5. Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции (Закон полного тока)

Циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов, охватываемых этим контуром, умноженной на μ₀:

Т ок считается положительным, если направление обхода контура связано с направлением тока правилом правого винта. Для строгого доказательства на примере прямого бесконечного тока (когда контур охватывает ток), выберем контур в виде окружности в плоскости, перпендикулярной проводнику:

Проекция B на dl равна Bdl_II = Bbdα;

Если контур не охватывает ток, циркуляция = 0

6. Магнитное поле внутри прямого проводника с током

П рименим теорему о циркуляции для цилиндрического проводника радиуса R с равномерно распределенным током I:

Вне проводника (r > R): Охватываемый ток равен I:

Внутри проводника (r < R): Площадь контура S_l = πr². Охватываемый ток вычисляется через плотность тока j: I_внутр = jS_l = I . По закону полного тока:

Для полого проводника в форме трубы магнитное поле во внутренней полости (при r < R)

строго равно нулю, так как контур не охватывает токов.

7. Магнитное поле соленоида

Соленоид — длинный провод, плотно навитый на цилиндрический каркас. Линии индукции бесконечно длинного соленоида строго параллельны его оси.

Это доказывается рассмотрением симметричных элементов тока Idl₁ и Idl₂, векторы dB от которых дают результирующую, параллельную оси.

Вне бесконечного соленоида поле отсутствует, так как элементы тока на противоположных сторонах витков на большом расстоянии компенсируют друг друга.

Для расчета индукции выберем прямоугольный контур 1-2-3-4:

Циркуляция: , так как на участках 2-3 и 4-1 вектор B перпендикулярен обходу, а на участке 3-4 поле равно нулю. Ток охватыемый контуром: , где n – плотность намотки. Приравнивая, получаем:

8. Эффект Холла

Эффект Холла — это явление возникновения поперечной разности потенциалов (называемой ЭДС Холла) при помещении проводника с током в магнитное поле.

Носители заряда отклоняются под действием силы Лоренца F_л = qvB к одной из граней.

Возникающее поперечное электрическое поле E_x останавливает процесс накопления зарядов, когда устанавливается равновесие: qE_x = qvB. ЭДС Холла U_x = E_x · b = vBb. Учитывая, что скорость упорядоченного движения носителей выражается через плотность тока: I = j·S = qnv(b·a), получаем . Итоговая формула: , где n – концентрация носителей тока. Этот эффект позволяет экспериментально определять концентрацию носителей и тип проводимости.

9. Сила Ампера. Рамка с током в однородном магнитном поле

На рамку со сторонами a и b действуют силы Ампера. Силы F₂₃ и F₄₁ равны и противоположны, они лишь деформируют рамку (сжимают или растягивают). Силы F₁₂ и F₃₄ образуют пару сил, приводящую рамку во вращение.

Модуль этих сил: F₁₂ = IBa. Плечо пары сил равно c = bsin(α). Механический момент M вычисляется как:

M = F₁₂ · c = IBabsin(α) = ISBsin(α) = p_mBsin(α)

В векторной форме: M = [p_m × B]

Вращение происходит до тех пор, пока собственный магнитный момент контура не совпадет по направлению с полем (положение устойчивого равновесия, α = 0).

1 0. Работа поворота рамки с током. Энергия рамки

При вращении рамки элементарная работа определяется как dA = Mdφ. Поскольку увеличение угла поворота dφ соответствует уменьшению угла α между p_m и B, имеем dφ = -dα. Следовательно: dA = -p_mBsin(α)dα

Интегрируя от начального положения α₁ до конечного α₂, получаем полную работу:

A = ∫-p_mBsin(α)dα = p_mB(cos(α₁) - cos(α₂))

Потенциальная энергия контура с током в магнитном поле определяется с точностью до постоянной, которую принимают равной нулю:

W = -p_mBcos(α)

Минимум энергии (W = -p_mB) достигается в положении устойчивого равновесия (α = 0), а максимум (W =p_mB) — в неустойчивом (α = π). Работа сил Ампера равна убыли потенциальной энергии: A = W₁ - W₂ = -ΔW.