Введение в общую теорию относительности
.pdf15. Гравитационное излучение |
|
91 |
|||
так что |
|
|
(x − y)i(x − y)j |
|
|
Eij = |
δij |
− |
. |
(15.21) |
|
8π|x − y| |
8π|x − y|3 |
||||
Таким образом, влияние L2 выражается лишь в очень небольших релятивистских поправках к мгновенным взаимодействиям между компонентами Пойнтинга тензора напряжения–энер- гии–импульса.
В случае с L3 мы обнаруживаем, что h00 выступает в качестве множителя Лагранжа. Отсюда порождаемое им уравнение Эйлера – Лагранжа имеет очень простой вид:
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
h = − |
|
T00, |
|
|
(15.22) |
|
|
k2 |
|
|
||||
а уравнение для L3 будет иметь вид |
|
|
|
||||
˙ 2 |
4 |
2 |
|
|
2 |
. |
(15.23) |
L3 = −T00/8k |
|
+ T00 + T00Taa/4k |
|
||||
Теперь для нашего источника в достаточно хорошем приближении будет выполняться
|
∂μTμν = 0, |
|
|
(15.24) |
|
так что |
˙ |
|
˙ |
|
|
|
и ikT30 |
, |
(15.25) |
||
|
ikT3ν = T0ν |
= T00 |
|||
и, следовательно, можно записать |
|
|
|
||
L3 |
= −T302 /8k2 + T002 /8k2 + T00Taa/4k2; |
(15.26) |
|||
H3 |
= − L3 d3k. |
|
|
|
(15.27) |
В этом выражении доминантным будет второй член:
− |
d3kT002 /8k2 = − |
T00(x)T00(y) d3x d3y |
|||||
|
|
|
|
|
= |
||
|
8 · 4π|x − y| |
|
|||||
|
= − |
GN |
|
d3x d3y |
(x)T00(y), (15.28) |
||
|
|
|
T00 |
||||
|
2 |
|x − y| |
|||||
92 т’ Хоофт
в который мы вновь ввели постоянную Ньютона. Получился линеаризованный гравитационный потенциал для стационарного распределения масс. Обработку остальных членов следует проводить так, как в (15.21).
Наглядно видно, что в калибровке излучения L2 и L3 порождают вклады в силы, действующие между источниками. Эти силы кажутся действующими мгновенно, без временной задержки, однако это артефакт, обусловленный выбором данной калибровки. Гравитационное излучение существует, но оно полностью описывается L1. Мы видим, что в качестве источ-
ника действует — пространственноподобная, поперечная
Tab
часть тензора энергии–импульса, имеющая нулевой след. Рассмотрим теперь небольшой локализованный источник, но лишь
для небольшой области V |
с размерами, намного меньшими |
|
1/k. Для этого случая можно записать |
||
|
|
|
T ij d3x =
= ∂0
1 = 2 ∂0
T kj (∂k xi) d3x = − xi ∂kT kj d3x =
xiT 0j d3x = ∂0 |
xi(∂k xj )T 0k d3x = |
|
|||||
i j |
0k 3 |
− |
1 |
i j |
|
0k 3 |
|
∂k (x x )T |
d x = |
2 |
x x ∂k T |
d x = |
|||
|
|
1 |
2 |
i j |
00 3 |
|
|
|
= |
2 |
∂0 |
x x T |
|
d x. |
(15.29) |
Это означает, что при интегрировании пространство-простран- ственноподобные компоненты тензора энергии–импульса могут быть отождествлены со второй производной по времени квадрупольного момента распределения массы T00.
Хотелось бы узнать, сколько энергии испускается при таком излучении. Для этого вернемся на мгновение к электродинамике, или, еще лучше, к теории скалярного поля. Возьмем лагранжиан вида
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
2 |
− ϕJ. |
|
L |
= 2 |
ϕ˙ |
− 2 k |
|
ϕ |
|
(15.30) |
|
Пусть J будет периодичным по времени: |
|
|||||||
|
J(x, t) = J(x)e−iωt. |
(15.31) |
||||||
15. Гравитационное излучение |
93 |
Тогда решением уравнения поля (см. лекции по классической электродинамике) при больших r будет
ϕ(x, t) = − |
eikr |
|
3 |
|
4πr |
J(x ) d x ; k = ω, |
(15.32) |
где x — запаздывающая позиция при измерении J. Поскольку носитель V нашего источника чрезвычайно мал по сравнению с 1/k, то интеграл при этом будет простым пространственноподобным интегралом. Энергия P , излученная за единицу времени, представлена уравнением
dE |
|
2 |
1 |
2 |
|
k2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
dt |
= P = 4πr |
|
2 |
ϕ˙ |
+ |
2 ϕ |
= |
|
|
|
|
||
|
k2 |
|
|
|
|
3 |
|
2 |
1 |
|
3 |
|
2 |
|
= 4π |
|
J(x ) d x |
|
= |
|
|
∂0J(x) d x |
. (15.33) |
||||
|
4π |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку в условиях было задано скалярное поле, вывод этого уравнения не представлял трудностей. А если рассмотреть более сложный лагранжиан L1 уравнения (15.15)?
Тензор с нулевым следом
T |
1 |
δij Tkk |
(15.34) |
ij = Tij − |
3 |
содержит 5 независимых компонент. Определим внутренние произведения этих 5 компонент по уравнению
T (1) |
T (2) |
= |
1 T (1)T (2) |
, |
(15.35) |
|
· |
|
2 ij ij |
|
|
тогда (15.15) будет иметь тот же вид, что и (15.30), если не считать, что в каждом направлении будут действовать лишь 2
из 5 компонент . Если произвести интегрирование по всем
Tij
направлениям, окажется, что все компоненты вносят рав-
Tij
ные вклады (вследствие сферической инвариантности), однако полная интенсивность будет составлять всего 2/5 от величины,
которая бы получилась, если бы вместо у нас имелся тен-
Tab
94 |
|
|
|
|
|
|
|
|
т’ Хоофт |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
зор T из L |
. Отсюда полная излучаемая энергия будет равна |
||||||||||||||||||||||||
|
2k21 |
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P = |
|
· 2 |
Tij (x) d x = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
5 · 4π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
1 |
|
3 |
|
|
|
2 |
GN |
3 |
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
= |
|
· |
2 |
|
2 |
∂0 tij |
= |
|
(∂0 tij ) |
|
(15.36) |
|||||||||
|
|
|
|
|
20π |
5 |
|
||||||||||||||||||
при (согласно (15.29): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
j |
− |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
tij |
= x x |
3 |
x δij |
T00 d x |
|
|
|
(15.37) |
||||||||||||||
Для |
стержня длиной L получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
t11 = 1 |
M L2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(15.38) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
= t |
= |
|
|
|
|
M L2. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
−36 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
22 |
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Если он вращается с угловой скоростью Ω, то каждый из t |
|
|||||||||||||
t12 |
и t22 вращается с угловой скоростью 2Ω: |
11 |
, |
|||||||||||
|
|
t |
|
= M L2 |
1 |
+ |
1 |
cos 2Ωt |
|
, |
|
|||
|
72 |
|
|
|||||||||||
|
|
t |
11 |
|
24 |
|
|
, |
|
|||||
|
|
|
= M L2 |
1 |
|
1 cos 2Ωt |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
t |
22 |
72 |
24 |
|
, |
(15.39) |
||||||
|
|
|
= M L2 |
1 sin 2Ωt |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
t |
12 |
24 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
= 1 M L2. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнения |
|
33 |
36 |
|
|
исходя |
из |
предпосылки, что |
||||||
(15.39) |
выводятся, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
являются (5-мерным) представлением группы вращений.
tij
В энергию, излучаемую за единицу времени, вклад вносит лишь часть, соответствующая вращениям:
|
GN |
6 |
M L2 |
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
P = |
|
(2Ω) |
24 |
|
|
(2 cos |
2Ωt + 2 sin 2Ωt) = |
|
|||
5 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
2GN |
M 2L4 |
Ω6 |
, (15.40) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
45c5 |
|
|
|
15. Гравитационное излучение |
95 |
куда, для уравновешивания размерности, нами вновь была введена скорость света c.
Уравнение (15.36) для энергии гравитационного излучения справедливо, если скорость перемещений намного меньше скорости света, а, кроме того, если справедливо линейное приближение. Оно справедливо также в случае, если движущиеся объекты перемещаются за счет расположения в области действия гравитационных полей друг друга (например, двойной пульсар). Однако поскольку при выведении этого уравнения нами принято, что ∂μTμν = 0, то приведенные выше выводы без дальнейшего обсуждения нельзя считать достаточно обоснованными.
Герардус т’ Хоофт
ВВЕДЕНИЕ В ОБЩУЮ ТЕОРИЮ
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Дизайнер М. В. Ботя Технический редактор А. В. Широбоков
Компьютерный набор и верстка С. В. Высоцкий Корректор М. А. Ложкина
Подписано в печать 21.02.19. Формат 84 × 1081/32. Печать офсетная. Усл. печ. л. 5,04. Уч. изд. л. 5,33.
Гарнитура Антиква. Бумага офсетная № 1. Тираж 1000 экз. Заказ № 126.
Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика» 426057, г. Ижевск, ул. Университетская, 1.
http://shop.rcd.ru E-mail: mail@rcd.ru