Управление финансовыми рисками. Практикум

Шаг 2. Лицу, принимающему решение, предлагается на выбор следующая альтернатива: получить некоторую гарантированную денежную сумму v, находящуюся между лучшим результатом amax и худшим результатом amin, либо с вероятностью p получить наибольшую денежную сумму amax или с вероятностью (1 – p) – наименьшую сумму amin. При этом вероятность изменяется (понижается или повышается) до тех пор, пока ЛПР не станет безразличным к выбору между этими альтернативными вариантами. Пусть указанное значение вероятности равно p0. Тогда полезность гарантированной суммы определяется как среднее значение (математическое ожидание) полезностей наименьшей и наибольшей сумм, т.е.

U(v) = p0 U(amax ) +(1− p0) U(amin ).

В общем случае график функции полезности может трех типов (рисунок 3.1):

Полезность

(U)

Полезность

(U)

Доход

в

Рисунок 3.1 – Типы функций полезности Неймана – Моргенштерна для ЛПР, не склонного к риску (а), безразличного к риску (б), склонного к риску (в)

21

-- для ЛПР, не склонного к риску, – строго вогнутая функция, у которой каждая дуга кривой лежит выше своей хорды (рисунок 3.1, а);

-- для ЛПР, безразличного к риску, – прямая линия (рисунок 3.1, б);

-- для ЛПР, склонного к риску, – строго выпуклая функция, у которой каждая дуга кривой лежит ниже своей хорды (рисунок 3.1, в).

Пример

Необходимо выбрать лучший вариант вложений по показателям «ожидаемая доходность» и «ожидаемая полезность» по исходным данным, приведенным в таблице 3.1.

Таблица 3.1 – Исходные данные

Рассчитаем ожидаемую доходность по каждому варианту инвестирования:

xА = 0,5∙20 + 0,5∙40 = 30 млн руб.; xБ = 0,5∙(–10) + 0,5∙70 = 30 млн руб.

Сточки зрения объективиста варианты инвестирования равнозначны. Рассмотрим, как изменится вывод при учете отношения лица, принимающего решения, к риску. Для этого сначала построим для ЛПР индивидуальную функцию полезности.

Процедура построения индивидуальной функции полезности состоит из следующих этапов.

На первом этапе алгоритма задаются произвольные значения полезностей для лучшего и худшего результатов. Предположим, что U(–10) = 0 U(70) = 5. Полезности промежуточных значений результатов будут находиться в интервале от 0 до 5.

На следующем этапе алгоритма построение функции полезности лицу, принимающему решения, предлагается на выбор два варианта: первый вариант – получить гарантированную сумму, находящуюся между максимальным и минимальным значениями, или второй вариант – получить максимальный результат

22

с вероятностью p или минимальный результат с вероятностью (1 – p). Называются разные значения p до тех пор, пока ЛПР не станет безразличным к выбору указанных двух вариантов. Предположим, что для результата 20 млн руб. такая вероятность равна 0,2. Тогда полезность этого промежуточного результата будет равна

U(20) = 0,2∙U(70) + (1–0,2)∙U(–10) = 0,2∙5 + 0,8∙0 = 1. Для результата 40 млн руб. полезность будет равна U(40) =0,3∙U(70) +(1–0,3)∙U(–10) = 0,3∙5 + 0,7∙0 = 1,5.

Результаты расчетов представлены в таблице 3.2. После получения нескольких значений U(v) строится функция полезности (рисунок 3.2). Очевидно, что полученная функция может использоваться лицом, принимающим решение, для которого она строилась, при анализе различных вариантов инвестирования.

Таблица 3.2 – Значения полезности для различных уровней годового дохода

Рисунок 3.2 – Функция полезности, построенная по данным таблицы 3.2

Используя функцию полезности (см. рисунок 3.2) рассчитаем ожидаемую полезность по вариантам инвестирования:

ОПА = 0,5∙1 + 0,5∙1,5 = 1,25;

ОПБ = 0,5∙0 + 0,5∙5 = 2,5.

23

По результатам расчетов можно сделать вывод, что с точки зрения ожидаемой полезности лучшим является вариант инвестирования Б.

3.2 Указания по решению задач

Необходимо построить функцию полезности по данным таблицы 3.3.

Таблица 3.3 – Исходные данные по двум вариантам инвестирования

24

4 Метод экспертных оценок

4.1 Теоретические предпосылки

Для определения суммарного риска методом экспертных оценок можно использовать следующую формулу:

R =∑Bi Wi,

i

где Bi – балльные оценки факторов риска; Wi – весовые коэффициенты факторов риска.

Для оценки риска в баллах часто используется шкала от 0 до 10. Весовые коэффициенты обычно определяются таким образом, чтобы ∑Wi = 1.

По уровню суммарного риска определяется зона риска. Характеристики зон риска представлены в таблице 4.1.

Таблица 4.1 – Характеристика зон риска

Рассмотрим метод экспертных оценок на следующем примере [5]. Реализация проекта связана с шестью рисками:

-- подготовка проекта; -- строительство; -- финансирование;

-- социальные проблемы; -- техническое состояние производства; -- экология.

В таблице 4.2 приведены установленные экспертным путем балльные оценки рисков и весовые коэффициенты, которые отражают долю влияния конкретного фактора риска.

Суммарный риск равен

R =∑Bi Wi = 4 · 0,4 + 3 · 0,2 + 6 · 0,15 +

i

+ 2 · 0,12 + 5 · 0,08 + 7 · 0,05 = 4,09.

25

Таблица 4.2 – Балльные оценки факторов риска и весовые коэффициенты

По результатам расчета можно сделать вывод, что рассматриваемый проект находится в зоне повышенного риска (см. таблицу 4.1).

4.2 Указания по решению задач

Оценить общую величину риска инвестиционного проекта по данным таблицы 4.3.

Таблица 4.3 – Данные о рисках инвестиционного проекта

26

5 Статистические методы оценки риска вложений в ценные бумаги

5.1 Теоретические предпосылки

Общий риск ценной бумаги. Общий риск ценной бумаги может оцениваться с помощью дисперсии по формуле [6]:

σ2k =β2k σ2m +σ2εk +2 βk ρ σm σεk =β2k σ2m +σ2εk ,

где σ2k – общий риск k-й ценной бумаги;

β2k σ2m – систематический (рыночный) риск k-й ценной бу-

маги;

σ2ε – несистематический (собственный) риск k-й ценной бумаги; k

ρ – коэффициент корреляции между рыночным и собственным риском, обычно считается, что ρ = 0.

Коэффициент β характеризует систематический риск и связан с изменением конъюнктуры на рынке ценных бумаг в целом под влиянием макроэкономических и политических факторов (роста или снижения ставки рефинансирования, инфляции, изменений в правительственной политике и т.д.). Действия этих факторов сказываются в той или иной мере на всех компаниях в данной стране.

Среднерыночный уровень риска соответствует коэффициенту β, равному единице. Инвестиции в компанию, у которой β превышает единицу, связаны с повышенным риском относительно среднего уровня. Значения β меньше единицы означают меньшую изменчивость и, следовательно, меньший риск.

Отрицательное значение коэффициента β означает тенденцию, противоположную рынку: при подъеме рынка акции компании падают, и наоборот.

Если акции компании котируются на бирже, то значение коэффициента β можно определить как тангенс угла наклона линии рынка и рассчитать по формуле

βk = σkm / σ2m ,

где βk – коэффициент для k-й акции;

27

σkm – ковариация между доходностью k-й акции и доходностью диверсифицированного портфеля;

σ2m – дисперсия доходности диверсифицированного порт-

феля.

В качестве индикатора доходности диверсифицированного портфеля можно использовать биржевые индексы. Для акций, котирующихся на российских биржах, это индекс Российской торговой системы (РТС), индекс ММВБ (IMOEX) и др.

Для предприятий, акции которых не котируются на бирже, в качестве оценки коэффициента β можно использовать его усредненное значение для аналогичных предприятий.

Пример расчета общего риска ценной бумаги. Рассчитаем общий риск ценной бумаги по следующим исходным данным (таблица 5.1).

Таблица 5.1 – Исходные данные

Средние значения доходности равны соответственно:

rm = −20,00 −18,75−4,62−19,35+60 =−0,54%; 5

r i = −20,00 −37,50 −12,00 −27,27 +50 =−9,35%. 5

Дисперсия доходности рынка равна

σ2M = (−20−(−0,54))2+(−18,75−(−0,54))2+(−4,62−(−0,54))2+(−19,35−(−0,54))2+(60−(−0,54))2 =1186,5. 4

Ковариация рассчитывается по формуле

где n – число значений.

28

Вспомогательные расчеты, необходимые для определения ковариации приведены в таблице 5.2.

Таблица 5.2 – Вспомогательные расчеты

σkm = 4660,94 =1165,2;

βi =1165,21186,5 =0,982.

Выполненные расчеты свидетельствуют о том, что бета-ко- эффициент для акций ПАО «Северсталь» близок к среднерыночному.

Собственный риск ценной бумаги определяется дисперсией изменения ее доходности. Для акций ПАО «Северсталь» он равен

Общий риск портфеля ценных бумаг. Инвестиции в ценные бумаги осуществляются не только в отдельные активы, но и в определенным образом подобранную совокупность активов, называемую портфелем ценных бумаг.

Общий риск портфеля ценных бумаг определяется по фор-

муле

σ2p =β2p σ2m +σ2εp,

где σ2p – общий риск портфеля ценных бумаг;

29

β2p σ2m – систематический (рыночный) риск портфеля ценных бумаг;

σ2εp – несистематический (собственный) риск портфеля ценных бумаг.

Бета-коэффициент портфеля ценных бумаг равен

n

βp =∑βk xk,

k=1

где xk – доля акций k-го вида в портфеле ценных бумаг.

Несистематический (собственный) риск портфеля ценных бумаг определяется по формуле

Обычно считается, что доходности активов, входящих в портфель, некоррелированы между собой.

Пример расчета общего риска портфеля ценных бумаг.

Рассчитаем риски портфеля ценных бумаг, состоящего из 50 % акций ПАО «Северсталь» и 50 % акций ПАО «ММК» по следующим исходным данным (таблица 5.3).

Таблица 5.3 – Исходные данные

Дисперсия доходности рынка σ2m =1186,5 была рассчитана в предыдущем примере.

Бета-коэффициент портфеля ценных бумаг равен:

βp =0,982 0,5+0,656 0,5 =0,819.

Несистематический (собственный) риск портфеля ценных бумаг равен:

30