Ответы на вопросы (Электромагнетизм, Колебания, Волны) Раздел I: Электромагнетизм

1. Взаимодействие токов. Закон Ампера. Магнитная индукция

В заимодействие токов — это явление возникновения сил притяжения или отталкивания между проводниками, по которым протекает электрический ток. Опыты показывают, что два параллельных прямолинейных проводника притягиваются, если токи в них сонаправлены, и отталкиваются, если токи текут в противоположных направлениях.

Закон Ампера определяет силу, действующую на элемент длины проводника с током. Эта сила является результирующей всех сил Лоренца, действующих на носители заряда в проводнике. Если в элементе Idl находится N носителей, то dF_A=N ·F_л. Учитывая, что N = n·dl·S и F_л = qvBsin(α), а также связь I = jS = qnvS, получаем векторную форму записи закона Ампера: dF_A = I [dl × B] или в скалярном виде: dF_A = I·B·dl·sin(α)

М агнитная индукция (B) — это векторная силовая характеристика магнитного поля. Для ее введения используется плоский замкнутый пробный контур малых размеров. Ориентация контура характеризуется вектором нормали n, связанным с направлением тока i правилом правого винта. Магнитный момент контура определяется как: p_m = i · S · n, где S – площадь пробного контура. При помещении контура в поле, на него действует вращательный момент пары сил M:

2. Закон Био-Савара-Лапласа. Принцип суперпозиции в магнетизме

Закон Био-Савара-Лапласа определяет вектор магнитной индукции, создаваемый элементом проводника с током Idl:

В скалярном виде: , где μ₀ = 4π · 10^-7 Гн/м.

Принцип суперпозиции в магнетизме — фундаментальный закон, согласно которому индукция магнитного поля, создаваемого системой токов в данной точке пространства, равна векторной сумме индукций магнитных полей, создаваемых каждым током в отдельности:

3. Закон Био-Савара-Лапласа. Магнитное поле прямого тока

Магнитное поле прямого тока — это поле, силовые линии которого представляют собой концентрические окружности с центром на оси проводника, лежащие в плоскостях, перпендикулярных этому проводнику. Направление вектора индукции определяется правилом правого винта (буравчика).

В ывод формулы: Элемент тока Idl создает в точке наблюдения A поле, направленное перпендикулярно плоскости, содержащей проводник и точку A.

По закону Био-Савара-Лапласа:

И з геометрического построения (рассматривая бесконечно малые величины dr и dα) следует связь: dl · sin(α) = r · dα. Подставляя это в исходное дифференциальное уравнение, получаем:

Выражая радиус-вектор через кратчайшее расстояние b от точки наблюдения до проводника (b = r · sin(α)), приходим к интегралу по углу α:

Для бесконечно длинного прямого проводника пределы интегрирования принимают значения α₁ = 0 и α₂ = π. Учитывая, что cos(0) = 1 и cos(π) = -1, разность косинусов равна 2, что дает итоговую формулу:

4. Закон Био-Савара-Лапласа. Магнитное поле в центре кругового тока

М агнитное поле кругового тока — магнитное поле, создаваемое током, текущим по замкнутому круговому контуру (витку) радиуса R.

Разобьем круговой ток радиуса R на элементы Idl.

Для точки в центре кругового витка угол между dl и r равен , поэтому sin( = 1, а расстояние r = R.

По принципу суперпозиции все векторы dB в центре сонаправлены. Интегрирование по длине окружности дает:

; для расчета поля на оси z кругового тока, на расстоянии от центра:

Каждая пара симметричных элементов создает результирующий вектор dB = dB₁+dB₂, направленный строго вдоль оси z, при этом dB = 2dB₁sin(φ). Интегрирование с учетом геометрии дает: