Пример факторизации на основе поиска периода
44
Пояснения к предыдущему слайду
Период r этой функции f(x) |
есть порядок числа a в группе |
|
||||
|
= . То есть |
ar mod M 1 |
и для любого r’<r |
ar mod M 1 |
. |
|
Τ0 |
|
|
|
|||
Предположим, что для некоторого случайного а период r найден и r |
||||||
– четное. |
|
|
|
|
|
|
Представим выражение ar 1 0 mod M в виде (ar /2 1)(ar /2 |
1) Mk . Число |
|||||
(ar /2 1) не делится на M, иначе ar /2 было бы сравнимо с 0 по modM, и число r/2 было бы периодом. Допустим также , что (ar /2 1) 0 mod M . Тогда произведение (ar /2 1)(ar /2 1) делится на M, но ни один из сомножителей не делится на M без остатка. Следовательно числа
(ar /2 1) и (ar /2 1) не взаимно просты с M и можно найти p и q c помощью алгоритма Евклида:
p НОД (ar /2 1, M ), q НОД (ar /2 1, M ).
Таким образом, через нахождение периода функции f (x) ax mod M мы получили разложение числа M на множители p и q.
45
• В алгоритме Шора задача факторизации M=pq сводится к задаче нахождения периода r функцииax mod M . Наименьшее значение х, при котором ax mod M 1 называется показателем a по модулю М.
46
Реализация алгоритма Шора на двух квантовых регистрах
Обозначения : M p q
M N M 2 , N 2n
47
Этапы алгоритма Шора
0. Подготовительный этап. Установка регистров в нулевое состояние.
1.Перевод регистров в равновесное состояние. 2.Вычисление степеней аx в регистре Y, измерение состояния регистра.
3. Предвычисление периода с помощью квантового преобразования Фурье.
4. Вычисление периода на основе подходящих дробей. (на обычном компьютере)
48
Пояснение к демонстрации
работы алгоритма Шора
Продемонстрируем работу алгоритма Шора по шагам представляя, что в нашем распоряжении имеется квантовый компьютер с регистрами X и Y. Так же будем считать, что есть Оракул, который позволяет наблюдать состояния регистров, не проводя измерения их состояния. Оракул ни как не влияет работу алгоритма, а лишь повышает наглядность выполняемых вычислений.
Оракул на этом рисунке показывает 256 возможных состояний регистров X и Y, они представлены в виде таблицы, содержащей 4 строки по 64 клетки. Каждая клетка имеет номер от 0 до 255. Номер клетки соответствует номеру состоянию регистра. Черная клетка означает, что амплитуда данного состояния равна нулю, серая – соответствует состоянию, при котором амплитуда не равна нулю, а сумма квадратов амплитуд всех ненулевых состояний равна1. Назовем состояния с ненулевыми амплитудами активными. Видим, что на подготовительном этапе оба регистра установлены в нулевое состояние (клетки с номером 0 серые). Нулевому состоянию соответствует комбинация 00000000 нулевых состояний кубит регистра.
49
Рис. 5. Инициализация регистров
1 Hn 0
0
Рис. 6. Применение преобразования Адамара к регистру |x>
50
Рис. 7. Применение квантового возведения в степень |
51 |
Измерение состояния регистра Y 
Например, фиксированному состоянию |
|
y 8 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
соответствует |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Последовательность |
значений |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
11 ... |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
3 |
|
7 |
|
|
|
8 |
|
|
j 0 |
|
r j l |
|
8 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
А 1 |
A 1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
где А наибольшее целое меньшее, чем ( N l ) / r, |
A N / r. |
|||||||||||||||||||||
Состояние рег. Х при измеренном сост. рег.. У
l |
xi ji r l, |
|
r |
||
|
Вычисление периода
Из этого состояния мы хотим выделить информацию о периоде r. Временно сделаем предположение, что l при разных испытаниях принимает
одно и тоже значение. Пусть мы провели 3 испытания и получили три копии 2
x1 j1r l, |
x2 j2r l, x3 j3r l, |
|
Далее находим |
x1 x2 ( j1 j2 )r, |
x1 x3 ( j1 j3 )r |
Поскольку j равновероятны, то с высокой вероятностью gcd(j1 j2 , j1 j3 ) 1
Поэтому период легко вычисляется так как
gcd(x1 x2 ,x1 x3 ) gcd((j1 j2 )r,( j1 j3 )r) r
Пример: x1 27, x2 15, x3 7,
gcd(x1 x2 ,x1 x3 ) gcd(( 27 15 ),( 27 7 )) gcd(12,20 ) 4
К сожалению, l изменяется случайно (определяется случайным измерением регистра Y 
, поэтому принципиально необходимо применение квантового преобразования Фурье, устраняющего этот недостаток.
53
|
|
|
Случай, когда |
l 0 |
|
|
|
|||||
Рассмотрим сначала частный случай, когда r делит N нацело. Тогда |
A N / |
r |
||||||||||
Запишем состояние регистра x |
в следующем виде |
|
|
N 1 |
|
|
||||||
l |
|
f (x) x |
|
|
||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
f (x) r / N , если x l кратно r, |
|
|
|
|
|
Это λ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
f (x) 0, если x l не кратно r |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда состояние регистра можно переписать так |
|
|
r |
N / r 1 |
|
|
||||||
l |
|
|
jr l |
|
|
|||||||
f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
j 0 |
|
|
l |
r |
r |
r |
амплитуда |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
r / |
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
Свойство временного сдвига преобразовагия Фурье |
|
|
||||||||||
Пусть известно преобразоваие Фурье функции f(t): f (t) F( ) , |
|
|
||||||||||
Тогда для функции f(t-l) преобразование Фурье |
имеет вид |
|
|
|||||||||
f (t l) F( )e i l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из данного свойства следует, что при временном сдвиге функции на l |
|
|||||||||||
ее амплитудный спектр |
F ( ) |
не изменяется. Изменения происходят |
|
|||||||||
только в фазовом спектре на величину |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для квантовых вычислений общий сдвиг фазы на амлитуды состояний не |
|
|||||||||||
влияет . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|