Управление финансовыми рисками. Практикум

В1 = 0,33∙14 + 0,33∙12 + 0,33∙8 = 11,3 млн руб.; В2 = 0,33∙16 + 0,33∙14 + 0,33∙11 = 13,4 млн руб.; В3 = 0,33∙12 + 0,33∙14 + 0,33∙15 = 13,4 млн руб.

Наибольшая ожидаемая чистая прибыль соответствует второму и третьему вариантам.

1.2. Указания по решению задач

Задана матрица результатов A, где aij – результат i-го управленческого решения в j-х условиях реализации. Выбрать наилучшую стратегию с помощью различных методов принятия решения по следующим исходным данным.

11

2 Статистические методы принятия решения в условиях риска

2.1 Теоретические предпосылки

Можно выделить три основных подхода к оценке риска [3]: -- анализ статистических данных по неблагоприятным со-

бытиям, имевшим место в прошлом; -- теоретический анализ структуры причинно-следствен-

ных связей процессов; -- экспертный метод.

Любые экономические данные представляют собой количественные характеристики экономических объектов и формируются под действием множества факторов, которые не всегда доступны внешнему контролю. Неконтролируемые факторы могут принимать случайные значения из некоторого множества значений и тем самым обусловливать случайность данных, которые они определяют. Стохастическая природа экономических данных обусловливает необходимость специальных адекватных им статистических методов для их анализа и обработки.

Количественная оценка предпринимательского риска вне зависимости от содержания конкретной задачи возможна, как правило, с помощью методов математической статистки. Наиболее часто для оценки величины риска (степени риска) используются следующие показатели:

-- среднее ожидаемое значение (ожидаемая доходность); -- колеблемость (изменчивость) возможного результата

(среднее квадратическое отклонение, дисперсия, коэффициент вариации).

Рассмотрим статистическую выборку

x1, x2, …, xn; n1, n2, …, nn,

где xi – ожидаемое значение для каждого случая наблюдения (i = 1, 2, ...);

ni – число случаев наблюдения (частота) значения xi.

Среднее ожидаемое значение может быть рассчитано по формуле

x= ∑xi ni .

∑ni

12

Дисперсия равна

σ2 = ∑(x∑i −x)2 ni . ni

Вкачестве меры риска дисперсия впервые использована

в1952 г. американским экономистом, нобелевским лауреатом

Гарри Марковицем. Этот показатель используется при анализе риска на рынке ценных бумаг: чем больше дисперсия σ2 нормы рентабельности портфеля ценных бумаг, тем больше изменчивость фактора риска r и тем выше вероятность негативного развития событий (например, получения убытка по портфелю ценных бумаг, превышающего заранее установленный уровень) [4].

Вкачестве меры риска часто используется среднее квадратическое отклонение σ.

Показатели дисперсии и среднеквадратического отклонения как меры риска имеют ряд недостатков. Это обусловлено тем, что, как правило, инвестициям с большей доходностью соответствует больший риск. В этом случае для оценки риска лучше использовать относительные показатели (например, коэффициенты вариации, Шарпа, Трейнора и др.).

Коэффициент вариации kv представляет собой отношение среднего квадратического отклонения σ к ожидаемому (среднему) значению фактора риска x:

kV = xσ 100.

Пример расчета коэффициентов вариации

Рассмотрим два варианта вложения средств (например, в акции различных предприятий) (таблица 2.1).

Таблица 2.1 – Исходные данные по вариантам вложения средств

Требуется оценить риск вложений по каждому варианту с помощью коэффициента вариации.

13

Решение

В таблицах 2.2, 2.3 выполнены вспомогательные расчеты по вариантам вложения средств, необходимые для оценки риска каждого варианта.

Таблица 2.2 – Вспомогательные расчеты для варианта А

Взвешенные по вероятности результаты финансовых решений – это показатель, называемый «ожидаемая доходность»:

ОД =∑Pi xi,

где Рi – вероятность получения соответствующего резуль-

тата.

Среднее ожидаемое значение прибыли по рассматриваемым вариантам равно соответственно:

xA = 0,4∙25 + 0,3∙20 + 0,3∙30 = 25 млн руб.;

xБ = 0,3∙40 + 0,5∙30 + 0,2∙15 = 30 млн руб.

14

Находим среднее квадратическое отклонение и коэффициенты вариации по вариантам А и Б:

σA =1800120 =3,87 ; kvА = 3,8725 100 =15,5%;

σБ =5500100 =7,42; kvБ =7,4230 100 =24,7%.

Сравнение рассчитанных коэффициентов вариации kvА и kvБ показывает, что менее рискованным является вариант А, у которого коэффициент вариации меньше.

Кривая «риск – доходность». При принятии решения о выборе варианта инвестирования решается обычно одна из двух основных задач.

Задача 1 – выбор варианта с заданным уровнем ожидаемого дохода и минимальным риском.

Задача 2 – выбор наиболее доходного варианта инвестирования при заданном уровне риска.

Для решения этих основных стоящих перед каждым инвестором задач может быть использована кривая «риск – доходность». Исходные данные для построения кривой те же, что были использованы для расчета коэффициента вариации. После выполнения вспомогательных расчетов (см. таблицы 2.2, 2.3) для любого варианта строится эмпирическая (кумулятивная) функция распределения вероятностей при условии упорядочения по неубыванию значений величины результата (прибыли) (таблица 2.4). Кумулятивная функция распределения показывает вероятность того, что результат не превысит соответствующего значения.

Таблица 2.4 – Кумулятивная функция распределения по исследуемым вариантам

По данным таблицы 2.4 могут быть построены кривые «риск – доходность» (рисунок 2.1), на основе которых решаются две указанные выше задачи.

15

Доходность

Рисунок 2.1 – Кривые «риск – доходность» для двух вариантов вложений

При решении задачи 1 на оси абсцисс из точки, которая соответствует заданной инвестором величине прибыли, устанавливается перпендикуляр и по кривым, соответствующим различным вариантам инвестирования, выбирается вариант с минимальным риском.

При решении задачи 2 инвестор задается уровнем риска и определяет точки пересечения линии, параллельной оси абсцисс и соответствующей заданному уровню риска, с кривыми «риск – доходность» по рассматриваемым вариантам инвестирования. По полученным при этом координатам точек пересечения инвестор делает выбор лучшего варианта.

Пример определения лучшего варианта при заданном уровне прибыли

Предположим, инвестору необходимо выбрать лучший вариант, обеспечивающий прибыль не менее 25 млн руб.

Доходность

Рисунок 2.2 – Пример решения задачи 1 с помощью кривых «риск – доходность»

16

На рисунке 2.2 видно, что при заданной прибыли 25 млн руб. наименее рискованным является вариант Б.

Пример определения лучшего варианта при заданном уровне риска

Предположим, инвестору необходимо выбрать лучший вариант при уровне риска 0,6.

Доходность

Рисунок 2.3 – Пример решения задачи 2 с помощью кривых «риск – доходность»

На рисунке 2.3 видно, что при заданном уровне риска 0,6 наиболее прибыльным является вариант Б.

2.2 Указания по решению задач

Выбрать лучший вариант инвестирования по данным таблицы 2.5. Построить кривые «риск – доходность» и выбрать лучший вариант для заданных уровней доходности и риска.

Построить кривые «риск – доходность» и для самостоятельно заданных студентом значений величины прибыли и уровня риска выбрать лучший вариант инвестирования.

17

3 Функция полезности Неймана – Моргенштерна

3.1 Теоретические предпосылки

В рассмотренных выше оценках риска предполагалось, что лицо, принимающее решение, является объективистом. Однако в реальности на поведение ЛПР могут влиять различные факторы [2]:

-- отношение к риску вообще (склонность или несклонность к риску);

-- финансовое состояние; -- психофизиологические факторы и др.

Предположим, что люди предпочитают большее количество некоторого блага меньшему и чем больше вероятность крупного выигрыша, тем больше игра «стоит» (т.е. тем большая плата требуется на приобретение права участвовать в этой игре). Американскими учеными Дж. Нейманом и О. Моргенштерном было показано, что ЛПР, которое ведет себя в соответствии с указанными предположениями, при принятии решения будет стремиться к максимизации ожидаемой полезности. Другими словами, из всех возможных решений ЛПР выберет то, которое обеспечивает наибольшую ожидаемую полезность. Функция полезности Неймана – Моргенштерна позволяет получить решение с точки зрения субъективиста, т.е. лица, который к риску небезразличен.

Полезность – это некоторое число, приписываемое лицом, принимающим решение, каждому возможному исходу. У каждого ЛПР своя функция полезности, которая показывает его предпочтение тех или иных исходов в зависимости от его отношения к риску.

Для принятия решения в случае, когда ЛПР к риску не безразличен, необходимо уметь оценивать значения полезности каждого из допустимых исходов. Дж. Нейман и О. Моргенштерн предложили процедуру построения индивидуальной функции полезности, которая заключается в следующем: ЛПР отвечает на ряд вопросов, обнаруживая при этом свои индивидуальные предпочтения, учитывающие его отношение к риску. Значения полезностей могут быть найдены за два шага.

Шаг 1. Присваиваются произвольные значения полезностей худшему и лучшему результату, причем первой величине (худший исход) ставится в соответствие меньшее число. Тогда полезности промежуточных результатов будут находиться в этом интервале.

20