27. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме

Дифференциальная форма описывает свойства поля в каждой конкретной точке пространства:

• (rot x E)

• (rot x H)

• div D = ρ

• div B = 0

Для изотропных сред эта система дополняется материальными уравнениями (уравнениями связи):

Раздел II: Колебания

28. Свободные колебания в механической системе

Свободные колебания — колебания, происходящие в системе за счет первоначально сообщенной энергии после выведения системы из состояния равновесия при отсутствии внешних сил.

Рассмотрим классическую модель — пружинный маятник (груз массы m, прикрепленный к пружине с жесткостью k), движущийся в вязкой среде. На груз действуют две основные силы: 1) Сила Гука: ; 2) Сила трения:

2 Закон Ньютона для данной системы:

Введем стандартные кинематические обозначения:

• β = – коэффициент затухания.

• ω₀ = - собственная циклическая частота идеальной системы (без трения).

Получаем каноническое дифференциальное уравнение затухающих колебаний:

Решением этого линейного однородного дифференциального уравнения при условии малого затухания (β < ω₀) является функция:

• Для пружинного маятника: .

• Для математического маятника: .

29. Свободные колебания в последовательном контуре (c, l, r)

Электромагнитные колебания в RLC-контуре сопровождаются периодическим перетеканием энергии из электрического поля конденсатора в магнитное поле катушки и наоборот. Наличие активного сопротивления R приводит к потерям энергии на джоулево тепло (затухание).

По аналогии с механической системой введем параметры:

• – Коэффициент затухания контура

• – собственная частота контура (формула Томсона)

Дифференциальное уравнение принимает идентичный канонический вид:

Решение описывает затухающие колебания заряда на обкладках конденсатора:

Частота колебаний . Электрические и механические колебания описываются единым математическим аппаратом.

30. Сложение гармонических колебаний одинакового направления и частот

;

Согласно принципу суперпозиции, результирующее смещение:

Для нахождения амплитуды и начальной фазы применим метод векторных диаграмм. Представим колебания векторами A₁ и A₂, вращающимися с угловой скоростью ω. Угол между ними равен разности фаз ∆φ = φ₂ – φ₁

По теореме косинусов для векторного треугольника результирующая амплитуда A равна:

Начальная фаза результирующего колебания:

31. Сложение гармонических колебаний близких частот. Биения

Биения — это колебания с периодически изменяющейся амплитудой, возникающие при наложении двух гармонических колебаний одинакового направления с близкими частотами (ω₁ ≈ ω₂).

Для упрощения выкладок положим A₁ = A₂ = A₀ и начальные фазы равными нулю:

Сложим эти функции, применив тригонометрическую формулу суммы косинусов:

Поскольку , первый множитель меняется во времени гораздо медленнее второго. Мы можем рассматривать результирующее движение как квазигармоническое колебание: x(t) = A_б(t)cos( ), где:

• , несущая частота

• – медленно меняющаяся амплитуда биений.

Частота биений (частота изменения амплитуды) в два раза больше частоты огибающего косинуса (так как амплитуда берется по модулю):

32. Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой частоты

Если материальная точка одновременно участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях (вдоль осей X и Y) одинаковой частоты, её результирующая траектория в общем случае представляет собой эллипс.

Уравнение траектории (эллипса):