Введение в общую теорию относительности

Уравнение (12.5) при этом приобретает вид:

Также как и в задаче Кеплера, удобно рассматривать r как функцию ϕ. Время t уже исключено. Исключим также s. До конца этой главы будем обозначать дифференцирование по ϕ штрихом:

Можно интерпретировать E как энергию, а J как угловой момент. Запишем в точности как в задаче Кеплера:

Упражнение. Покажите, что в ньютоновом пределе членом u3 можно пренебречь, а затем вычислите интеграл.

Релятивистским смещением перигелия будет величина, на которую полный интеграл от umin до umax (два корня полинома третьей степени), умноженный на два, отличается от 2π.

Рис. 4. Смещение перигелия орбиты планеты вокруг центральной звезды.

Максимально точно можно определить смещение перигелия повторным дифференцированием (12.13) по ϕ:

Последний член является релятивистским поправочным членом. Допустим он невелик. Тогда мы получаем хорошо известную в математической физике задачу:

С помощью возмущений можно разложить u в ряд по степеням ε, однако нам нужно разложение, сходящееся для всех

приводят к строгой периодичности. Если орбита должна быть периодична по ϕ, следует выбирать период равным 2π(1 + Aε). Мы обнаруживаем, что при каждом прохождении перигелия ее положение смещается на величину

(плюс поправки с учетом высших порядков) в направлении самой планеты (рис. 4).

Теперь рассчитаем траекторию луча света. Она тоже будет геодезической. Однако теперь ds = 0. В этом пределе (12.1) – (12.4) все еще действуют, но теперь мы задаем

ds/dτ = 0,

так что (12.5) приобретает вид:

Поскольку теперь параметр τ определен с точностью до произвольного постоянного множителя, релевантным будет лишь отношение J/E. Назовем его j. Тогда (12.15) приобретает вид:

Поскольку теперь левая часть (12.13) подлежит замещению нулем, то (12.18) принимает вид:

Теперь допускается разложение в ряд по степеням M (поскольку угол ϕ находится в пределах интервала, незначительно превышающего π):

Таким образом, для малого M мы имеем

Углы ϕ — испускания и возвращения луча — определяются уравнением

√

1/r = 0, cos ϕ = 1 ± 1 + 8M 2A2 . (12.35) 2M A

Поскольку параметр M , участвующий в разложении, незначителен, а | cos ϕ| 1, мы должны выбрать знак минус:

2

где r0 — наименьшее расстояние, проходимое световым лучом до центрального источника. В итоге угол отклонения между испускаемым лучом и лучом, возвращающимся назад, в низшем порядке имеет вид

В обычных единицах это уравнение выглядит как

m — масса центральной звезды.

Упражнение. Докажите, что эта величина в два раза больше, чем можно было бы ожидать, если считать луч света нерелятивистской частицей, движущейся по гиперболической орбите вокруг звезды.

Упражнение. Докажите, что выражение (12.27) в обычных единицах имеет вид

где a — главная ось орбиты, ε — ее эксцентриситет, а c — скорость света.

13. Обобщение шварцшильдова решения

а) Решение Райсснера – Нордстр¨ема

Сферическую симметрию можно оставить в качестве отправной точки для построения решения комбинированных уравнений Эйнштейна – Максвелла для полей, окружающих «планету» с электрическим зарядом Q и массой m. Как и в (11.10), мы выбираем

но, кроме того, — статическое электрическое поле:

Из этого следует, что F01 = −F10 = E(r), а все компоненты Fμν равны нулю. Допустим, что источник Jμ этого поля находится внутри планеты, а нас интересует лишь решение для внешнего пространства планеты. Для этого случая мы имеем

где Q — константа интегрирования, которую можно отождествить с электрическим зарядом, поскольку при r → ∞ и A, и B стремятся к 1.

Однородный закон Максвелла (10.11) выполняется автоматически, поскольку имеется поле A0 (векторный потенциал)

— это общее свойство свободного поля Максвелла. При этом мы имеем (GN = 1)

Мы считаем, что (11.32) все еще остается в силе, поэтому

И в этом случае сингулярности являются артефактами нашего выбора координат и могут быть устранены путем обобщений координат Крускала. При этом обнаруживается, что если горизонты событий не были бы заблокированы коллапсирующим веществом, то с нашей вселенной было бы связано бесчисленное множество паразитных вселенных. Подробнее эта гипотеза описана Хокингом и Эллисом.

б) Решение Керра

Гравитационное поле быстро вращающейся планеты уже не обладает сферической симметрией — сохраняется лишь цилиндрическая симметрия. Приводим только решение:

Это решение было найдено Керром в 1963 г. Доказать, что оно действительно является решением эйнштейновых уравнений, несложно, но для этого придется запастись терпением. Для получения решения с использованием более элементарных принципов требуются более мощные методы расчетов с применением вычислительной техники. Свободный параметр a в этом решении может быть отождествлен с угловым моментом.