Введение в общую теорию относительности

в) Решение Ньюмана

Для полноты картины заметим также, что вращающиеся планеты могут также быть электрически заряженными. Решение для этого случая было найдено Ньюманом в 1965 г. Метрика, соответствующая этому решению, описывается уравнением

ds2 = −Y (dt − a sin2 θ dϕ)2+

Упражнение. Докажите, что при Q = 0 (13.21) и (13.22) совпадают.

Упражнение. Найдите решение для невращающегося магнитного монополя в условиях радиального магнитного поля.

Упражнение для продвинутого студента. Опишите геодезические для решения Керра.

14. Метрика Робертсона–Уолкера

Общая теория относительности играет важную роль в космологии. Самое распространенное предположение заключается в том, что в определенный момент «t = 0» из сингулярности возникла вселенная и начала расширяться. Примем макси-

Здесь dω2 является сокращенным обозначением некоего полностью изотропного трехмерного пространства, а a(t) описывает (увеличивающееся) расстояние между двумя соседними галактиками в пространстве. Хотя нами и учитывается принцип Коперника о равноправии всех точек в пространстве, идея об инвариантности в отношении временных трансляций и о лоренц-инвариантности в этой метрике нами не разделяется — каждая галактика имеет часы, установленные на нуль при t = 0, и каждая из них предусматривает собственную инерциальную систему координат.

Сначала рассмотрим трехмерное пространство, описываемое параметром dω2. Примем полярные координаты ρ, θ, ϕ:

тогда в этом трехмерном пространстве тензор Риччи будет описываться (с помощью методов, описанных в главе 11) в виде

В изотропном (трехмерном) пространстве для некой константы λ должно соблюдаться равенство

которое подчиняется и (14.6), и (14.7).

Тензор Gμν принимает вид (для простоты x берется равным 0):

Здесь ρ = T44 = T00/g00 — плотность энергии, а p — давление:

Tij = −pgij .

Теперь нам остается сделать ряд допущений о материи во вселенной и о ее уравнениях состояния, представляющих собой зависимость между плотностью энергии ρ и давлением p. Самое простое — допустить, что давления нет вообще («вселенная, заполненная пылью»).

В этом случае плотность энергии ρ — это плотность мате-

Тогда уравнение (14.16), называемое также уравнением Фридмана, принимает вид

Мы видим, что по мере возрастания a сначала доминирует член, описывающий материю, затем — член, описывающий кривизну пространства (включающий k), и, наконец, космологическая константа. Дифференцируя уравнение Фридмана, находим, что оно согласуется с (14.17).

С позиции математики уравнение Фридмана можно сравнить с уравнением для одномерной частицы (с нулевой полной энергией), движущейся в потенциале:

При небольшой величине a вначале, наблюдается быстрое расширение. Расширение продолжается до бесконечности, если

Рис. 5. Потенциал (14.20) для случаев а) k = 0, Λ < 0, б) k = −1,

Λ= 0, в) k = 0, Λ > 0. В случае а) точкой поворота будет точка при

a = amax.

Λ> 0, а k = −1. Если Λ < 0, обязательно произойдет останов-

ка расширения — в этой точке вселенная начинает сжиматься (amax на рис. 5).

Полезно рассмотреть решения уравнений (14.16) и (14.17) для случая, когда наблюдаются другие зависимости между давлением и плотностью. Например, во вселенной, заполненной излучением, p = ρ/3, а поскольку можно допустить, что излучение тепловое, а число фотонов сохраняется неизменным, можно заключить, что ρ = ρ0/a4, в отличие от уравнения (14.18). Действительно, это согласуется с (14.16) и (14.17).

В случае Λ = 0 решения уравнения Фридмана (14.19) представляют собой хорошо известные математические кри-

Получили уравнения для циклоиды. Поскольку D > 0, t > 0 и a > 0, запросим, чтобы

См. рис. 6.

Все решения отталкиваются от Большого взрыва при t = 0. Лишь в случае с k = 1 циклоида в конце демонстрирует также «большое сжатие». Если k 0, то не только пространство, но и время будет неограниченным.

Хорошими примерами для тренировки будут случаи p = = −ρ/3 и p = −ρ.

15. Гравитационное излучение

Быстро движущиеся объекты представляют собой зависящий от времени источник гравитационного поля, поэтому аргументы причинности (информация в гравитационных полях не должна перемещаться быстрее света) позволяют предположить, что гравитационные эффекты в этом случае распространяются подобно волнам во всех направлениях от источника. Вдали от источника метрика gμν будет оставаться близкой к метрике плоского пространства–времени. Для расчета этого эффекта можно принять линеаризованное приближение. В

Рис. 6. Вселенная Робертсона – Уолкера при Λ = 0, k = 1, k = 0 и k = −1.

отличие от наших действий в предыдущих главах, сейчас удобнее выбрать единицы так, чтобы

Линеаризованные эйнштейновы уравнения уже обсуждались в главе 7, а из главы 9 стало понятно, каким образом, после выбора калибровки, можно вывести волновые уравнения (в отсутствие материи (9.17) можно задать равным нулю). Целесообразно перевести эти уравнения в форму уравнений Эй- лера–Лагранжа. Лагранжиан для линейного уравнения, однако, квадратичен по полю. Поэтому нам придется разложить действие Эйнштейна – Гильберта до уравнений второго порядка по возмущениям hμν в метрике:

и после небольших вычислений мы приходим к заключению, что члены, квадратичные относительно hμν , можно записать в виде

а Tμν представляет тензор энергии–импульса материи (в случае ее наличия). Индексы суммируются как в случае с плоской метрикой ημν , (7.2).

Лагранжиан инвариантен при линеаризованном калибро-

Одним из вариантов выбора калибровочного условия представляется выбор

(линеаризованная калибровка де Донде). Такая калибровка удобна для вычислений. Однако для лучшего понимания реальных степеней свободы в излучающем гравитационном поле стоит сначала рассмотреть «калибровку излучения» (которая аналогична калибровке для электромагнитного случая ∂iAi = = 0):

где мы придерживаемся принятого ранее условия относительно того, что индексы при суммировании, взятые из середины алфавита, i, j, . . . , соответствуют значениям от 1 до 3. Поэтому мы не налагаем условия (15.7).