Индивидуальные задания по линейной алгебре линейные операторы, квадратичные формы, кривые второго порядка. Учебно-методическое пособие

рицу:

˜¸

Найдем собственные числа матрицы:

ˇˇ

ˇ´4 ´3 ´ ˇ

Получаем уравнение

2 ´ 25 “ 0.

Его корни 1 “ 5, 2 “ ´5 и есть собственные числа.

Для каждого собственного числа найдем по одному собственному вектору (см. задачу 4). Для 1 “ 5 получим собственный вектор

лее, в отличие от задачи 4, нормируем эти векторы, то есть умножим их на величину, обратную модулю вектора. Получим:

Векторы ¯1 и ¯2 и образуют канонический базис для квадратичной части уравнения кривой второго порядка. В этом случае матрица пе-

Вектор ¯1 определяет новую ось 1 1, вектор ¯2 — ось 1 1. Заметим, что 1 совпадает с .

21

Выразим , через 1, 1 с помощью матрицы по формуле

ˆ˙

55

Как видим, коэффициенты при 12 и 12 совпадают с собственными числами 1 “ 5 и 2 “ ´5. Если замена переменных сделана правильно, квадратичная часть уравнения превращается в сумму квадратов, коэффициентами при которых служат собственные числа симметрической матрицы квадратичной части.

Система 1 1 1 получилась из системы , когда мы от бази-

са ¯ ¯ перешли к базису . Как было замечено выше, ось 1 1 t , u t¯1, ¯2u

определяется вектором ¯1, ось 1 1 — вектором ¯2. Поскольку новые

22

оси 1 1 и 1 1 параллельны осям симметрии кривой, в уравнении исчез член с произведением переменных 1 1.

Теперь уравнение можно привести к каноническому виду выделением полных квадратов по каждой переменной. Для этого группируем члены с переменными 1 и 1, выносим за скобки коэффициенты при 12, 12 и внутри скобок прибавляем и отнимаем квадраты половины коэффициента при 1 и 1, тем самым получаем полные квадраты, после чего раскрываем скобки.

Сократив на общий множитель и перенеся свободный член, получим:

Введем новые переменные:

В новых переменных уравнение примет вид:

´ 22 ` 22 “ 1.

Это есть уравнение гиперболы, которая пересекает ось 2 2, так как 22 входит в уравнение со знаком «+». Каноническая систе-

23

лении по оси 1 1, то есть в системе 1 1 1 центр кривой точка 2,

Итак, в исходной системе координат точка 2 имеет координаты p0, 3q.

Теперь опишем, как строить график в изначальной системе . В системе в точке 2p0, 3q проведем ось 2 2 с направляющим вектором ¯1 и ось 2 2 с направляющим вектором ¯2. В полученной канонической системе строим график гиперболы ´ 22 ` 22 “ 1. Параметры гиперболы: “ 1, “ 1. Поэтому вершины гиперболы лежат в точках p0, ˘ q, то есть в точках p0, ˘1q. Асимптоты имеют уравнения 2 “ ˘ 2, то есть 2 “ ˘ 2. В системе 2 2 2 проводим асимптоты, отмечаем вершины и строим гиперболу.

Ответ: канонический базис состоит из векторов

канонической системой координат является 2 2 2, где 2 имеет координаты p0, 3q, ¯1 — направляющий вектор оси 2 2, ¯2 — направляющий вектор оси 2 2, каноническое уравнение имеет вид:

´ 22 ` 22 “ 1.

На рисунке 1 кривая изображена в исходной системе координат.

24

1

O

1 x

Рис. 1: Гипербола (задача 8)

8*. Дано уравнение кривой второго порядка в системе координат :

´3 2 ´ 4 ` 2 ´ 4 ` 5 “ 0.

Найти канонический базис, каноническую систему координат, каноническое уравнение кривой. Построить кривую в исходной системе координат.

Решение. Запишем уравнение кривой второго порядка в матричном виде:

У матрицы квадратичной формы, как и у любой симметрической вещественной матрицы, существует базис из ортонормированных соб-

25

ственных векторов, в котором эта матрица диагональна, причем на диагонали стоят собственные числа. Найдем соответствующие собственные числа и векторы. Для отыскания собственных чисел составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

p3 ` q ´ 4 “ 0,2 ` 3 ´ 4 “ 0.

Отсюда собственные числа суть 1 “ ´4 и 2 “ 1. Найдем отвечающие им собственные векторы. Вырожденная матрица однородной системы для 1 “ ´4:

при ‰ 0. Из условия нормированности (то есть равенства единице длины вектора) найдем :

26

Произвол в выборе этого знака также остается. Однако, если мы (дополнительно) хотим при искомой замене переменных сохранить ориентацию осей координат, то определитель, составленный из координат столбцов нового базиса, должен быть положителен. Тогда вто-

˜ ¸

Из ортогональных нормированных собственных векторов ¯1 и ¯2 получаем матрицу перехода:

˜¸

Используя эту матрицу, мы получаем зависимость старых координат , от новых 1, 1:

Поскольку найденная матрица является ортогональной по построению, то обратная к ней — транспонированная, ´1 “ T:

Матрица квадратичной формы, исходя из общей теории, в канонической системе координат диагональна и состоит из собственных чисел:

˜¸

´4 0 .

01

Перейдем к новым переменным в матричном уравнении кривой вто-

27

Геометрически сделанная замена есть поворот (и, если бы мы не использовали условие сохранения ориентации системы координат, то, возможно, было бы и отражение одной из осей), при котором новые оси координат направлены вдоль собственных векторов матрицы квадратичной формы.

Осталось перенести начало координат так, чтобы по возможности избавиться от линейной части уравнения (5). Для этого выделим полные квадраты по всем переменным. По переменной 1 в нашем случае нет линейной части, поэтому достаточно выделить полный квадрат по 1:

´4p 1q2 ` p 1 ´ ?5q2 “ 0.

Обозначим переменные после второй замены:

5 5 5 5

В этих уже канонических переменных уравнение примет вид:

´4p 2q2 ` p 2q2 “ 0.

28

На рисунке 2 изображена исходная система координат , затем система координат 1 1, в которой квадратичная часть уравнения

29

принимает канонический вид (система координат, оси которой направлены вдоль собственных векторов матрицы квадратичной формы). Далее изображена каноническая система координат 2 2 2 для линии второго порядка, полученная сдвигом из предыдущей системы координат, в которой исчезает максимально возможное количество линейных членов уравнения. Сама линия, задаваемая уравнением второго порядка, здесь является парой пересекающихся в точке 2 прямых.

Ответ: канонический базис состоит из векторов

канонической системой координат является 2 2 2, где 2 имеет координаты p´1, 2q, ¯1 — направляющий вектор оси 2 2, ¯2 — направляющий вектор оси 2 2, каноническое уравнение имеет вид:

22 ´ 22 “ 0.

4

На рисунке 2 изображена в исходной системе координат кривая второго порядка, которая распадается на пару пересекающихся прямых.

30