Алгоритм ускоренного поиска (алгоритм Гровера)
Рассмотрим решение уравнения |
, где функция f(x) принимает значения {0,1}, |
но только при одном значении. |
f (x) 1 |
|
Для решения задачи будем использовать регистр из n кубитовых ячеек. Состояние системы в общем виде можно записать так
где |
амплитуда i-го состояния. f (xi ) 1, f (x j ) 0, j i |
|
2n 1 |
0 |
|
x0 |
1 |
|
x1 |
2n 1 |
|
x2n 1 |
||
|
|
|
||||||||||
|
i |
|
xi |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
i 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
i
22
•Идея алгоритма Гровера состоит в том, чтобы увеличить, например, │λx│ за счет других │λi│.
•Этого можно добиться k кратным преобразованием диффузии.
[ψ>=DD…D[ψ1>,
где [ψ1> – начальный вектор состояния, D – матрица преобразования.
В основе оператора диффузии лежит метод – Инверсия относительно среднего
23
Математическое преобразование - инверсия относительно среднего (ИОС)
Пусть задан вектор v v1,v2 , ,vN каждая координата которого
|
1 |
|
|
|
v |
|
|
i=1,2,…,N , но |
|
|
|
|||
i |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
vx
V’x
vi |
1 |
для |
i x |
и vx |
1 |
|
|||
N |
N |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
Пусть |
а |
1 |
vi |
- среднее значение. |
||||
|
N |
||||||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
||
|
Изменим состояние вектора |
||||||||
|
|
vi vi |
2a a (a vi ) |
||||||
Это и есть инверсия относительно среднего
Пример. N=16, vi=1/4. vx=-1/4.
Находим а=14/64. тогдаvi 6 / 32 2 /10
vx 22 / 32 7 /10
Пример ИОС
a=7/27
9/27
-9/27
5/27 23/27
N=9, vi=1/3, vx= -1/3
Среднее значение a=7/27 После ИОС получаем v’i=5/27, vx=23/27
25
Примеры применения процедуры ИОС при разны N=2n
n=7 |
n=8 |
n=9 |
n=10 |
26
Этапы алгоритма Гровера
Создаем регистр из n кубитов и устанавливаем все |
|
|||||||||||||
азряды в состояние |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 (n) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Применяем преобразование |
|
|
|
|
|
|
Адамара, получаем состояние |
|||||||
|
|
|||||||||||||
ждой ячейки |
|
|
1 |
|
1 |
( |
|
0 |
|
1 ) |
|
|||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
- |
равновероятное состояние. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U ( 1)f (x) |
||||
. Находим значение функции f(x), применяя оператор |
||||||||||||||
ри х=х0 f(x0)=1 и U=-1, при других х f(x)=0 и U=1.
сли U=1, то ячейка остается в исходном состоянии, если =-1, то изменяет состояние.
Применяем оператор к регистру |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
0 |
|
|
1 ), если f (x) 0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
f ( x) |
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
U |
|
1 |
|
( |
0 ( 1) |
|
|
1 ( 1) |
|
) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
0 |
|
1 ), если f (x) 1, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
се состояния равновероятные, но одно из них противо- оложное другим состояниям. Нужно повысить его вероятность. рименяем метод усиления амплитуды (инверсии относительно реднего.)
27
Пример алгоритма Гровера
• Задана булева функция от 3 аргументов
f (x) f (x1, x2 , x3 ) , которая принимает значение 1 только при одном наборе аргументов.
Нужно найти это состояние. Решение.
1 этап. Подготавливает начальное состояние
0 |
|
|
0,0, .0 |
, т.е. все ячейки квантового регистра |
|
устанавливаются в состоянии 0. Или все кубиты в нулевом состоянии.
|
0 |
0 |
|
x0 |
1 |
|
x1 |
2n 1 |
x2n 1 |
1 |
|
x0 |
0 |
|
x1 |
0 |
x2n 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
29
Представление булевой функции таблицей истинности
x |
x3 |
x2 |
x1 |
y=f(x1,x2,x3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
x1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
x2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
x3 |
0 |
1 |
1 |
0 |
x4 |
1 |
0 |
0 |
0 |
x5 |
1 |
0 |
1 |
0 |
x |
1 |
1 |
0 |
0 |
6 |
|
|
|
|
x7 |
1 |
1 |
1 |
1 |
30
Далее рассмотрим преобразование для функции от 3-х аргументов
• |
2 этап. Приготавливаем смесь равновероятных состояний |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
0,354 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
|
0,354 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
0 |
|
|
0,354 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 H3 |
0 |
||||||||||
|
|
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
|
|
0,354 |
|
||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 2 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
|
0,354 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
|
|
0,354 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
|
|
0,354 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
0 |
|
|
0,354 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
Состояние 1 
является суперпозицией 2n возможных состояний системы из n кубитов.
Представление нулевого состояния 1,2, 3-кубитного регистра вектором, используем Кронекерово произведение
32