Введение в планирование экспериментов. Учебное пособие

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

Кафедра сертификации и аналитического контроля

Ю.П. Адлер

Введение в планирование экспериментов

Учебное пособие

Допущено учебно-методическим объединением по образованию в области металлургии в качестве

учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению Металлургия

Москва 2014

УДК 519.240 А28

Р е ц е н з е н т канд. хим. наук Ю.В. Грановский (МГУ)

Адлер, Ю.П.

А28 Введение в планирование экспериментов : учеб. пособие / Ю.П. Адлер. – М. : Изд. Дом МИСиС, 2014. – 36 с.

ISBN 978-5-87623-770-5

Учебное пособие предназначено для первого знакомства с планированием эксперимента. Оно не требует никаких предварительных знаний об этом предме- те. Конечно, предполагается, что читатель не забыл школьный курс математики и готов потратить время для знакомства с предметом. Поскольку планирование эксперимента применяется во всех эмпирических науках, в пособии используют- ся исключительно бытовые примеры, что не помешает читателю приспособить его результаты к своей области практических исследований. В библиографии приводятся некоторые работы, которые могут служить заинтересованным чита- телям для дальнейшего чтения.

Первоначально большая часть материалов этого пособия публиковалась отдельными статьями в журнале «Современная лабораторная практика», и автор получил разрешение на использование материалов этих публикаций.

Предназначено для студентов и аспирантов всех специальностей.

УДК 519.240

2

3

1. ПРОБУЕМ ПРИГОТОВИТЬ ШОКОЛАДНЫЙ НАПИТОК

В лабораторных исследованиях сложилась парадоксальная ситуа- ция. Много лет все мы знаем, что существует планирование экспе- риментов, что оно имеет массу преимуществ перед интуитивными подходами, что речь идет о больших деньгах и о значительной эко- номии времени. И что же? Все остается по-прежнему. Возникает во- прос: почему? Представляется, что есть два фундаментальных мо- мента, мешающих систематическому переходу к планированию ла- бораторных исследований.

Первый из них – представление о том, что планирование экспери- мента связывает исследователя по рукам и ногам, лишает его того творческого момента, ради которого, собственно, мы и участвуем

вэтом процессе. Без творчества всякие исследования превращаются

вскучную рутину, не представляющую никакого интереса.

Второй момент не столь фундаментален, но тоже важен. Это про- блема изучения совершенно новой области знаний, никак не связан- ной с нашими профессиональными интересами. На это жалко тра- тить время – оно всегда в дефиците, да и просто лень.

Попробуем возразить. Во-первых, планирование эксперимента нис- колько не связывает наши творческие порывы. Напротив, оно переводит исследование на гораздо более высокий уровень и сулит значительно бо- лее важные и лучше обоснованные результаты. Правда, верно, что при- дется научиться интерпретировать результаты на другом языке, к кото- рому, как к любому языку, надо еще привыкнуть. Зато мы получаем сразу массу преимуществ. Прежде всего, наши результаты получаются сразу с оценкой неопределенности, связанной с их получением. Это избавляет от многих иллюзий и позволяет говорить о качестве результатов. Кроме то- го, результаты в нашем случае легко поддаются визуализации, а нагляд- ное представление обычно существенно облегчает обмен мнениями и выдвижение новых гипотез. Причем для проверки этих гипотез снова можно применить планирование эксперимента. Это создает систематиче- скую методологию исследования. Одновременно ускоряется весь процесс получения результатов, и общее время, потребное для исследования, под- дается более точному оцениванию. Более того, во многих случаях возни- кает уверенность в том, что в рамках заданной постановки задачи и при существующих ограничениях результат вряд ли можно улучшить. Тогда мы говорим об оптимальном решении.

4

Об экономии времени и денег мы уже говорили. Деньги, затра- ченные на исследование, играют важную роль в дальнейшей ком- мерциализации полученных результатов. Ведь в конечном счете ре- зультаты исследований нужны для того, чтобы с их помощью нау- читься зарабатывать деньги. Чем дешевле результаты, тем выше кон- курентные преимущества. То же самое можно сказать и о затратах времени. Как говорил классик: «Время, которое мы имеем, это день- ги, которых мы не имеем».

Второй момент тоже, на наш взгляд, поддается преодолению. Ко- нечно, было бы важно возобновить обучение специалистов методам планирования эксперимента. Совсем без знаний не обойтись, но во- все нет нужды становиться глубоким знатоком этой обширной об- ласти человеческих знаний. Вместо этого можно либо найти кон- сультанта, либо, что гораздо лучше, создать команду из специали- стов всех направлений, используемых в данном исследовании, в том числе, и в области планирования эксперимента. Команда – вот ключ к решению комплексных проблем, нередко возникающих в лабора- торных исследованиях.

Задачи планирования эксперимента весьма разнообразны. Но что бы мы ни делали, планирование эксперимента всегда отвечает на три вопроса:

1.Сколько опытов надо поставить.

2.В каких условиях.

3.В каком порядке.

При этом предполагается, что сама задача поставлена и точность,

скоторой требуется получить ответ, определена.

Окаких постановках задач может идти речь? Делались многочис- ленные попытки классифицировать задачи планирования эксперимента, но мы не знаем никакого «окончательного» решения. Поэтому прихо- дится ограничиваться перечислением наиболее часто встречающихся ситуаций, не претендуя на исчерпывающую полноту. Вот один из воз- можных перечней постановок задач с краткими пояснениями.

1. Задача оценивания констант. Примеров – сколько угодно:

скорость звука, скорость света, постоянная Планка, температура плавления, температура кипения и т.д.

2. Задача аппроксимации. В общем виде задана некоторая мате- матическая модель. Надо оценить ее параметры, чтобы этой моделью можно было пользоваться на практике. Примеры: градуировка тер- мопары, градуировка измерительной системы. Частными случаями задачи аппроксимации служат задачи экстраполяции (прогноза), ко-

5

гда нас интересует результат, лежащий вне области экспериментиро- вания. Пример: масштабирование лабораторного аппарата для по- строения промышленного образца.

3.Задача оптимизации. Задан набор переменных, влияющих, как мы считаем, на интересующий нас процесс. Надо найти такие кон- кретные значения этих переменных, которые доставляют оптимум (наибольшее или наименьшее значение) некоторому критерию опти- мальности (показателю качества).

4.Задача адаптации. Временная последовательность задач опти- мизации при изменяющихся внешних условиях, например, при изме- нении свойств сырья.

5.Задача отсеивания. Выбор из множества возможностей одной или нескольких, наиболее полно соответствующих заданному набору критериев. Примеры: выбор катализатора, растворителя, добавки; поиск лекарств, сплавов, строительных материалов и тому подобное

сзаданными свойствами.

6.Задача дискриминации. Отсеивание не на множестве объек- тов, а на множестве моделей. Задан набор альтернативных математи- ческих моделей. Надо найти ту или те из них, что наилучшим обра- зом согласуются с результатами эксперимента. Сюда же можно отне- сти и задачи межлабораторных сравнений.

7.Задачи с ограничениями. Пример: исследование диаграмм со- став – свойство или диаграмм состояния.

8.Динамические задачи. Это задачи, в которых переменная «время» играет особую роль. Примеры: задача слежения за движу- щимся объектом или изучение химической реакции в меняющейся во времени среде.

Успех планирования эксперимента существенно зависит от тех знаний, какими мы располагаем перед началом исследования. Такие знания принято называть априорными. Чем больше мы знаем перед экспериментом, тем быстрее, дешевле и лучше мы сможем получить результаты. Для определения уровня априорной информации часто используются модели ящиков разной «степени черноты». Когда мы знаем все, что нам требуется, понятно, никакой эксперимент не ну- жен. Это модель «белого ящика».

Его антипод – «черный ящик», кибернетическая модель, введенная в обиход Норбертом Винером. Она соответствует случаю, когда мы во- обще ничего не знаем об интересующем нас объекте. Однако «ниче-

го» – понятие относительное. Мы ведь знаем, что объект существует и что он нам интересен. А это немало. Тем не менее так принято гово-

6

рить. Конечно, именно «черный ящик» представляет собой самый сложный и самый важный случай. Здесь, кроме планирования экспери- мента, можно предложить разве что гадание на кофейной гуще.

Понятно, что в природе чаще всего встречаются разного рода промежуточные случаи, о которых естественно говорить как о «се- рых ящиках». Степень их «серости» может сильно варьировать. Одно дело, например, известная модель с неизвестными константами, и совсем другое – куча конкурирующих гипотез. Список задач, кото- рый мы привели выше, содержит задачи с разной степенью «серо- сти» вплоть до «черноты».

Конечно, каждая задача и при каждом уровне априорной инфор- мации требует отдельного подробного рассмотрения. Но давайте для начала рассмотрим пример. В работе [1] рассматривается интересная задача, которую мы приспособим для наших целей. Это задача поис- ка рецепта приготовления горячего жидкого шоколада. Априорная информация гласит, что предпочтения потребителя зависят от шести переменных, которые в планировании эксперимента принято назы-

вать факторами. Это:

1)доля шоколада;

2)сливочность (отношение молоко/сливки);

3)консистенция (структура);

4)температура;

5)сладость (связана с долей шоколада);

6)интенсивность (уровень) чувства голода.

Исследования показали, что существует оптимальное соотноше- ние какао (шоколада) и сахара, поэтому они не рассматриваются в данной работе как независимые факторы. Значит, фактор 5 учитыва- ется как фиксированное значение (уровень) для соответствующего уровня фактора 1 и таким образом непосредственно в нашем иссле- довании не участвует. Действительно, зачем тратить дорогие опыты на изучение того, что мы и так знаем. Получается, что факторы 1, 2, 3 (и 5) дают рецепт нашего напитка. А факторы 4 и 6 – это условия внешней среды. Причем о температуре известно, что ее оптимум со- ответствует примерно 150…170 °F (66…77 °С) для любых горячих напитков. Именно этот диапазон и поддерживался в наших экспери- ментах. Понятно также, что голод сильно влияет на степень удовле- творенности потребителя любой пищи. Поэтому пробы надо прово- дить в одно и то же время или при одном и том же уровне голода, иначе результаты будет трудно сравнивать. Наконец, мы заранее зна- ем, что один человек в короткое время не может сравнить более 5–6

7

вариантов. Дальше у него наступает насыщение, и он перестает раз- личать вкус и теряет способность его оценивать.

Таким образом, благодаря априорным знаниям нам удалось свести задачу с шестью факторами всего к трем. Это огромная экономия времени и денег. Если, конечно, в наших рассуждениях и знаниях нет ошибок.

Теперь можно заняться собственно планированием. Прелесть со- временного подхода заключается в том, что мы научились проводить опыты так, чтобы одновременно изменялись уровни всех факторов (в данном случае – трех). А результаты можно было бы рассматри- вать при желании для каждого фактора отдельно. Это не только весьма существенно повышает эффективность эксперимента и сни- жает его объем, но одновременно существенно повышает его точ- ность. Можно было бы ставить эксперимент так. Зафиксировать, скажем, сливки и консистенцию, и менять только уровень шоколада, измеряя при этом степень удовлетворенности потребителя. Найдя наилучший уровень шоколада, и зафиксировав его, можно было бы менять уровень сливок, сохраняя постоянную консистенцию. И дей- ствовать так, пока не кончатся рассматриваемые факторы. Такой эксперимент принято называть однофакторным. Его очень любил великий французский ученый Ле Шателье. Он даже говорил, что только идиоты меняют одновременно несколько факторов. Увы! Да- же великие люди время от времени оказываются не правы. Мы воз- держимся от эпитетов в его адрес.

Сейчас мы не станем доказывать правоту наших утверждений на этот счет, но, поверьте, они существуют и могут быть предъявлены по первому требованию [2]. Лучше продолжим наш рассказ. При- дирчивый читатель заметил, конечно, что мы не учли еще много факторов, с которыми следовало бы считаться. Так, например, мы не рассматривали стоимость напитка, вид сливок, варианты различ- ных добавок и т.д. Когда-нибудь мы научимся решать задачи с очень большим числом факторов. Но пока мы еще только начинаем, будем утешать себя мыслью о том, что сначала надо найти основной ре- цепт, изучая различные соотношения наших трех факторов, а затем можно продолжить процесс совершенствования. Мы же понимаем, что он непрерывен и бесконечен.

Итак, приступим к построению собственно программы экспери- мента. Различные шоколадные смеси будем делать с разными уров- нями какао и сахара, сливок, получаемых из цельного сухого молока с помощью распылителя, и гуаровой смолы (естественного сгустите-

8

ля или наполнителя, получаемого из сока растения гуар, растущего в Индии). Были определены реальные диапазоны уровней для каждо- го ингредиента, которые затем разбили на 11 категорий, представ- ленных в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Уровни для ингредиентов горячего жидкого шоколада

Степень удовлетворенности потребителя оценивалась по субъек- тивной стобалльной шкале. Причем чем ближе к ста, тем выше удов- летворенность потребителя.

Напиток готовился в стакане емкостью 180 г, который заполнялся приблизительно до объема в 160 г, при температуре 170 °F. Может показаться странным использование искусственной шкалы, приве- денной в табл. 1.1. Ведь можно было пользоваться точными резуль- татами взвешивания и измерения в весовых или объемных единицах. Но на практике редко прибегают к точным измерениям в подобных случаях. У бармена просто нет времени для столь тщательных мани- пуляций. Поэтому такой, более грубый, подход вполне уместен. Из- быточная точность, не соответствующая ситуации задачи и ее требо- ваниям, всегда приводит к увеличению объема эксперимента, а зна- чит, и времени, и затрат.

Следующий естественный шаг в наших действиях – определение на основе априорной информации такого рецепта, который представ- ляется наиболее вероятным для решения задачи. Вряд ли мы сможем угадать оптимальный рецепт сразу. Тем более, что у нас в команде на этот счет есть разногласия. Но, во-первых, чем ближе наш выбор бу- дет к действительному оптимуму, тем быстрее и проще мы его оты-

9

щем. А во-вторых, все равно нужна какая-то точка отсчета, «печка», от которой и пойдут «танцы». Наша команда решила, что такая точка соответствует 5-й категории для сливок и для шоколада и 3-й катего- рии для консистенции. Это значит, что исходные представления большинства нашей команды о том, какой напиток придется более всего по вкусу потребителю, сводятся к тому, что он должен содер- жать умеренное количество сливок и шоколада и быть скорее жид- ким, чем густым. Кроме того, в этот момент наша команда полагала, что шоколад играет более важную роль, чем сливки.

Таким образом, точка отсчета у нас есть. Для сравнения разных вариантов удобнее всего рассматривать уровни ингредиентов, распо- ложенные симметрично относительно этой центральной точки. Более того, поскольку требования к точности результатов не слишком вы- соки, не стоит брать более двух разных уровней для каждого ингре- диента. Как далеко их взять от центральной точки зависит от того, что мы знаем или думаем относительно того, насколько сильно из- менение уровней того или иного фактора скажется на оценках потре- бителя. Если мы думаем, что зависимости слабы, то стоит выбирать далеко отстоящие уровни, а если мы полагаем, что зависимости сильные, то лучше пользоваться ближайшими значениями. Конечно, здесь легко ошибиться, но это дело поправимое. Результаты первой же серии экспериментов помогут нам скорректировать выбранные уровни. После зрелых размышлений мы решили отступить от сред- него значения на два уровня – соответственно вверх и вниз. В ре- зультате получается табл. 1.2.

Теперь осталось перебрать все возможные сочетания трех факто- ров на двух уровнях каждый. Всего получится 8 различных вариан- тов. Плюс нулевая точка – итого 9. Их можно свести в табл. 1.3, где в последнем столбце приведены результаты оценки напитка потре- бителем в баллах.

10