4.Рассчитать и построить зависимость электропроводности от толщины металлической плёнки при заданной температуре.

Электропроводность тонкой плёнки как функция толщины определяется следующим интегральным выражением:

На практике для расчёта электропроводности как функции толщины используют приближенные выражения:

Отметим, что последнее из приведённых соотношение справедливо лишь для малых значений p и γ < 0,5. Толщина плёнки определяется как

При зеркальном отражении электронов от поверхности (p =1) угол падения электронов на поверхность равен углу отражения от поверхности, и проекции импульса электрона в направлении электрического поля, приложенного к образцу, сохраняются, а, следовательно, электропроводность образца не меняется. Т.е. имеем:

Построим графики зависимости электропроводности от толщины для металла с характеристиками объемного образца и чистого (бездефектного).

В чистом металле отсутствует рассеяние на дефектах, поэтому удельное сопротивление определяется только электрон-фононным взаимодействием.

Можно оценить порядок, на который изменяется длина свободного пробега, исходя из правила Маттиессена.

;

В «грязном» металле доминирует рассеяние на дефектах ( ), тогда как в чистом — на фононах . Поскольку при комнатной температуре обычно на один–два порядка больше , то и общая длина свободного пробега увеличивается примерно в 10–100 раз. Примем λ для чистого металла равным , а толщину пленки 500*10^-9 м (d~10-20λ).

Рассчитаем зависимость электропроводности плёнки от толщины 𝜌_пл(𝑑) для двух значений параметра зеркальности p₁ = 0.1, p₂ = 0.5, p₃ = 0.9 в заданном диапазоне температур.

Металл с характеристиками объемного образца:

Рис. 17. Зависимость электропроводности плёнки от толщины при

p1=0.1 и (Т =300К)

Рис. 18. Зависимость электропроводности плёнки от толщины при

p1=0.1 и (Т =300К)

Рис. 19. Зависимость электропроводности плёнки от толщины при

p1=0.5 и (Т =300К)

Рис. 20. Зависимость электропроводности плёнки от толщины при

p1=0.5 и (Т =300К)

Рис. 21. Зависимость электропроводности плёнки от толщины при

p1=0.9 и (Т =300К)

Рис. 22. Зависимость электропроводности плёнки от толщины при

p1=0.9 и (Т =300К)

Чистый (бездефектный) металл:

Рис. 23. Зависимость электропроводности плёнки от толщины при

p1=0.1 и

Рис. 24. Зависимость электропроводности плёнки от толщины при

p1=0.1 и

Рис. 25. Зависимость электропроводности плёнки от толщины при

p1=0.5 и

Рис. 26. Зависимость электропроводности плёнки от толщины при

p1=0.5 и

Рис. 27. Зависимость электропроводности плёнки от толщины при

p1=0.9 и

Рис. 28. Зависимость электропроводности плёнки от толщины при

p1=0.9 и

Вывод: Построенные зависимости электропроводности от толщины показывают, что при уменьшении толщины плёнки начинает проявляться размерный эффект, связанный с рассеянием электронов на её поверхности. Этот эффект становится заметным, когда толщина плёнки становится сравнимой с длиной свободного пробега электронов ( ). В этом случае вклад поверхностного рассеяния становится существенным, и электропроводность уменьшается по сравнению с объёмным значением.

Степень проявления размерного эффекта зависит от параметра зеркальности . При малых значениях (диффузное отражение) рассеяние на поверхности максимально, что приводит к более сильному снижению электропроводности при уменьшении толщины. При больших значениях (зеркальное отражение) влияние поверхности ослабевает, и зависимость электропроводности от толщины становится менее выраженной.

Для чистого (бездефектного) металла размерный эффект проявляется сильнее, чем для объёмного образца с дефектами, поскольку длина свободного пробега в нём больше, и вероятность столкновения электронов с границами возрастает, но визуально по графику это почти не заметно из-за того, что графики строятся в логарифмическом масштабе. В результате уменьшение толщины приводит к более заметному снижению электропроводности.

Таким образом, размерный эффект приводит к ухудшению проводящих свойств тонких плёнок и усиливается при уменьшении толщины, увеличении диффузности отражения и повышении чистоты материала.