Выполненин алгоритма
дискретного логарифмирования
Для вычисления используются три квантовых регистра: |
ۧ, ۧи |
ۧ. |
||||||||||||||
Первые два содержат значения аргументов функции |
|
ȁ! |
|
а |
ȁ! |
|
||||||||||
|
ȁ!, |
|
||||||||||||||
третий регистр содержит значения функции. Число |
кубитов |
|
, |
|
|
|||||||||||
|
( , ) |
|
|
|
||||||||||||
необходимых для вычисления, рассчитывается соотношением |
|
|
||||||||||||||
2∙ ≤ 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Этапы выполнения алгоритма |
ȁ! |
|
|
|
ȁ!0 |
|
ȁ!000…0 |
|
||||||||
|
|
|
|
ȁ! |
и |
|
|
|
|
. |
||||||
1. Два -кубитовых регистра |
|
ۧ |
ۧ |
|
|
ۧ |
ۧ |
|||||||||
Регистр |
ȁ! |
|
(такой же |
|
размерности) установить |
в |
|
состояние |
||||||||
ۧ |
|
|
||||||||||||||
ȁ!1 ȁ!000…1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ȁ!0 ȁ!0 ȁ!1 . |
|||
ۧ= |
ۧ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ۧ ۧ ۧ |
|||
|
|
В результате состояние регистров примет вид |
|
|
|
|
||||||||||
66
Выполнение алгоритма
2. К кубитам |
|
|
|
|
|
и |
|
|
применим |
|
преобразование |
Адамара. В |
||||||||
регистров ۧ |
|
ۧ |
суперпозиции |
всех |
возможных |
|||||||||||||||
результате получим |
равновероятные |
|||||||||||||||||||
ȁ! |
|
|
ȁ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
состояний: |
|
|
|
|
ۧ ۧ ۧ |
|
2 −1 2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
ȁ!0 ȁ!0 ȁ!1 |
|
ۛ |
|
1 |
|
|
ȁ!ȁ!ȁ!1 . |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ |
|
|
|
|
|
ۧ ۧ ۧ |
|
|||||
3.Полученные суперпозиции |
|
|
|
|
оператор |
, |
где вычисляются |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
передаются2 =0в |
=0 |
|
|
|
|
|
||||||||
записываются в |
|
ۧ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 −1 2 −1 |
ȁ! |
|
|
|
|
|
2 −1 2 −1 |
|
|
|
|||||||||
значения функции |
|
|
|
|
сразу для всех |
|
|
и . |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Результаты вычислений |
||||||
|
|
регистр |
. В результате состояние регистров примет вид: |
|||||||||||||||||
|
|
ȁ!ȁ!ȁ!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
ȁ!ȁ! |
|
. |
|||||||||||||
1 |
|
|
|
|
ۧ ۧ ۧۛ |
1 |
|
|
|
|
|
ۧ ۧ |
|
|
||||||
ξ2 |
=0 |
=0 |
|
|
|
|
ξ2 |
=0 |
=0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
67
Выполнение алгоритма
4. Измерим ȁ!ۧ. Ввиду того что функция – периодическая и имеет два независимых периода, получим периодическую суперпозицию
|
состояний регистров a и b, удовлетворяющих соотношению (1) для |
|||||||||||||||||||||||||
|
измеренного u. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 −1 2 −1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
2 −1 2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ۧ |
1 |
ۧ ۧ ۧ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
ۧ ۧ |
|
|
|
|
|
ȁ! |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
ȁ!ȁ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ȁ!ȁ!ȁ!. |
к |
|||||||||
|
5. |
Применим |
обратное |
квантовое |
|
|
преобразование |
|
Фурье |
|||||||||||||||||
|
ξ2 |
=0 |
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ2 |
=0 |
=0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
последовательностям значений |
и |
одноимённых регистров, которые |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
соответствуют |
|
фиксированному |
значению |
|
. |
QFT-1 |
переводит |
||||||||||||||||
|
|
|
состояние |
|
|
в состояние: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
ۧ ۧ |
|
−1 |
|
2 −1 2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
ȁ!ȁ! |
|
|
|
|
−2 ( + ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
ۧ ۧ |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ۧ ۧۛ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ȁ!ȁ! |
|
|
|
|
|
2 |
|
ȁ!ȁ!. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ2 |
=0 |
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Значения состояний |
|
|
и , сохраняются после преобразования в регистрах |
|||||||||||||||||||||||
и |
|
|
|
|
|
Проводим измерения состояний регистров |
|
|
и . |
|||||||||||||||||
|
соответственно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ۧ |
ۧ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ȁ! |
|
ȁ! |
|
||
68
|
Постквантовая обработка |
|
|||||||||||||||
Полученные в результате измерения значения и |
|
удовлетворяют условиям: |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
|
|
2 |
− |
≤ 2 , |
2 − |
|
|
|
|
|
≤ 2 , |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где – искомое значение логарифма. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Для вычисления преобразуем формулы: |
|
|
|
|
|
|
≤ 2 . |
|
|||||||||
|
|
2 |
− ≤ |
2 , |
2 |
− |
|
||||||||||
Выбрав такое, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
путём |
|||
что 2∙ ≤ 2 , можно рассчитать |
числа и |
||||||||||||||||
2 |
2 |
|
с∙ |
|
|
|
|
∙ |
|
||||||||
округления |
и |
до ближайшего целого значения: |
= 2 . |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
= 2 , |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Дискретный логарифм |
|
вычисляем |
по формуле: |
. |
|
||||||||||||
|
|
|
= |
−1 |
∙ |
|
|
||||||||||
В случае, если НОД( , ) ≠ 1 необходимо |
выполнить алгоритм повторно, так |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
как в этом случае не существует обратного элемента |
|
−1. |
|
||||||||||||||
69
DLP – discrit logarithm problem
70
Вопросы реализации квантовых вычислений
•В настоящее время квантовые вычисления находятся на начальной стадии развития. Дальнейший прогресс будет зависеть от решения технических задач, связанных с созданием элементной базы квантовых компьютеров.
•Существуют и практические реализации квантового алгоритма Шора. Созданный квантовый компьютер основан на явлении ядерно-магнитного резонанса и состоял из семи кубитов, чего хватило для разложения числа 15 на простые множители 3 и 5.
•В 2021 фирма IBM представила 127-кубитовый компьютер Egle.
Рекордно факторизованное число 1099551473989=1048589*2048601
71
Способы практической реализации квантовых компьютеров
•Квантовые вычисления с использованием метода импульсного ядерного магнитного резонанса в молекулярных жидкостях.
•Квантовые вычисления на основе использования в качестве элементной базы квантовых компьютеров:
-ионов в ловушках в вакууме;
-спинов одиночных электронов в квантовых точках в
двумерном газе в полупроводниковых гетероструктурах; |
- |
атомы в резонаторах электромагнитного поля. |
|
•Квантовые вычисления, основанные на состояниях сверхпроводников, разделенных переходами Джозефсона и различающихся числом зарядов.
•Квантовые компьютер на фотонах.
72
Исследования квантового компьютера
Компании |
Квантовая среда |
Особенности |
|
|
|
Очень высокая вероятность |
|
|
Исследования квантовой среды |
квантовых ошибок, что не |
|
IBM |
на основе схем из |
позволяет создавать |
|
|
сверхпроводящих металлов |
полноценные квантовые |
|
|
|
компьютеры |
|
|
Исследование теоретически |
Существование квазичастиц, |
|
Microsoft |
более надежной квантовой |
используемых в |
|
среды и создание |
топологическом кубите, пока |
||
|
|||
|
топологического кубита |
не доказано |
|
Alcatel- |
Исследования |
Создание топологического |
|
Lucent |
конденсированного состояния |
кубита на основе дробного |
|
(Bell |
вещества с целью создания |
квантового эффекта Холла |
|
Labs) |
топологического кубита |
пока в стадии исследований |
|
|
Исследования по созданию |
Пока не доказано, что чипы |
|
D-Wave |
квантового компьютера на |
||
построены на основе |
|||
Systems |
основе сверхпроводящего чипа, |
||
квантовых эффектов |
|||
|
содержащего 512 кубитов |
||
|
|
||
|
Разноплановые исследования |
Google адаптирует свои |
|
|
компьютеров D-Wave Systems, |
||
технологии под возможности |
|||
построенных на основе |
|||
|
квантовых компьютеров |
||
|
контактов Джозефсона |
||
|
|
1 Топологический кубит – это теоретический кубит на основе двухмерных квазичастиц
(анионов), являющихся более стабильными, что позволяет уменьшить ошибки декогеренции.
73
Квантовое настоящее
Настоящее
На начало 2026 года в мире нет единого абсолютного лидера, так как «мощность» измеряется количеством кубитов, точностью и архитектурой. Ключевые претенденты: D-Wave Advantage2 (более 4400 кубитов, отжиг), китайский
Zuchongzhi 3.0 (сверхпроводники) и Quantinuum Helios
(ионные ловушки).
В России создан 70-кубитный ионный компьютер
Ядерные магнитно-резонансные компьютеры
Протоны и нейтроны обладают спином. Суммарный спин основных атомов хим. элементов равен нулю (спины сокращаются). В изотопах имеются дополнительные нейтроны.
Эти дополнительные нейтроны приводят к положительному или отрицательному спину атома
75