Введение в планирование экспериментов. Учебное пособие

Очень важно подчеркнуть, что мы подставляли именно кодированные значения факторов. При подстановке натуральных значений все нару- шится. Вообще, только коэффициенты уравнения, полученного для коди- рованных переменных, имеют физический смысл и их можно интерпре- тировать независимо друг от друга. В основе этого кажущегося парадокса лежит тот факт, что наш план эксперимента устроен так, что обладает свойством независимой оценки роли факторов. Математики называют это свойство плана – «ортогональностью».

Теперь, когда мы вычислили коэффициенты уравнения плоскости

исделали предсказания для экспериментальных точек, возникает во- прос: хорошо ли предсказывает наше уравнение, значение отклика или плохо? Ясно, что уравнением плоскости нельзя описать все про- цессы, какие только есть на свете. Бывают же и другие поверхности

исоответствующие им уравнения. Нужна какая-то мера «качества» соответствия. Первое, что приходит в голову, – это требование абсо- лютно точного соответствия фактических и предсказанных значений. Беда в том, что этим критерием нельзя воспользоваться. А виноват в этом живший в XIX в. немецкий математик Карл Вейерштрасс и его любимая ученица Софья Ковалевская. Вейерштрасс сформулировал теорему, которую иногда называют «основной теоремой алгебры». Ее смысл заключается в том, что если есть в пространстве некоторой размерности определенное множество несовпадающих точек, то все- гда существует полином, степень которого не выше, чем число точек минус единица, причем такой, что он пройдет в точности через каж- дую точку. Выходит, что достаточно взять в полиноме не четыре ко- эффициента, а восемь, как все экспериментальные точки обязательно совпадут с расчетными. Если, конечно, не будет арифметических ошибок. Вот если при малом числе коэффициентов будет полное совпадение, тогда другое дело. Тогда можно думать, что мы наткну- лись на реализацию какого-то закона природы, может быть, даже но- вого. Когда вид уравнения известен заранее, можно говорить об изу- чении разностей двух последних столбцов табл. 2.4, которые принято называть «остатками». Но и тогда нужен некоторый «эталон сравне- ния». Наша ситуация сложнее: мы не знаем ни «правильного» урав- нения, ни эталона. Приходится двигаться последовательно. Сначала мы предполагаем, что уравнение задано. Например, что это то урав- нение, которое мы построили. Тогда попытаемся подыскать эталон для его остатков.

Сначала давайте вычислим сами остатки и на всякий случай возве- дем их в квадрат. Расширим для этого табл. 2.4 и получим табл. 2.5.

21

На этот раз сумма остатков равна нулю, значит, в арифметике ошибок нет, а сумма квадратов остатков равна практически 20 (19,99). Чтобы получить оценку выборочной остаточной дисперсии, надо поделить эту сумму на четыре, поскольку четыре степени сво- боды ушло на вычисление коэффициентов уравнения. В результате получится: s2 = 5, а s, соответственно, примерно 2,25.

Бросается в глаза резкий контраст между нашей первой попыткой оценить вариацию относительно среднего, когда ее квадрат оказался равным 354,59, а корень квадратный из нее – около 19, и тем, что по- лучилось сейчас: 5 и 2,25 соответственно. Можно ли придать всем этим арифметическим упражнениям хоть какой-нибудь физический смысл? Конечно! Что значит среднее равно 51,625? Это значит, что мы получили уравнение плоскости, в котором все коэффициенты, кроме свободного члена, равны нулю. Теперь мы сравниваем пред- сказание с помощью такого уравнения с нашей моделью, где есть еще три коэффициента, отнюдь не равных нулю. Без всякой матема- тики видно, что наше уравнение гораздо лучше.

Лучше-то, лучше. А насколько? Можно ли его еще улучшить? Есть ли другие важные факторы, до которых мы пока не добрались? Все это – «законные» вопросы. Как ни крути, нужен все-таки «эталон сравнения», масштаб. Проще всего было бы сравнивать с тем, на- сколько различаются результаты параллельных опытов. А для этого надо их иметь. Действительно, большая точность, чем то, что спосо- бен показать эксперимент в параллельных опытах, нам ни к чему. Все, что «более точно», будет просто игрой случая. Казалось бы, все просто. Но само понятие «параллельные опыты» оказывается доста- точно запутанным. Мы не будем сейчас им заниматься серьезно. От-

22

метим только, что если сама ошибка опыта не зависит от условий его проведения, то вполне достаточно провести параллельные опыты только в одной точке, например, в центральной. Так обычно и посту- пают легковерные люди и большие экономы. Люди солидные и осто- рожные, конечно, проверяют эту гипотезу. Ветер им в паруса! Долго это и хлопотно.

Но если нет никакой возможности проделать хотя бы пару-тройку параллельных опытов, тогда остается использовать старые знания, аналогию или гаданье на кофейной гуще. Можно даже использовать сравнение опыта в нулевой точке и предсказания по уравнению. Для этого мы и припасли опыт в нулевой точке. Приходится верить, что плоскость – это и есть действительная зависимость. У нас в этой точ- ке получилось отклонение +1,375. Его квадрат равен 1,89. Будет ли число 5 существенно больше, чем число 1,89? Их отношение равно 5:1,89 = 2,65; такое отношение в статистике называется критерием Фишера [6]. Не будем утруждать вас проверкой. Скажем просто, что толком сказать ничего нельзя: слишком мало данных. Нас это сму- тить не может. Мы будем действовать так, будто уравнение прекрасно, и посмотрим, как можно попробовать найти условия следующей серии опытов, направленных на улучшение рецепта шоколадного напитка. В отличие от предыдущей главы, где мы действовали интуитивно, те- перь мы располагаем гораздо большим объемом знаний. Это дает наде- жду на то, что знания сократят путь к цели. Посмотрим. Однако не все сразу. Оставим дальнейшие шаги до следующей главы.

23

3. ЭКОНОМИМ ОПЫТЫ

Ну что ж, пора продолжить наше знакомство с планированием экспериментов. Как вы помните, в первой главе мы удачно сделали рецепт шоколадного напитка, варьируя три ингредиента: сливки, шо- колад и наполнитель. Теперь от гостей нет отбоя – все хотят попро- бовать. И это – хорошо.

Идея была очень простая. Сначала надо было организовать систе- матическое разнообразие вариантов, меняя доли ингредиентов в сме- си. Для этого интуитивно был выбран начальный вариант – «печка, от которой танцуют». Это был лучший из известных рецептов. Ока- залось, однако, что среди опробованных новых рецептов попались гораздо более перспективные. Из них, естественно, был выбран са- мый перспективный вариант, и «печку» перенесли в него, после чего весь ритуал повторился уже в новых условиях. После третей итера- ции мы получили почти идеал. Дальше идти было некуда.

Казалось бы, все хорошо. Но мы все-таки решили убедить Вас в том, что есть путь получше. Получше в том смысле, что можно по- лучить аналогичный результат, проведя меньше опытов. Поддавшись на нашу удочку, вы оказались вынужденными читать длинные рас- суждения, сдобренные математикой. Мало того, что на это ушла вся вторая часть нашей работы, да еще этого не хватило. Во второй части удалось рассмотреть только первую таблицу первой части. Теперь же пути расходятся. В этой части мы попытаемся нащупать прямую до- рогу от результатов первой серии опытов к наилучшему – оптималь- ному – режиму. Это направление называется направлением градиен- та, а движение в этом направлении – движением по градиенту. Если найти это направление, то, конечно, можно добраться до оптимума быстрее, чем методами из первой части.

Давайте сначала попробуем сочетать алгебру с геометрией, кото- рая придает нашим действиям наглядность. Источником информации о направлении градиента служит уравнение, полученное нами в тяж- ких трудах в предыдущей части. Вот оно:

Это линейное уравнение, поскольку переменные входят в него в первых степенях. Если бы была всего одна переменная, то это было бы уравнение прямой в координатах х – Y. Если бы переменных было две, то это была бы плоскость в трехмерном пространстве. Но у нас переменных три, поэтому получается уравнение плоскости в четы-

24

рехмерном пространстве. А рисовать четырехмерное пространство мы еще не научились (не мы с вами, а вообще люди!). Вот вам и на- глядность. Но, не расстраивайтесь. Люди давно научились выходить из положения с помощью разнообразных приемов. И ничто не меша- ет нам ими воспользоваться.

Все эти приемы основаны на понижении размерности пространст- ва. Первый шаг сделал несколько веков назад человек, которого зва- ли Меркатор. Он научился изображать горы и морские глубины на плоских картах с помощью линий равной высоты или равной глуби- ны. Таким образом, вместо трехмерного пространства можно обой- тись двумерным. Значит, мы можем нарисовать плоскости равных значений отклика. Но картинка получается слишком сложной, по- этому попробуем добиться еще большего упрощения.

Действительно, почему бы нам не зафиксировать какой-то один фактор, например, х3 , на нескольких уровнях и не построить обыч- ные уравнения плоскостей? Набор таких картинок даст наглядное представление о реальной ситуации.

Если положить х3 = 0, то в исходном уравнении (3.1) исчезнет по- следний член и получится уравнение

Напомним, что в наших уравнениях факторы могут быть только

вкодированной форме. Сначала надо перевести значение фактора

вкодированную форму и только потом подставлять его в уравнение.

Инаоборот, если мы захотим решать наши уравнения относительно значений факторов, то мы получим результат в кодированной форме и затем сможем найти его «натуральное значение». Так, положив

х3 = 0, мы используем наполнитель на нулевом уровне, который в нашем случае равен 3 единицам. И уравнение (3.2) справедливо только при этом условии.

Результаты первой серии опытов подсказывают, что имеет смысл рассматривать значения откликов примерно от 15 до 85, поскольку фактические значения меняются от 21 до 78. Существует много ком- пьютерных программ, помогающих нам строить соответствующие картинки. Конечно, если у вас есть возможность, программами стоит воспользоваться. Но мой опыт показывает, что один раз стоит проде- лать вычисления вручную, чтобы их «прочувствовать». Поэтому я продемонстрирую вам простой ручной способ вычислений.

Если в уравнение (3.2) подставить значение отклика, например 40, то мы получим

25

40 = 51,625 + 15,375х1 + 6,125х2.

Известно, что для построения прямой достаточно знать на ней две точки. Подставляя два разных значения х1 и х2 и вычисляя соответст- вующие значения, мы получим искомые точки, а соединив их, най- дем прямую. Удобно находить значения одной переменной при ну- левом значении другой и наоборот. В результате получим

при х1 = 0, х2 = –1,9, а при х2 = 0, х1 = –0,76.

Напомним, что все значения – кодированные. Мы можем не забо- титься о физическом смысле, поскольку сами прямые нас интересу- ют только в области экспериментирования и вблизи нее. А там они заведомо имеют смысл.

Аналогично можно построить набор параллельных прямых для лю- бых заданных значениях откликов. На рис. 3.1 приведены результаты та- ких расчетов. Теперь пора вспомнить, что мы выбрали вариант с х3 = 0. Давайте построим такие же картинки для х3 = 1 и х3 = – 1. И аналогич- ные картинки для соответствующих трех вариантов для х1 и х2. Оста- лось свести все вместе и получить окончательный результат.

Конечно, имея опыт чтения таких картинок, вы легко можете вос- создать трехмерный образ. Но на всякий случай мы облегчим вашу задачу и сделаем соответствующую картинку сами. Она представле- на на рис. 3.2.

Таким образом, нам удалось представить уравнение (3.1) в графи- ческом виде. Но зачем нам нужны все эти страдания и мучения? От- вет прост. Если в нулевой точке построить перпендикуляр к плоско- стям равных откликов, то он укажет координаты точек в пространст- ве факторов, которые лежат на направлении градиента. Значит, если искать оптимальный вариант, то не надо рыскать по сторонам, а по- следовательно двигаться в сторону, указанную направлением гради- ента. Конечно, за границами области эксперимента – это экстраполя- ция, и неясно, насколько она окажется оправданной. Но мы можем проверить ее эффективность прямым экспериментом, причем гораздо меньшего объема, чем тот, что нам пришлось провести в первой час- ти этой работы. Осталось посмотреть. Для этого нужно найти на- правление градиента, наметить и реализовать экспериментально дви- жение по градиенту. Ну а затем останется сравнить результаты.

Итак, давайте найдем направление градиента сначала геометриче- ски, а затем и аналитически (рис. 3.3).

26

Рис. 3.1. Варианты сечений для любой пары факторов при трех фиксированных значениях третьего фактора

На рис. 3.3 убраны плоскости, но зато проведена линия, которая и задает направление градиента для наших данных. Внутри куба линии проведены пунктиром, а за его пределами – сделаны сплошными. На направлении градиента выбраны несколько точек, в которых по- казано значение отклика. И эти значения доведены до 100. Дальше идти некуда.

27

превысить 90, тогда мы окажемся в области, близкой к оптимально- му сочетанию ингредиентов нашего напитка. Поскольку наши экс- перты способны оценивать напиток в баллах с точностью примерно минус пять – плюс пять единиц, вряд ли стоит стремиться еще ближе к ста, чем 90–95 единиц.

Давайте теперь найдем точки на градиенте аналитически. Для это- го мы воспользуемся табл. 2.1. Мы не стали включать в нее саму матрицу планирования и результаты опытов. Эта матрица уже успела нам надоесть в двух предыдущих частях нашего затянувшегося рас- сказа. Ее место между первым и вторым блоками табл. 3.1, между строкой со значениями нижнего уровня факторов и строкой со зна- чениями коэффициентов уравнения. В этой отсутствующей таблице условия опытов принято записывать в кодированном виде, а вот вы- числения направления градиента и условий опытов, которые ему со- ответствуют, удобнее вести снова в натуральных значениях факто- ров. Поэтому мы повторили строчку с обозначениями факторов.

29

Вычисление координат точек, принадлежащих градиенту, очень просто. Сначала мы берем три коэффициента при факторах и округля- ем их до одного знака после запятой. Наверное, это с запасом, учиты- вая ту точность, на которую способны наши эксперты. Свободный член никак не участвует в вычислении градиента. Давайте вспомним из школьной алгебры, что коэффициент – это не что иное как тангенс угла наклона плоскости по отношению к соответствующей коорди- натной оси. Если тангенс угла наклона умножить на интервал варьи- рования, который одновременно служит прилежащим катетом прямо- угольного треугольника, то получится противолежащий катет. А его верхняя точка как раз и будет лежать на градиенте. Если проделать эту операцию со всеми тремя факторами, то получится строка:

30,8 12,2 14,8

Конечно, точка с такими координатами принадлежит градиенту, но находится страшно далеко от той области, где мы работаем. По- этому непосредственно их нельзя использовать. Однако мы работали не напрасно. Любой набор из трех координат, пропорциональный полученному нами, будет тоже принадлежать градиенту. Значит, можно подобрать удобные числа, например, такие, как показано в строке «Шаги». Этот выбор произволен, но не влияет существенно на результаты. Просто нам надо найти точки на градиенте внутри куба и в его близкой окрестности. Ставить дополнительные опыты внутри куба вряд ли имеет смысл. Там мы и так «все» знаем. А за границами куба на градиенте лежат точки, часть из которых сто- ит реализовать в эксперименте. Благодаря такому эксперименту мы надеемся найти наилучшее возможное значение отклика.

Полученные в строке «Шаги» значения стоит округлить, как показа- но, например, в следующей строке. Вот теперь мы готовы к вычисле- нию условий опытов, принадлежащих градиенту. Для этого остается последовательно прибавлять округленные шаги к условиям нулевого опыта. Можно сделать сколько угодно таких мысленных шагов, с тем чтобы потом реализовать некоторые из них. В табл. 3.1 приведены де- вять мысленных опытов, причем первые четыре – внутри куба, а ос- тальные пять – за его границами. И для них по нашему уравнению вы- числены ожидаемые или предсказанные значения. Поскольку они нахо- дятся в области экстраполяции, не приходится ожидать, что экспери- мент подтвердит ожидания. Но мы на это и не рассчитываем. Важно не сбиться с верного пути. Помните, что в первой части мы провели еще целых две серии опытов, чтобы нащупать оптимум. А здесь надеемся обойтись тремя-четырьмя. Почувствуйте разницу.

30