5.1 Исследовать состояние вырожденного электронного газа в твердом теле от температуры, которое описывается распределением Ферми-Дирака.

В результате расчёта получена энергия Ферми:

При температуре K тепловая энергия составляет:

Отношение: значительно больше единицы, что свидетельствует о сильном вырождении электронного газа. Это означает, что тепловая энергия недостаточна для существенного изменения распределения электронов по энергетическим уровням. Следовательно, состояние электронного газа определяется квантовой статистикой Ферми–Дирака, а не классическим распределением Больцмана.

2. Исследование температурной зависимости функции распределения Ферми-Дирака

2А. Невырожденный электронный газ

На графике распределения Ферми–Дирака наблюдается почти ступенчатый характер функции распределения: при

вероятность заполнения состояний близка к единице, а при

быстро уменьшается практически до нуля. Полученное значение энергии Ферми:

значительно превышает тепловую энергию:

поэтому выполняется условие:

Это означает, что температурное размытие распределения мало, и даже при K большинство энергетических состояний ниже уровня Ферми остаются заполненными. Температура влияет только на узкую область состояний вблизи уровня Ферми, что является характерным признаком сильно вырожденного электронного газа.

Рис. 29 - График распределения Ферми–Дирака (вырожденный электронный газ)

2Б. Невырожденный электронный газ (классическое приближение)

Классическое распределение Больцмана описывает случай невырожденного электронного газа, при котором вероятность заполнения состояний экспоненциально уменьшается с ростом энергии:

На графике функция распределения быстро убывает при увеличении энергии, однако её поведение существенно отличается от распределения Ферми–Дирака для рассматриваемого материала.

Поскольку для хрома:

электронный газ находится в вырожденном состоянии, и классическое приближение не выполняется. Это проявляется в том, что распределение Больцмана не учитывает принцип Паули и не описывает резкую границу заполнения состояний вблизи энергии Ферми. Степень размытия границы Ферми определяется отношением . В данном случае , следовательно, тепловая энергия значительно меньше энергии Ферми. Ширина области размытия порядка составляет менее 1% от , поэтому электронный газ является сильно вырожденным, а распределение Ферми–Дирака близко к ступенчатому.

Следовательно, для металлов использование статистики Максвелла–Больцмана приводит к некорректному описанию распределения электронов.

Рис. 30 - График распределения Ферми–Дирака (классическое приближение)

О зависимости состояния вырожденного электронного газа в твердом теле от температуры для вырожденного газа можно сделать следующие выводы:

1. Электронный газ нельзя описывать классической статистикой

Из-за принципа Паули электроны не могут занимать одинаковые квантовые состояния. Поэтому распределение Максвелла–Больцмана становится неприменимым, и для описания электронов необходимо использовать статистику Ферми–Дирака.

2. Температура слабо влияет на распределение электронов

Поскольку:

даже при нагреве основная часть электронов остаётся ниже уровня Ферми. Температурные изменения затрагивают только узкую область состояний вблизи , поэтому распределение остаётся близким к ступенчатому.

3. Только небольшая часть электронов участвует в тепловых процессах

При повышении температуры возбуждаются не все электроны, а только электроны с энергиями порядка:

Следовательно, в металле лишь малая доля электронов изменяет своё энергетическое состояние при нагреве.

4. Энергия Ферми почти не зависит от температуры

Из формулы:

видно, что температурная поправка пропорциональна:

Для металлов эта величина очень мала, поэтому энергия Ферми при комнатных температурах изменяется незначительно.

5. При увеличении температуры граница Ферми размывается

С ростом температуры переход функции распределения

От к

становится более плавным. Ширина области размытия порядка:

поэтому температурное размытие возрастает линейно с температурой.