Индивидуальные задания по линейной алгебре линейные операторы, квадратичные формы, кривые второго порядка. Учебно-методическое пособие
.pdf
4. В некотором базисе линейные операторы и имеют, соответствен-
но, матрицы “ ˜ |
2 |
3 |
¸ , |
“ ˜ |
0 |
|
1 |
¸ . Найти базис, |
´4 |
6 |
2 |
´ |
1 |
||||
|
|
´ |
|
|
|
|
|
состоящий из собственных векторов оператора (новый базис), а также матрицы операторов и в этом базисе.
5. При каких значениях число “ 7 является собственным числом
¨ ˛
1 2
матрицы ˚˝ 6 0‹‚?
6 ´4 6
6.Построить уравнение кривой и указать её тип, если одна из директрис задается уравнением ` ´1 “ 0, ближайший фокус — в точке p1, 4q, а эксцентриситет равен 2.
7.Найти канонический вид квадратичной формы
´ 2 ` 4 ` 4 ´ 2 2 ` 6 ´ 2 2.
8. Дано уравнение кривой второго порядка в системе координат :
? ?
3 2 ´ 12 ` 12 2 ´ 24 5 ` 18 5 ´ 30 “ 0.
Найти канонический базис, каноническую систему координат, каноническое уравнение кривой. Построить кривую в исходной системе координат.
71
Вариант 30
1.Найти базис пространства решений однородной системы линейных уравнений (фундаментальную систему решений)
$´3 1 ` 9 2 ` 15 4 ´ 12 5 “ 0, |
|
|
|
||||||||||
’´2 1 ` 3 2 ´ 4 3 ` 15 4 ´ 9 5 “ 0, |
|
||||||||||||
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
4 1 |
|
2 2 |
|
6 3 |
|
4 4 |
|
10 5 |
|
0, |
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
’ |
|
` |
|
` |
|
` |
|
´ |
|
|
“ |
|
|
’´ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’´ 1 ` 2 2 ` 5 3 ´ 5 5 “ 0, |
|
0. |
|
|
|||||||||
’ |
4 1 |
|
3 2 |
|
6 3 |
|
7 4 |
|
5 |
|
|
|
|
’ |
|
´ |
|
` |
|
´ |
|
´ |
|
“ |
|
|
|
’´ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Составить матрицу линейного оператора, переводящего вектор ˜ |
11¸ |
||||||||||||
5 |
0 |
|
|
|
|
´2 |
|
|
|
|
|
´ |
|
в ˜7¸, а вектор |
˜2¸ |
— в вектор ˜ |
6 ¸, в стандартном базисе. |
|
|||||||||
3.Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, имеющего в некотором базисе матрицу . Сделать проверку.
|
¨ |
10 |
2 |
´8 |
˛ |
|
“ |
˚ |
´2 |
0 |
2 |
. |
|
|
17 |
4 |
13 |
‹ |
|
|
|
˝ |
|
|
´ |
‚ |
|
4. В некотором базисе линейные операторы |
и имеют, соответствен- |
||||||
но, матрицы “ ˜ |
4 |
2 |
¸ , “ ˜ |
|
1 |
0 |
¸ . Найти базис, |
´6 |
8 |
´ |
1 |
1 |
|||
|
|
´ |
|
|
|
|
|
состоящий из собственных векторов оператора (новый базис), а также матрицы операторов и в этом базисе.
5. При каких значениях число “ ´6 является собственным числом
матрицы |
¨ |
2 |
2 |
˛? |
|
|
6 |
|
´4 |
|
|
|
˚8 |
´ |
4 |
7‹ |
|
|
˝ |
|
´ |
‚ |
|
72
6.Построить уравнение кривой и указать её тип, если одна из директрис задается уравнением 2 ` `2 “ 0, ближайший фокус — в точке p´2, ´1q, а эксцентриситет равен 1.
7.Найти канонический вид квадратичной формы
5 2 ` 6 ` 6 ` 6 2 ´ 8 ` 6 2.
8. Дано уравнение кривой второго порядка в системе координат :
? ?
3 2 ´ 18 ` 27 2 ` 21 10 ´ 33 10 ` 120 “ 0.
Найти канонический базис, каноническую систему координат, каноническое уравнение кривой. Построить кривую в исходной системе координат.
73
Библиографический список
1.Ивлева, А. М. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия : учеб. пособие / А. М. Ивлева, П. И. Прилуцкая, И. Д. Черных. — Изд. 5-е, испр. и доп. — Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2019. — 183 с.
2. |
Ивлева, А. М. Основы алгебры и аналитической геометрии : учебник |
|
/ А. М. Ивлева, А. Г. Пинус, А. В. Чехонадских. — Изд. 2-е. перераб. — |
|
Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2021. — 286 с. |
3. |
Ивлева, А. М. Готовимся к контрольной работе : учеб. пособие / |
|
А. М.Ивлева, Л. В. Ковалевская, И. Д. Черных. — 2-е изд. — Новоси- |
|
бирск : Изд-во НГТУ, 2015. — 172 с. |
74
Содержание
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
3 |
Решение задач нулевого варианта . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
5 |
Индивидуальные задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
31 |
Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
74 |
Гайдов Юрий Александрович Захаров Антон Станиславович Ивлева Ася Михайловна Семенко Татьяна Ивановна
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ
Линейные операторы,
квадратичные формы,
кривые второго порядка
Уч е б н о - м е т о д и ч е с к о е п о с о б и е
Вавторской редакции
Выпускающий редактор И. П. Брованова Дизайн обложки А. В. Ладыжская Компьютерная верстка А. С. Захаров
Налоговая льгота — общероссийский классификатор продукции Издание соответствует коду 95 3000 ОК 005-93 (ОКП)
Подписано в печать 22.08.2022. Формат 60×84/16. Бумага офсетная. Гарнитура Computer Modern Roman. Уч.-изд. л. 4,41. Печ. л. 4,75.
Тираж 100 экз. Изд. № 146. Заказ № 225.
Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета
630073, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20