Введение в планирование экспериментов. Учебное пособие

Давайте попробуем реализовать опыты 6, 7 и 8. В нашем случае задача усложняется еще и тем, что экспериментатору трудно точно задавать ингредиенты в дробных долях. Несомненно, эта трудность дополнительно снижает точность опытов. Тем не менее мы получили следующие результаты: 86; 95; 91. Итак, опыт № 7, в котором надо взять 8,5 сливок, 6,4 шоколада и 4,75 наполнителя, дал наилучший результат. Нельзя сказать, что мы получили что-то из ряда вон выхо- дящее. У нас уже был результат 93, практически не отличающийся от 95, но мы теперь хорошо представляем себе область оптимальных составов. И если сначала нам потребовалось целых 27 опытов, то те- перь только 12. Это и демонстрирует, на наш взгляд, силу планиро- вания эксперимента и оправдывает усилия, связанные с овладением этим нехитрым делом. Засим, желаем вам приятного аппетита.

31

4. ДАЕШЬ ПОДРОБНОСТИ!

Только я решил, что дело сделано, и собрался заняться чем- нибудь более интересным, как появились недовольные читатели. Они стали говорить, что я не оправдал их ожиданий, что они мечтали научиться получать оптимальный результат сразу, ничего не делая, продолжая лежать на печи да есть куличи, запивая их моим шоко- ладным напитком. А вместо этого я предлагаю им провести целых 12 опытов! Многовато будет. А нельзя ли поменьше? Иногда можно. Вот с этого момента поподробнее, сказали они. Пришлось снова са- диться за компьютер и писать следующую главу – главу о дробном факторном эксперименте.

Действительно, давайте посмотрим на табл. 2.5. Последний опыт нам пока не нужен. Остальных опытов получается 8. А в уравнении плоскости для трех факторов всего четыре коэффициента, значения которых надо определить по результатам опытов. Чувствуете, здесь есть некоторый запас: много «лишних» степеней свободы. Целых четыре: восемь минус четыре. Нельзя ли их сэкономить? Давайте попробуем.

Представьте себе на минутку, что в вашей задаче не три, как у нас, а всего два фактора. Тогда вместо табл. 2.5 мы могли бы обой- тись табл. 4.1.

Прекрасно. По результатам этих четырех опытов можно найти уравнение плоскости в трехмерном пространстве, в котором три не- известных до начала опытов коэффициента: свободный член и два коэффициента при факторах. Значит, у нас есть одна степень свобо- ды! Как ее можно использовать? Можно, например, найти коэффи- циент, характеризующий взаимодействие между двумя нашими фак-

торами. Его называют эффектом взаимодействия двух факторов или взаимодействием первого порядка. Если такой коэффициент ста-

тистически значим, т.е. не случайно отличается от нуля, то значит зависимость между нашими факторами описывается уже не уравне-

32

нием плоскости, а более сложным уравнением второго порядка, в данном случае – неполным квадратным уравнением. Геометриче- ски оно представляет собой гиперболический параболоид. Он выгля- дит совсем не так страшно, как звучит. Те из вас, кто видели шухов- скую телевизионную вышку в Москве, могли заметить, что блоки этой конструкции как раз построены как части гиперболических па- раболоидов в трехмерном пространстве.

Но зачем нам, скажите на милость, уравнение второй степени, ес- ли мы заранее знаем, что наша зависимость хорошо описывается уравнением плоскости? Тогда, конечно, не надо лишний раз «щеко- тать» компьютер. А «лишнюю» степень свободы можно использо- вать, например, для проверки адекватности уравнения. Правда, с все- го одной степенью свободы много не напроверяешь – слишком вели- ка неопределенность. Тем более, что есть идея получше.

Действительно, представьте себе, что пока вы размышляли о судьбах степеней свободы, выяснилось, что при постановке задачи была пропущена еще одна очень важная переменная. Был упущен важный фактор. Почему бы его не подставить вместо несуществую- щего парного взаимодействия? Все равно же оно равно нулю, поэто- му эффект, который с ним смешается, не исказится существенно, а опыты мы сэкономим. Такая подстановка приводит к идее дробного факторного эксперимента. К идее регулярных дробных реплик. Здесь мы существенно выгадываем на числе опытов, и тем сильнее, чем больше факторов рассматривается одновременно. При этом, конечно, резко возрастает риск, связанный с нашими априорными представле- ниями о виде модели. Если мы плохо понимаем природу моделей, то «экономия» выйдет нам боком. К нашему счастью, есть еще одна возможность, позволяющая нам широко использовать дробные реп- лики – части от полного факторного эксперимента. Она связана с тем, что при малых расстояниях любая сложная поверхность может легко сойти за плоскость, тем более, если велика ошибка экспери- мента. Управляя размерами области, в которой мы собираемся экс- периментировать, мы почти всегда можем добиться того, что в ста- тистическом смысле наша поверхность станет неотличимой от плос- кости, а значит, все эффекты взаимодействия станут неотличимы от нуля. Вот тут то мы и будем существенно экономить, проводя вместо полного факторного эксперимента его регулярную часть, называе- мую регулярной дробной репликой. Итак, к табл. 4.1 мы должны до- бавить столбец с взаимодействием двух факторов. В результате по- лучим табл. 4.2.

33

Столбец парного произведения получается просто перемножени- ем знаков в каждой строке по правилу: произведение двух одинако- вых знаков всегда дает плюс, а произведение двух разных знаков всегда дает минус. Теперь осталось приравнять x1x2 к х3 и провести опыты. В нашем случае всего этого делать не надо, поскольку нуж- ные нам строки и столбцы уже есть в табл. 2.5. Давайте извлечем их оттуда и построим табл. 4.3.

Таблица 4.3

Дробный факторный эксперимент для трех факторов с четырьмя опытами и результаты опытов

В табл. 2.5 это опыты с номерами 5, 2, 3, 8. Мне кажется, что по- вторять правила вычисления коэффициентов уравнения модели скучно, поэтому приведу сразу готовое уравнение:

Y = 51,25 + 12,75х1 + 4,75х2 + 6,75х3.

Как же теперь убедиться, что направление градиента будет мало отличаться от полученного нами ранее? Давайте попробуем найти точки, которые теперь лежат на направлении градиента и сравним их с теми, что мы нашли раньше по полному факторному плану из табл. 2.5. Вспомним, что в табл. 3.1 мы удваивали все коэффици- енты, кроме свободного члена, и находили точки, пропорциональные полученным. Там для первого, второго и третьего факторов, соответ- ственно была пропорция 0,5; 0,2; 0,25. Если теперь мы проделаем то же самое с нашим новым уравнением, то получим приблизительно значения 0,5; 0,19; 0,26. Мне кажется, что комментарии излишни. В пределах точности нашего эксперимента получилось практически то же самое направление градиента. А опытов теперь не двенадцать, как было раньше, а только восемь! Везет лежебокам!

34

Было бы нечестно с моей стороны говорить, что именно так надо поступать всегда. К сожалению, в реальной жизни существует масса препятствий, которые не гарантируют успех такой экономии. Но ре- гулярная процедура, описанная в предыдущих главах, практически гарантирована. У нас здесь слишком мало факторов, чтобы рассчи- тывать на большую экономию числа опытов.

Надеюсь, что теперь вы готовы самостоятельно решать простые зада- чи и читать специальные учебники и публикации. Желаю вам успеха.

Конечно, если вам захочется продолжения, только свистните, я не заставлю себя ждать.

Вы никогда бы не прочли этот текст, если бы Владимир Львович Шпер не помог мне построить рис. 3.1, а Тамара Андреевна Чемлева все остальные картинки. Это потребовало от них мастерства и изо- бретательности, которыми я, увы, не владею. Я больше по части сла- достей специализируюсь. За что им от меня и, надеюсь, от вас ог- ромная благодарность.

Библиографический список

1.Hoerl R.W., Snee R.D. Statistical Thinking: Improving Business Performance. – Duxbury: Thomson Learning. – Australia, Canada, a.o., 2002. – 526 p. (P. 288–291).

2.Налимов В.В. Теория эксперимента. – М.: Наука, 1971. – 208 с.

3.Адлер Ю.П. Введение в планирование эксперимента. – М.: Ме-

таллургия, 1969. – 158 с.

4.Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование экспе-

риментов при поиске оптимальных условий. – М.: Наука, 1971 (2-е изд., перераб. и доп. – 1976).

5.Адлер Ю.П. Предпланирование эксперимента. – М.: Знание, 1978. – 72 с.

6.Fisher R.A. The Design of Experiments. – Edinburgh: Oliver and Boyd, 1935.

35

Учебное издание

Адлер Юрий Павлович

ВВЕДЕНИЕ В ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

Учебное пособие

Редактор Л.М. Цесарская

Компьютерная верстка А.С. Анциферова

Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС», 119049, Москва, Ленинский пр-т, 4

Издательский Дом МИСиС, 119049, Москва, Ленинский пр-т, 4

Тел. (495) 638-45-22

Отпечатано в типографии Издательского Дома МИСиС 119049, Москва, Ленинский пр-т, 4

Тел. (499) 236-76-17, тел./факс (499) 236-76-35

36