
Вариант 16
1.Найти базис пространства решений однородной системы линейных уравнений (фундаментальную систему решений)
$
’´8 1 ` 8 2 ` 9 3 ´ 29 4 “ 0,
’
’
’
’
&5 1 ´ 6 2 ´ 8 3 ` 16 4 “ 0,
’´2 1 ` 17 2 ` 3 3 ´ 20 4 “ 0,
’
’
’
’
%´3 1 ` 9 2 ` 6 3 ´ 11 4 “ 0.
|
|
|
|
|
2 |
2. Составить матрицу линейного оператора, переводящего вектор ˜´1¸ |
|||||
|
˜ |
|
˜ |
|
´ |
7 |
2 |
7 |
|||
в ˜9¸, а вектор |
1¸ — в вектор |
´ |
3¸, в стандартном базисе. |
||
|
|
´ |
|
|
|
3.Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, имеющего в некотором базисе матрицу . Сделать проверку.
¨˛
|
“ ˚ |
7 |
11 |
´15 |
‹ |
. |
8 |
11 |
6 |
||||
|
8 |
´17 |
12 |
|
||
|
˝ |
|
´ |
|
‚ |
|
4. В некотором базисе линейные операторы и имеют, соответствен-
но, матрицы “ ˜ |
9 |
1 |
¸ , |
“ ˜ |
1 |
1 |
¸ . Найти базис, состо- |
7 |
3 |
2 |
´0 |
ящий из собственных векторов оператора (новый базис), а также матрицы операторов и в этом базисе.
5.При каких значениях число “ 9 является собственным числом
¨˛
´8 ´9
матрицы ˚˝ 5 2 ‹‚?
´8 2 8
6.Построить уравнение кривой и указать её тип, если одна из директрис задается уравнением ´3 ´4 “ 0, ближайший фокус — в точке p0, ´1q, а эксцентриситет равен 2.
52
7. Найти канонический вид квадратичной формы
´5 2 ` 12 ` 12 ´ 4 2 ` 10 ´ 4 2.
8. Дано уравнение кривой второго порядка в системе координат :
´ ´ 5 ´ 7 ´ 34 “ 0.
Найти канонический базис, каноническую систему координат, каноническое уравнение кривой. Построить кривую в исходной системе координат.
Вариант 17
1.Найти базис пространства решений однородной системы линейных уравнений (фундаментальную систему решений)
|
$´6 1 ´ 7 3 ´ 2 4 ´ 3 5 “ 0, |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
’12 1 ´ 3 2 ` 14 3 ` 4 ` 3 5 “ 0, |
|
|
|||||||||||||||
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
7 2 |
|
7 3 |
|
7 4 |
5 |
|
|
|
0, |
|
|
|
|||
|
’ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
’ |
´ |
|
|
´ |
|
|
´ |
|
|
´ |
|
“ |
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’´16 1 ´ 2 ´ 19 3 ´ 6 4 ´ 6 5 “ 0, |
|
||||||||||||||||
|
’17 1 |
|
7 2 |
|
28 3 |
|
13 4 |
|
|
10 5 |
|
0. |
|
|||||
|
’ |
|
` |
|
|
` |
|
|
|
` |
|
` |
|
|
“ |
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Составить матрицу линейного оператора, переводящего вектор ˜ |
44¸ |
|||||||||||||||||
в ˜ |
8 |
˜ |
´4 |
|
|
|
|
|
|
´4 |
|
|
|
|
´ |
|||
4¸, а вектор |
3 |
¸ — в вектор ˜ 0 |
¸, в стандартном базисе. |
|||||||||||||||
|
´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, имеющего в некотором базисе матрицу . Сделать проверку.
¨˛
|
“ ˚ |
4 |
6 |
´9 |
‹ |
. |
6 |
11 |
6 |
||||
|
6 |
´14 |
9 |
|
||
|
˝ |
|
´ |
|
‚ |
|
53
4. В некотором базисе линейные операторы и имеют, соответствен-
но, матрицы “ ˜ |
2 |
1 |
¸ , |
“ ˜ |
4 |
0 |
¸ . Найти базис, со- |
´7 |
´8 |
1 |
2 |
стоящий из собственных векторов оператора (новый базис), а также матрицы операторов и в этом базисе.
5.При каких значениях число “ ´7 является собственным числом
¨˛
´1 ´6
матрицы ˚˝ ´7 0 ‹‚?
0´1 ´8
6.Построить уравнение кривой и указать её тип, если одна из директрис задается уравнением 2 ` 2 ` 1 “ 0, ближайший фокус — в точке p3, ´1q, а эксцентриситет равен 2.
7.Найти канонический вид квадратичной формы
6 2 ´ 6 ´ 6 ´ 4 2 ` 6 ´ 4 2.
8. Дано уравнение кривой второго порядка в системе координат :
´ 2 ´ 4 ` 12 ´ 2 ` 12 ´ 18 “ 0.
Найти канонический базис, каноническую систему координат, каноническое уравнение кривой. Построить кривую в исходной системе координат.
Вариант 18
1.Найти базис пространства решений однородной системы линейных уравнений (фундаментальную систему решений)
$
’ 1 ` 8 2 ` 13 3 ` 16 4 “ 0,
’
’
’
’
&6 1 ´ 2 ` 4 3 ` 3 4 “ 0,
’´ 1 ` 4 2 ` 5 3 ` 6 4 “ 0,
’
’
’
’
%2 1 ` 3 2 ` 6 3 ` 5 4 “ 0.
54
2. Составить матрицу линейного оператора, переводящего вектор ˜ |
´7 |
¸ |
||||
8 |
||||||
в ˜ |
37¸, а вектор ˜ |
1 |
1 |
|
|
|
´ |
1¸ — в вектор |
˜8¸, в стандартном базисе. |
|
|||
|
´ |
|
|
|
|
|
3.Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, имеющего в некотором базисе матрицу . Сделать проверку.
|
¨ |
´15 |
´3 |
15 |
˛ |
|
“ |
˚ |
9 |
´7 |
´15 |
‹ |
. |
|
13 |
3 |
17 |
|
||
|
˝ |
´ |
|
|
‚ |
|
4. В некотором базисе линейные операторы |
и имеют, соответствен- |
||||||
но, матрицы “ ˜ |
3 |
7 |
¸ , “ ˜ |
3 |
|
1 |
¸ . Найти базис, |
´1 |
9 |
0 |
´ |
1 |
|||
|
|
´ |
|
|
|
|
|
состоящий из собственных векторов оператора (новый базис), а также матрицы операторов и в этом базисе.
5.При каких значениях число “ 8 является собственным числом
¨˛
6 2
матрицы ˚˝ ´4 ´4‹‚?
0 ´4 7
6.Построить уравнение кривой и указать её тип, если одна из директрис задается уравнением 3 ` 3 ` 1 “ 0, ближайший фокус — в точке p´2, 4q, а эксцентриситет равен 3.
7.Найти канонический вид квадратичной формы
5 2 ` 6 ` 6 ` 6 2 ´ 8 ` 6 2.
8. Дано уравнение кривой второго порядка в системе координат :
´5 2 ´ 12 ` 18 ` 36 ` 27 “ 0.
Найти канонический базис, каноническую систему координат, каноническое уравнение кривой. Построить кривую в исходной системе координат.
55
Вариант 19
1.Найти базис пространства решений однородной системы линейных уравнений (фундаментальную систему решений)
$´3 1 ` 3 2 ` 3 3 ´ 3 5 “ 0, |
|
|
|
|
|
|||||||||||
’9 1 ´ 12 2 ` 6 3 ` 6 4 ` 6 5 “ 0, |
|
|
|
|||||||||||||
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
3 2 |
|
5 3 |
|
|
8 4 |
|
5 |
|
0, |
|
|
|
|
’ 3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
’ |
` |
|
´ |
|
´ |
|
|
` |
|
“ |
|
|
|
|
||
’´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’2 3 ` 2 4 ´ 5 “ 0, |
|
|
14 4 |
|
11 5 0. |
|
|
|||||||||
’18 1 |
|
25 2 |
|
17 3 |
|
|
|
|
|
|||||||
’ |
´ |
|
|
` |
|
|
` |
|
|
` |
|
|
“ |
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Составить матрицу линейного оператора, переводящего вектор ˜ |
´6 |
¸ |
||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||
8 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
´2 |
|
|
|
|
|
||
в ˜´4¸, а вектор ˜ |
1¸ — в вектор |
˜ 8 |
¸, в стандартном базисе. |
|
||||||||||||
´ |
´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, имеющего в некотором базисе матрицу . Сделать проверку.
|
¨ |
´16 |
´3 |
15 |
˛ |
|
“ |
˚ |
9 |
´8 |
´15 |
‹ |
. |
|
13 |
3 |
16 |
|
||
|
˝ |
´ |
|
|
‚ |
|
4. В некотором базисе линейные операторы |
и имеют, соответствен- |
|||||||
но, матрицы “ ˜ |
5 |
2 |
¸ , |
“ ˜ |
1 |
|
3 |
¸ . Найти базис, состо- |
6 |
1 |
0 |
´ |
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ящий из собственных векторов оператора (новый базис), а также матрицы операторов и в этом базисе.
5.При каких значениях число “ 0 является собственным числом
¨˛
´8 ´6
матрицы ˚˝´4 ´1 0‹‚?
´1 0
6.Построить уравнение кривой и указать её тип, если одна из дирек-
56
трис задается уравнением ´2 `2 “ 0, ближайший фокус — в точке p´2, ´1q, а эксцентриситет равен 1.
7. Найти канонический вид квадратичной формы
´2 2 ´ 6 ´ 6 ´ 2 ` 4 ´ 2.
8. Дано уравнение кривой второго порядка в системе координат :
´2 ´ 14 ` 9 “ 0.
Найти канонический базис, каноническую систему координат, каноническое уравнение кривой. Построить кривую в исходной системе координат.
Вариант 20
1.Найти базис пространства решений однородной системы линейных уравнений (фундаментальную систему решений)
$
’4 1 ´ 5 2 ` 4 4 ´ 4 5 “ 0,
’
’
’
’
&9 1 ´ 9 2 ´ 3 ` 8 4 ´ 7 5 “ 0,
’11 1 ´ 7 2 ´ 3 3 ` 8 4 ´ 5 5 “ 0,
’
’
’
’
%´ 1 ` 8 2 ´ 3 3 ´ 4 4 ` 7 5 “ 0.
2. Составить матрицу линейного оператора, переводящего вектор ˜ |
´1 |
¸ |
|||||
2 |
|||||||
9 |
˜ |
5 |
˜ |
6 |
|
|
|
в ˜8¸, а вектор |
9¸ — в вектор |
´ |
5¸, в стандартном базисе. |
|
|||
|
|
´ |
|
|
|
|
|
3. Найти собственные числа и собственные векторы линейного опера-
57
тора, имеющего в некотором базисе матрицу . Сделать проверку.
¨˛
|
“ ˚ |
1 |
´6 |
6 |
|
. |
3 |
8 |
3 |
||||
|
´6 |
18 |
´9 |
‹ |
|
|
|
˝ |
´ |
|
´ |
‚ |
|
4. В некотором базисе линейные операторы и имеют, соответствен-
но, матрицы “ ˜ |
5 |
3 |
¸ , |
“ ˜ |
1 |
2 |
¸ . Найти базис, состо- |
4 |
1 |
´1 |
0 |
ящий из собственных векторов оператора (новый базис), а также матрицы операторов и в этом базисе.
5.При каких значениях число “ ´4 является собственным числом
¨˛
0 ´1
матрицы ˚˝ ´7 0 ‹‚?
5 2 ´5
6.Построить уравнение кривой и указать её тип, если одна из директрис задается уравнением `7 ´1 “ 0, ближайший фокус — в точке p0, 0q, а эксцентриситет равен 1.
7.Найти канонический вид квадратичной формы
´4 2 ` 12 ´ 12 ´ 2 2 ´ 8 ´ 2 2.
8. Дано уравнение кривой второго порядка в системе координат :
´ 2 ´ 6 ´ 16 ´ 2 ´ 32 ´ 40 “ 0.
Найти канонический базис, каноническую систему координат, каноническое уравнение кривой. Построить кривую в исходной системе координат.
58
Вариант 21
1.Найти базис пространства решений однородной системы линейных уравнений (фундаментальную систему решений)
$ 1 ´ 3 2 ´ 5 3 ´ 6 4 ` 6 5 “ 0, |
|
|
||||||||||
’´2 1 ` 6 2 ` 5 3 ´ 3 4 ` 3 5 “ 0, |
|
|||||||||||
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
24 2 |
|
23 3 |
|
3 4 |
|
3 5 |
|
0, |
|
|
’8 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
’ |
´ |
|
´ |
|
` |
|
´ |
|
“ |
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
||||||
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’3 1 ´ 9 2 ´ 10 3 ´ 3 4 ` 3 5 “ 0, |
|
|||||||||||
’7 1 |
|
21 2 |
|
18 3 |
|
9 4 |
|
9 5 |
|
0. |
|
|
’ |
´ |
|
´ |
|
` |
|
´ |
|
“ |
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
||||||
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Составить матрицу линейного оператора, переводящего вектор ˜ |
14¸ |
|||||||||||
1 |
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
´ |
в ˜1¸, а вектор |
˜2¸ — в вектор ˜´4¸, в стандартном базисе. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
´ |
|
|
|
|
|
|
3.Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, имеющего в некотором базисе матрицу . Сделать проверку.
“ |
¨ |
5 |
´2 |
1 |
˛ |
|
˚ |
10 |
´5 |
3 |
. |
||
|
10 |
2 |
0 |
‹ |
|
|
|
˝ |
´ |
|
|
‚ |
|
4. В некотором базисе линейные операторы и имеют, соответствен-
но, матрицы “ ˜ |
5 |
6 |
¸ , |
“ ˜ |
2 |
0 |
¸ . Найти базис, состо- |
2 |
1 |
´1 |
1 |
ящий из собственных векторов оператора (новый базис), а также матрицы операторов и в этом базисе.
5.При каких значениях число “ 9 является собственным числом
¨˛
7 ´2
матрицы ˚˝´8 8 ´5‹‚?
1 9
6. Построить уравнение кривой и указать её тип, если одна из дирек-
59
трис задается уравнением ´ `1 “ 0, ближайший фокус — в точке p´3, ´2q, а эксцентриситет равен 3.
7. Найти канонический вид квадратичной формы
4 2 ´ 12 ` 6 ` 5 2 ´ 12 ´ 4 2.
8. Дано уравнение кривой второго порядка в системе координат :
4 2 ´ 4 ` 2 ´ 2 ´ 14 ` 7 “ 0.
Найти канонический базис, каноническую систему координат, каноническое уравнение кривой. Построить кривую в исходной системе координат.
Вариант 22
1.Найти базис пространства решений однородной системы линейных уравнений (фундаментальную систему решений)
$
’´8 1 ´ 10 3 ` 8 4 “ 0,
’
’
’
’
&9 1 ` 2 ` 9 3 ´ 12 4 “ 0,
’´6 1 ´ 2 2 ´ 3 3 ` 12 4 “ 0,
’
’
’
’
%2 1 ` 2 2 ´ 2 3 ´ 8 4 “ 0.
˜ ¸
2. Составить матрицу линейного оператора, переводящего вектор 5
6
3 |
4 |
4 |
в ˜´3¸, а вектор |
˜´5¸ — в вектор |
˜´3¸, в стандартном базисе. |
´ |
´ |
´ |
3. Найти собственные числа и собственные векторы линейного опера-
60