33. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний кратных частот
Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний соотносятся как целые числа (ωx / ωy = n / m), то траектория движения точки образует замкнутые кривые сложной формы, называемые фигурами Лиссажу.
Фигуры Лиссажу — замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания с рациональным соотношением частот.
Уравнения движения:
Линии пересечений (условие замкнутости
фигуры):
34. Вынужденные колебания в механической системе. Резонанс
Вынужденные колебания — незатухающие колебания системы, поддерживаемые за счет действия внешней периодической силы F(t) = Fm cos(Ωt).
Уравнение в виде установившихся гармонических колебаний с частотой внешней силы:
Выражение для амплитуды вынужденных
колебаний:
Резонанс — явление резкого возрастания
амплитуды A при приближении частоты
внешней силы Ω к определенному значению.
Для нахождения резонансной частоты
необходимо найти минимум подкоренного
выражения знаменателя. Взяв производную
по Ω и приравняв к нулю, получим резонансную
частоту:
35. Вынужденные колебания в последовательном контуре (c, l, r)
В электрическом контуре вынужденные колебания вызываются внешним источником переменной ЭДС: ε(t) = εmcos(Ωt)
Полное сопротивление последовательного контура:
По закону Ома для переменного тока
амплитуда силы тока равна:
Резонансная частота:
Раздел III: Волны
36. Характеристики волн. Уравнение бегущей волны
Волна — это процесс распространения возмущений (деформаций, изменений поля) в пространстве с течением времени. Основные характеристики:
v — фазовая скорость распространения волны.
T – период колебаний частиц среды
λ = vT – длина волны (расстояние, на которое волна распространяется за один период)
k =
- волновое число
Уравнение смещения частиц в точке z:
Каноническое уравнение:
37. Динамика распространения волн. Волновое уравнение
Для нахождения дифференциального уравнения, которому удовлетворяет любая волна, найдем вторые частные производные функции ξ(z,t) = Acos(ωt – kz) по времени по координате.
Волновое уравнение Даламбера:
38. Стоячие волны. Узлы и пучности
Стоячая волна — это колебательный процесс в пространстве, возникающий при наложении (интерференции) двух идентичных бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу.
Уравнение падающей волны:
Уравнение отраженной волны:
Уравнение стоячей волны:
Пространственный множитель 2Acos(kz) задает стационарную амплитуду колебаний в каждой точке.
Пучности – точки максимальной
амплитуды (|2Acos(kz)|
= 2A).
Возникают при cos(kz)
= ±1 => kz
= πn.
Отсюда координаты пучностей: z
= n
Узлы – точки, где амплитуда всегда
равна нулю (cos(kz)
= 0). Возникают при kz
= (2n
+ 1)
.
Координаты узлов: z
= (2n
+ 1)
39. Скорость распространения продольной волны в упругой среде
Продольные волны — это волны, в которых частицы среды совершают колебания вдоль направления распространения волны (зоны сжатия и разрежения). Скорость их распространения зависит от инерционных (плотность ρ) и упругих свойств среды.
Для бесконечной однородной изотропной
среды (жидкость, газ или сплошной твердый
массив) скорость определяется модулем
объемной упругости K:
Для твердого стержня (где возможна
поперечная деформация) скорость
определяется модулем Юнга E:
