Индивидуальные задания по линейной алгебре линейные операторы, квадратичные формы, кривые второго порядка. Учебно-методическое пособие
.pdfВариант 8
1.Найти базис пространства решений однородной системы линейных уравнений (фундаментальную систему решений)
$
’4 1 ` 10 2 ` 3 3 ` 6 4 “ 0,
’
’
’
’
&´11 1 ´ 7 2 ´ 20 3 ` 4 4 “ 0,
’´8 1 ´ 10 2 ´ 11 3 ´ 2 4 “ 0,
’
’
’
’
%´4 1 ´ 8 3 ` 4 4 “ 0.
2. Составить матрицу линейного оператора, переводящего вектор ˜ |
86¸ |
||||
4 |
˜ |
´9 |
¸ — в вектор |
0 |
´ |
в ˜0¸, а вектор |
7 |
˜6¸, в стандартном базисе. |
|
||
3.Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, имеющего в некотором базисе матрицу . Сделать проверку.
|
|
¨ |
16 |
|
19 |
11 |
˛ . |
|
“ |
˚ |
10 |
9 |
7 |
‹ |
|
|
´ |
´ |
|
´ |
|||
|
|
12 |
18 |
8 |
|||
|
|
˝ |
|
|
|
|
‚ |
4. В некотором базисе линейные операторы и имеют, соответствен-
но, матрицы “ ˜ |
7 |
4 |
¸ , |
“ ˜ |
1 |
0 |
¸ . Найти базис, состо- |
2 |
5 |
´1 |
3 |
ящий из собственных векторов оператора (новый базис), а также матрицы операторов и в этом базисе.
5.При каких значениях число “ 0 является собственным числом
¨˛
0 1
матрицы ˚˝ 6 2 ‹‚?
´6 0 ´1
6.Построить уравнение кривой и указать её тип, если одна из директрис задается уравнением ` ´3 “ 0, ближайший фокус — в точке p1, ´2q, а эксцентриситет равен 1.
41
7. Найти канонический вид квадратичной формы
´3 2 ` 12 ` 12 ´ 3 2 ` 12 ´ 3 2.
8. Дано уравнение кривой второго порядка в системе координат :
´ ` 8 ` 4 ´ 28 “ 0.
Найти канонический базис, каноническую систему координат, каноническое уравнение кривой. Построить кривую в исходной системе координат.
Вариант 9
1.Найти базис пространства решений однородной системы линейных уравнений (фундаментальную систему решений)
|
$´7 1 ` 7 2 ` 3 3 ` 10 4 ` 24 5 “ 0, |
||||||||||||
|
’´3 1 ` 5 2 ` 2 3 ` 7 4 ` 15 5 “ 0, |
||||||||||||
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
5 2 |
|
3 |
6 4 |
|
0, |
|
||
|
’ 11 1 |
|
|
|
|
||||||||
|
’ |
|
|
´ |
|
´ ´ |
|
|
“ |
|
|
||
|
’´ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’´10 1 ´ 2 2 ´ 2 4 ` 6 5 “ 0, |
|
|||||||||||
|
’9 1 |
|
2 |
3 |
|
2 4 |
|
12 5 0. |
|||||
|
’ |
|
´ |
|
´ |
|
´ |
|
´ |
|
|
“ |
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
2. Составить матрицу линейного оператора, переводящего вектор ˜´2¸ |
|||||||||||||
в ˜ |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
´ |
|
9¸, а вектор |
˜1¸ — в вектор |
˜0¸, в стандартном базисе. |
|||||||||||
|
´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, имеющего в некотором базисе матрицу . Сделать проверку.
¨˛
2 ´1 4
“ ˚˝ ´6 5 ´6 ‹‚.
´8 6 ´10
42
4. В некотором базисе линейные операторы и имеют, соответствен-
но, матрицы “ ˜ |
6 |
1 |
¸ , |
“ ˜ |
0 |
1 |
¸ . Найти базис, состо- |
5 |
2 |
´2 |
1 |
ящий из собственных векторов оператора (новый базис), а также матрицы операторов и в этом базисе.
5.При каких значениях число “ 2 является собственным числом
¨˛
´7 ´2
матрицы ˚˝ 8 0 ‹‚?
´5 ´2 1
6.Построить уравнение кривой и указать её тип, если одна из директрис задается уравнением 3 ` 3 ` 1 “ 0, ближайший фокус — в точке p3, 4q, а эксцентриситет равен 3.
7.Найти канонический вид квадратичной формы
4 2 ´ 8 ` 4 ` 4 2 ´ 4 ` 2.
8. Дано уравнение кривой второго порядка в системе координат :
´4 ` 24 ´ 3 2 ` 20 ´ 4 “ 0.
Найти канонический базис, каноническую систему координат, каноническое уравнение кривой. Построить кривую в исходной системе координат.
Вариант 10
1.Найти базис пространства решений однородной системы линейных уравнений (фундаментальную систему решений)
$
’4 1 ` 6 2 ` 2 3 ´ 2 4 “ 0,
’
’
’
’
&´ 1 ´ 5 2 ´ 3 “ 0,
’´14 2 ´ 2 3 ´ 2 4 “ 0,
’
’
’
’
% 1 ´ 23 2 ´ 3 3 ´ 4 4 “ 0.
43
|
|
5 |
2. Составить матрицу линейного оператора, переводящего вектор ˜2¸ |
||
0 |
8 |
8 |
в ˜4¸, а вектор |
˜´3¸ — в вектор |
˜´4¸, в стандартном базисе. |
|
´ |
´ |
3.Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, имеющего в некотором базисе матрицу . Сделать проверку.
¨˛
|
“ ˚ |
´5 |
2 |
´8 |
‹ |
. |
12 |
11 |
12 |
||||
|
16 |
´12 |
19 |
|
||
|
˝ |
|
´ |
|
‚ |
|
4. В некотором базисе линейные операторы и имеют, соответствен-
но, матрицы “ ˜ |
7 |
5 |
¸ , |
“ ˜ |
1 |
0 |
¸ . Найти базис, состо- |
1 |
3 |
´2 |
4 |
ящий из собственных векторов оператора (новый базис), а также матрицы операторов и в этом базисе.
5. |
При каких значениях число “ ´6 является собственным числом |
|||
|
1 |
2 |
|
|
|
матрицы ¨2 |
´7 |
´ |
9˛? |
|
˚ |
´ |
‹ |
|
|
˝ |
|
|
‚ |
|
|
2 |
´4 |
|
6. |
Построить уравнение кривой и указать её тип, если одна из дирек- |
|||
|
трис задается уравнением 2 ´ 2 ´ 1 “ 0, ближайший фокус — в |
|||
|
точке p´1, 1q, а эксцентриситет равен 4{3. |
|||
7. |
Найти канонический вид квадратичной формы |
|||
|
|
2 2 ` 12 ` 12 ´ 6 2 ´ 12 ´ 6 2. |
||
8. |
Дано уравнение кривой второго порядка в системе координат : |
|||
´2 ` 14 ´ 2 ` 15 “ 0.
Найти канонический базис, каноническую систему координат, каноническое уравнение кривой. Построить кривую в исходной системе координат.
44
Вариант 11
1.Найти базис пространства решений однородной системы линейных уравнений (фундаментальную систему решений)
$
’8 1 ` 12 2 ` 3 3 ´ 5 4 “ 0,
’
’
’
’
& 1 ` 15 2 ´ 4 “ 0,
’´6 1 ` 18 2 ´ 3 3 ` 3 4 “ 0,
’
’
’
’
%10 1 ` 6 2 ` 4 3 ´ 6 4 “ 0.
2. Составить матрицу линейного оператора, переводящего вектор ˜ |
´7 |
¸ |
||||||
1 |
||||||||
7 |
˜ |
´1 |
¸ — в вектор |
˜ |
5 |
|
|
|
в ˜6¸, а вектор |
0 |
´ |
7¸, в стандартном базисе. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, имеющего в некотором базисе матрицу . Сделать проверку.
¨˛
|
“ ˚ |
0 |
1 |
´4 |
‹ |
. |
6 |
3 |
6 |
||||
|
8 |
´6 |
12 |
|
||
|
˝ |
|
´ |
|
‚ |
|
4. В некотором базисе линейные операторы и имеют, соответствен-
но, матрицы “ ˜ |
3 |
|
1 |
¸ , |
“ ˜ |
1 |
2 |
¸ . Найти базис, со- |
5 |
´ |
1 |
1 |
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
´ |
|
стоящий из собственных векторов оператора (новый базис), а также матрицы операторов и в этом базисе.
5.При каких значениях число “ ´8 является собственным числом
¨˛
5 ´4
матрицы ˚˝ ´5 ´2‹‚?
4 1 ´9
6.Построить уравнение кривой и указать её тип, если одна из директрис задается уравнением ` ´1 “ 0, ближайший фокус — в точке p´1, 5q, а эксцентриситет равен 4.
45
7. Найти канонический вид квадратичной формы
2 2 ` 6 ` 6 ´ 2 2 ` 2 ´ 2 2.
8. Дано уравнение кривой второго порядка в системе координат :
2 ´ 8 ´ 14 ´ 5 2 ´ 28 ´ 14 “ 0.
Найти канонический базис, каноническую систему координат, каноническое уравнение кривой. Построить кривую в исходной системе координат.
Вариант 12
1.Найти базис пространства решений однородной системы линейных уравнений (фундаментальную систему решений)
$´10 1 ` 12 2 ` 21 3 ` 8 4 ` 10 5 “ 0, |
|
|
||||||||||||||||
’´2 1 ` 3 2 ` 5 3 ` 2 4 ` 3 5 “ 0, |
|
|
|
|
||||||||||||||
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
14 1 |
|
|
15 2 |
|
27 3 |
|
10 4 |
|
11 5 |
|
0, |
|
|
||||
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
’ |
|
|
` |
|
|
|
` |
|
|
` |
|
` |
|
“ |
|
|
|
|
’´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’´2 1 ` 3 2 ` 5 3 ` 2 4 ` 3 5 “ 0, |
|
|
|
|
||||||||||||||
’ |
2 1 |
|
|
3 |
|
2 5 |
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
’ |
|
` |
|
|
´ |
|
|
“ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Составить матрицу линейного оператора, переводящего вектор ˜ |
´1 |
¸ |
||||||||||||||||
1 |
||||||||||||||||||
6 |
´6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
||
в ˜3¸, а вектор ˜ |
7 |
¸ |
— в вектор ˜´5¸, в стандартном базисе. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
´ |
|
|
|
|
|
|
3.Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, имеющего в некотором базисе матрицу . Сделать проверку.
|
¨ |
12 |
16 |
13 |
˛ . |
|
“ ˚ |
´17 |
´12 |
16 |
‹ |
|
6 |
18 |
´ 9 |
||
|
˝ |
|
|
´ |
‚ |
46
4. В некотором базисе линейные операторы и имеют, соответствен-
но, матрицы “ ˜ |
6 |
5 |
¸ , |
“ ˜ |
2 |
1 |
¸ . Найти базис, состо- |
1 |
2 |
´1 |
0 |
ящий из собственных векторов оператора (новый базис), а также матрицы операторов и в этом базисе.
5.При каких значениях число “ ´6 является собственным числом
¨˛
0 ´2
матрицы ˚˝´8 ´7 ´3‹‚?
3 ´7
6.Построить уравнение кривой и указать её тип, если одна из директрис задается уравнением ´ ´1 “ 0, ближайший фокус — в точке p´3, ´4q, а эксцентриситет равен 1.
7.Найти канонический вид квадратичной формы
2 2 ´ 6 ` 6 ´ 2 ` 8 ´ 2.
8. Дано уравнение кривой второго порядка в системе координат :
3 2 ´ 2 ´ 6 ` 3 2 ` 18 ` 11 “ 0.
Найти канонический базис, каноническую систему координат, каноническое уравнение кривой. Построить кривую в исходной системе координат.
Вариант 13
1.Найти базис пространства решений однородной системы линейных уравнений (фундаментальную систему решений)
$
’15 1 ` 7 2 ` 18 3 ` 4 4 ´ 7 5 “ 0,
’
’
’
’
&´7 1 ´ 5 2 ´ 4 3 ` 4 4 ` 5 5 “ 0,
’´4 1 ´ 2 2 ´ 6 3 ´ 4 ` 2 5 “ 0,
’
’
’
’
%18 1 ` 14 2 ` 12 3 ´ 13 4 ´ 14 5 “ 0.
47
2. Составить матрицу линейного оператора, переводящего вектор ˜ |
44¸ |
|||||
8 |
˜ |
9 |
˜ |
6 |
´ |
|
в ˜0¸, а вектор |
7¸ — в вектор |
´ |
6¸, в стандартном базисе. |
|||
|
|
´ |
|
|
|
|
3.Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, имеющего в некотором базисе матрицу . Сделать проверку.
|
¨ |
11 |
12 |
8 |
˛ . |
|
|
“ ˚ |
´5 |
´6 |
´6 |
‹ |
|
|
4 |
´ |
4 |
0 |
||
|
˝ |
´ |
|
|
‚ |
|
4. В некотором базисе линейные операторы и имеют, соответствен-
но, матрицы “ ˜ |
7 |
1 |
¸ , |
“ ˜ |
0 |
1 |
¸ . Найти базис, состо- |
5 |
3 |
3 |
1 |
ящий из собственных векторов оператора (новый базис), а также матрицы операторов и в этом базисе.
5.При каких значениях число “ 8 является собственным числом
¨˛
8 0
матрицы ˚˝ 4 3‹‚?
0 9 7
6.Построить уравнение кривой и указать её тип, если одна из директрис задается уравнением 3 ´ 3 ` 4 “ 0, ближайший фокус — в точке p0, 0q, а эксцентриситет равен 3{4.
7.Найти канонический вид квадратичной формы
4 2 ´ 12 ´ 12 ´ 4 2 ` 4 ´ 4 2.
8. Дано уравнение кривой второго порядка в системе координат :
2 ´ 4 ´ 6 ´ 2 2 ` 24 ` 9 “ 0.
Найти канонический базис, каноническую систему координат, каноническое уравнение кривой. Построить кривую в исходной системе координат.
48
Вариант 14
1.Найти базис пространства решений однородной системы линейных уравнений (фундаментальную систему решений)
$2 1 ´ 3 2 ` 2 3 ´ 5 “ 0, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
’´12 1 ` 25 2 ´ 10 3 ` 7 4 ` 6 5 “ 0, |
||||||||||||||||||
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
23 2 |
|
2 3 |
|
14 4 |
|
3 5 |
|
0, |
|
|||||
’6 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
’ |
|
´ |
|
|
` |
|
|
´ |
|
|
|
´ |
|
|
“ |
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’8 1 ´ 12 2 ` 8 3 ´ 4 5 “ 0, |
12 5 0. |
|||||||||||||||||
’ |
27 1 |
|
27 2 |
|
28 3 |
|
6 4 |
|
||||||||||
’ |
|
|
|
` |
|
|
´ |
|
|
|
´ |
|
|
` |
|
|
“ |
|
’´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2. Составить матрицу линейного оператора, переводящего вектор ˜0¸ |
||||||||||||||||||
0 |
˜ |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
в ˜3¸, а вектор |
´ |
6¸ |
— в вектор ˜´3¸, в стандартном базисе. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
´ |
|
|
|
|
|
|||
3.Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, имеющего в некотором базисе матрицу . Сделать проверку.
|
¨ ´5 |
´6 |
10 |
˛ . |
|
|
“ ˚ |
17 |
18 |
´18 |
‹ |
|
16 |
16 |
12 |
||
|
˝ |
|
|
|
‚ |
4. В некотором базисе линейные операторы и имеют, соответствен-
но, матрицы “ ˜ |
2 |
5 |
¸ , |
“ ˜ |
1 |
4 |
¸ . Найти базис, со- |
1 |
´2 |
´0 |
1 |
стоящий из собственных векторов оператора (новый базис), а также матрицы операторов и в этом базисе.
5.При каких значениях число “ ´3 является собственным числом
¨˛
9 2
матрицы ˚˝10 ´4 ´4‹‚?
5 ´9
6. Построить уравнение кривой и указать её тип, если одна из дирек-
49
трис задается уравнением `2 `4 “ 0, ближайший фокус — в точке p2, ´3q, а эксцентриситет равен 1.
7. Найти канонический вид квадратичной формы
´4 2 ` 2 ´ 6 ` 2 2 ` 6 ´ 6 2.
8. Дано уравнение кривой второго порядка в системе координат :
´5 2 ´ 24 ´ 34 ` 5 2 ´ 14 ` 2 “ 0.
Найти канонический базис, каноническую систему координат, каноническое уравнение кривой. Построить кривую в исходной системе координат.
Вариант 15
1.Найти базис пространства решений однородной системы линейных уравнений (фундаментальную систему решений)
$
’´9 1 ´ 11 2 ` 22 3 ` 6 4 “ 0,
’
’
’
’
&7 1 ` 9 2 ´ 18 3 ´ 4 4 “ 0,
’12 1 ` 11 2 ´ 23 3 ´ 10 4 “ 0,
’
’
’
’
%´ 1 ´ 2 ` 2 3 ` 4 “ 0.
2. |
|
|
9 |
Составить матрицу линейного оператора, переводящего вектор ˜´7¸ |
|||
|
|
|
´ |
|
8 |
1 |
8 |
|
в ˜´8¸, а вектор |
˜1¸ — в вектор |
˜´8¸, в стандартном базисе. |
|
´ |
|
´ |
3. |
Найти собственные числа и собственные векторы линейного опера- |
||
50