2. Определить концентрацию электронов для заданного металла из условия касания зоны Бриллюэна и сферы Ферми и сделать суждение о применимости теории свободных электронов.

1. Для заданного металла определить концентрацию электронов по валентности Z. Для Cr: 𝑍 (валентность) = 2, N (число атомов в элементарной ячейке) =2.

2. Определить концентрацию электронов для заданного металла из условия касания зоны Бриллюэна и сферы Ферми, сравнить n0 и n, и сделать суждение о применимости теории свободных электронов.

Радиус сферы Ферми связан с концентрацией электронов следующим образом:

Согласно условию, сфера Ферми должна касаться первой зоны т Бриллюэна, следовательно, приравняем её радиус и минимальный размер зоны Бриллюэна (в данном случае, в направлении Γ–H) и найдём искомую концентрацию:

Тогда, т.к. сфера Ферми расположена полностью в зоне Бриллюэна и касается ее, то:

Вывод: n₀ > n. Модель свободных электронов плохо применима для хрома. Концентрация электронов, найденная из условия касания сферы Ферми границы зоны Бриллюэна, существенно отличается от концентрации, полученной из валентности атомов. Причиной является сильное влияние периодического потенциала решётки (повторяющегося электрического поля атомов кристаллической решётки) и участие d-электронов (сильно взаимодействуют с этим потенциалом) в формировании зонной структуры, что приводит к отклонению поверхности Ферми от сферической

3. Исследовать кинетические свойства заданного металла.

3.1 Рассчитать и построить зависимости средней длины свободного пробега, времени релаксации и, электропроводности и теплопроводности от температуры для металла в диапазоне температур (0,1–10) Т_D (Приложение MCAD №3).

Параметр решетки a: 2.88*10^-10 м

Температура плавления: 2130 К

Температура Дебая: 360 К

3.1.1. Зависимость средней длины свободного пробега от температуры для металла в диапазоне температур (0,1–10) Т_D

Соотношения, позволяющие приближённо оценить длину свободного пробега, определяемую рассеянием электронов на тепловых колебаниях решётки, представлены ниже:

;

Рис. 8 - График зависимости длины свободного пробега от температуры (красным- , синим- , зеленым – λ(T))

T, K	0,1TD=36	TD=360	2TD=720	3TD=1080	4TD=1440	5TD=1800
λ(T), м	8,52*10-3	8,52*10-8	4,26*10-8	2,84*10-8	2,13*10-8	1,704*10-8

Таблица 4. Значения длины свободного пробега при различных температурах

3.2 Исследование влияния дефектов на время релаксации

Концентрация носителей заряда n₀ =0,17 электрон/м

Время релаксации для рассеяния на дефектах выберем из следующих расчетов.

Удельное сопротивление хрома при температуре 300 К по заданию:

ρ=12,9 мкОм*см= 1,29*10^-7 Ом* м

Тогда электропроводность хрома при температуре 300 К будет составлять:

σ(300 К)=1/ρ= 1/ 1,29*10^-7 Ом* м = 0,775*10⁸ См/м

Из формулы выразим время релаксации:

n₀ ​≈1.7×10²⁹ м⁻³

m_e=9.11×10⁻³¹ кг

e=1.6×10⁻¹⁹ Кл

Скорость электронов на поверхности Ферми для хрома:

Длина свободного пробега при температуре 300 К:

λ= * = * = 2,71*10^-9 м

Это составляет примерно k=27,1/2,88=10 шагов кристаллической решетки хрома.

Зададим число шагов решетки, на котором встречается дефект:

λдеф	5a	100a	1000a
τдеф= λдеф/vf	2.88*10-10 *5 =1,44*10-9	2.88*10-10 *100 =2,88*10-9	2.88*10-10 *1000 = 2,88*10-7

Рис. 9. График зависимости времени релаксации от температуры при τ_d = 1,61*10^-15

Тогда зависимость времени релаксации для электрон-фононного рассеяния будет иметь вид:

Правило Маттиссена, выражающее суммарное время релаксации:

Рис. 10. График зависимости времени релаксации от температуры при τ_d = 1,44*10^-9

Рис. 11. График зависимости времени релаксации от температуры при τ_d = 2,88*10^-9

Рис. 12. График зависимости времени релаксации от температуры при τ_d = 2,88*10^-7

Вывод: С ростом температуры длина свободного пробега носителей заряда уменьшается вследствие усиления их рассеяния. При температурах ниже температуры Дебая это уменьшение происходит более интенсивно, тогда как при температурах больше​ зависимость становится более плавной, и скорость уменьшения длины свободного пробега снижается. Это связано с переходом от области, где число возбуждённых фононов быстро растёт, к области, где их концентрация уже близка к насыщению.

3.3) Исследование зависимости электропроводности металла от температуры σ(T)

Электропроводность металла:

Рассчитаем значения электропроводности при данных контрольных температур: τ_d = 10^-12 c, 10^-13 c, 10^-14 c

Рис. 13. Зависимость электропроводности от температуры при различных τ_d

Рис. 14. Зависимость электропроводности от температуры при различных τ_d (масштаб увеличен)

Получим: T_D= 360K, 0,1T_D= 36K, T_пл=2130К.

Вывод: С увеличением температуры электропроводность металла уменьшается, что подтверждается представленными графиками. При низких температурах зависимость носит резко убывающий характер, близкий к экспоненциальному, однако по мере приближения к температуре Дебая поведение изменяется: зависимость становится более плавной и при высоких температурах напоминает медленно убывающую функцию, близкую к гиперболической.

Различие между кривыми обусловлено влиянием времени релаксации на дефектах τd​ на суммарное сопротивление материала. При больших значениях τd​ (что соответствует малому количеству дефектов) электропроводность имеет более высокие значения и существенно зависит от температуры. В случае малых τd​ (большое количество дефектов) электропроводность снижается и её температурная зависимость становится менее выраженной. Таким образом, увеличение концентрации дефектов ограничивает подвижность электронов, вследствие чего влияние температурных эффектов ослабляется.

3.4) Исследование зависимости теплопроводности металла от температуры:

Закон Видемана-Франца:

Число Лоренца:

τ_d = 10^-12 c, 10^-13 c, 10^-14 c

Рис. 15. Зависимость теплопроводности от температуры при различных τ_d

Рис. 16. Зависимость теплопроводности от температуры при различных τ_d

(масштаб увеличен)

Вывод: В ходе исследования установлено, что теплопроводность металла определяется законом Видемана–Франца и зависит от температуры через произведение температуры и электропроводности.

При низких температурах теплопроводность мала из-за низкой тепловой энергии носителей, несмотря на высокую электропроводность. Электропроводность высокая, так как рассеяние электронов небольшое.

С ростом температуры теплопроводность увеличивается, поскольку возрастает вклад температуры в перенос энергии. Однако при дальнейшем повышении температуры наблюдается снижение теплопроводности, что связано с усилением рассеяния электронов на фононах, приводящим к уменьшению времени релаксации и, следовательно, электропроводности. В результате возникает максимум теплопроводности, обусловленный конкуренцией этих факторов.

По графику установлено, что максимальное значение теплопроводности достигается при температуре порядка 50–100 К. Эта температура соответствует переходу от области, где доминирует рассеяние на дефектах, к области, где основную роль играет электрон-фононное взаимодействие.

Таким образом, зависимость теплопроводности от температуры носит немонотонный характер, а положение максимума определяется механизмами рассеяния носителей заряда в материале.

3.5) Оценим степень дефектности, по рассчитанному результирующему времени релаксации:

Рассчитаем время свободного пробега электрона:

Рассчитаем степень дефектности:

Вывод: В сравнении с концентрацией носителей заряда n₀= , количество дефектов меньше на 10 порядков, что можно назвать приемлемым значением.

Размерный эффект начинает существенно проявляться, когда характерный размер образца (толщина плёнки, ширина проводника) становится сравнимым с длиной свободного пробега электронов:

В этом случае электроны начинают интенсивно рассеиваться на поверхности и границах образца, поэтому нарушается обычный объёмный механизм проводимости. Размерный эффект приводит к уменьшению электропроводности и теплопроводности металла, а также к росту удельного сопротивления, поскольку вероятность поверхностного рассеяния носителей заряда возрастает. Для тонких плёнок и высокочистых металлов эффект проявляется особенно сильно, так как при малом числе дефектов длина свободного пробега электронов становится большой. В результате свойства материала начинают определяться не только составом и температурой, но и геометрическими размерами образца.