Математический анализ - 1 семестр

01.09.2025

Множества

Определение: Вещественные числа - действительные - все числа, которые можно представить на числовой прямой.

Определение: Множество - совокупность элементов, объединённых по какому-либо общему признаку. Полное или пустое.

Если x элемент множества X, то пишут x X, иначе x X. - пустое множество. Определение: Если любой элемент множества A является одновременно элементом множества C, то A есть подмножество множества C.

A C

Определение: Если A подмножество C, а C - подмножество A, то говорят, что множества A и C совпадают.

A=C

Определение: Множество U называют универсальным, если в рамках некоторой схемы все рассматриваемые множества является его подмножествами.

Операции над множеством

Диаграммы Эйлера-Венна:

1

Определение: Объединением или суммой A и B из U называют множество C, содержащее из всех элементов обоих множеств A и B и не содержащих других элементов.

A+B=C =

Определение: Пересечением множеств A и B из U называют множество C, состоящее из всех элементов общих для обоих множеств A и B и не содержащих других элементов.

AB=C ∩ =

Определение: Дополнением множества A из U называют множество Ā, каждый элемент которого не содержится в A.

A+Ā=U

Определение: Разностью множеств A и B из U называют множество C, содержащее те и только те элементы A, которые не входят в B.

A\B=C

Пример: A={1,3, 6, 8} B={2,4,6,8} A+B={1,2,3,4,6,8} AB={6,8} A\B={1,3}

Определение: Множества, элементами которых являются действительные числа, называются числовыми.

Множества - R Q I Z N. Очевидно, N Z R, I R, R=Q+I

Множества X, которые удовлетворяют неравенству:

1.≤ ≤ Отрезок или сегмент [a, b]

2.< < Интервал (a, b)

3.< ≤ , ≤ < Полуинтервал [a, b)

4.∞ < ≤ , ≤ < ∞, ∞ < < , < < ∞, ∞ < < ∞ Бесконечные

интервалы и полуинтервалы

Определение: Все указанные множества - промежутки X.

Определение: Абсолютная величина (модуль) действительного числа x называется само число x, если оно неотрицательно, и противоположно -x если оно отрицательно.

2

|x|=x если x≥0 |x|=-x если x<0

Очевидно |x|≥0

| 2- 1|= 2- 1=Δx расстояние, приращение

Пример:

Найти: |x-|x||

x≥0: |x|=x, |x-|x||, |x-|x||=|x-x|=0 x<0: |x|=-x, |x-|x||=|x+x|=2x

Свойства:

|x+y| |x|+|y| |x-y| |x|-|y| |xy|=|x||y| |x/y|=|x|/|y|

Абсолютная величина разности двух чисел |x-a| означает расстояние между точками x и a числовой прямой как для случая x<a, так и для x>a.

Определение: Понятие окрестности точки - интервал, содержащий точку a. Определение: Интервал (a-ε,a+ε), то есть множество точек x, таких что |x-a|<ε где ε>0,

называется ε-окрестностью точки a. 0<|x- 0|<δ

0-δ<x< 0+δ

δ - окрестность точки 0

Грани числовых множеств

3

Определение: Множество X ограничено сверху (снизу), если существует число c такое, что для любого x принадлежащего X выполнено неравенство x≤c (x≥c). Число c

называется верхней (нижней) гранью X.

Определение: Наименьшая из верхних граней ограниченного сверху множества X называется точной верхней гранью множества X.

supX - supremum, infX - infnum

Определение: Множество X выпуклое, если элемент = λ 1 + (1 − λ) 2, λ [0, 1], где1, 2 X, также принадлежит данному множеству.

Определение: Постоянная величина - сохраняет одно и то же значение. Например, отношение длины окружности к её диаметру π.

Определение: Если величина сохраняет своё постоянное значение лишь в условиях данного процесса, то в этом случае она называется параметром.

Определение: Переменной называется та величина, которая может принимать различные числовые значения. Например, S=vt, S и t - переменные, а v - параметр. Определение: Неизвестная - то, что мы ищем.

Лемма о вложенных отрезках

4

a и b - вещественные числа, a≤b. Множество I=[a,b]={x R:a≤x≤b} называется отрезком множества вещественных чисел. Длиной отрезка [a,b] назовём число |I|=|[a,b]|:=b-a. Пусть { }∞=1 - занумерованное множество отрезков на вещественной прямой и пусть+1 c при всех n N. Тогда такое множество называется последовательностью вложенных отрезков. Если при этом среди всех этих отрезков есть отрезки сколь угодно малой длины, то говорят, что задана последовательность стягивающихся отрезков.

Примечание автора: Принцип полноты: система вложенных отрезков имеет общую точку.

Теорема (Лемма о вложенных отрезках): 1. Всякая последовательность вложенных отрезков имеет общую точку. 2. Если эта последовательность является последовательностью стягивающихся отрезков, то общая точка единственная.

Доказательство:

1. Так как отрезки вложенные, множество A всех левых концов отрезков { }+∞=1 n=1

обладает тем свойством, что ≤ при всех n N, и множество B всех правых концов

+1

отрезков { }+∞=1 обладает тем свойством, что ≥+1 при всех n N.

Кроме того, ≤ при всех n N m N, так как иначе отрезки [ , ] и [ , ] не

пересекались бы, что противоречит тому что дана система вложенных отрезков. Таким образом, A левее B поэтому по принципу полноты существует число c R, удовлетворяющее неравенствам ≤ ≤ при всех n N m N (что значит и при n=m) поэтому c In при всех n N.

2. Пусть теперь длины отрезков стремятся к нулю, то есть мы имеем последовательность стягивающихся отрезков. Уже доказано, что общая точка есть (c). Допустим, что есть ещё одна общая точка c’ и пусть c’>c. Тогда длины всех отрезков не могут быть меньше числа c’-c>0, что противоречит тому, что длины отрезков стремятся к нулю. Поэтому у стягивающихся отрезков ровно одна общая точка.

Примечание автора: Идеи доказательства: Существование: 1. Левые концы растут, правые убывают 2. Левые меньше или равны правым 3. Существование разделяющей точки

5

4. Точка лежит во всех отрезках. Единственность: 1. Предположение о второй точке 2. Длины больше или равны расстоянию между точками 3. Противоречие с условием стягивания 4. Вывод о единственности общей точки.

Доказательство:

Если n=1 то справа и слева одно и то же. Пусть неравенство Бернулли справедливо при n=k. Тогда для n=k+1 будет:

(1 + 1)... (1 + ) ≥ 1 + 1 + … + верно

(1 + )... (1 + )(1 + ) ≥ (1 + + … + )(1 + ) =

1 +1 1 +1

Примечание автора: Как работает математическая индукция? Метод математической индукции состоит из двух обязательных шагов. Сначала проверяется истинность доказываемого утверждения для начального значения натурального параметра n=1 (база индукции). Затем предполагается, что утверждение верно для некоторого произвольного n=k (предположение индукции), и доказывается, что из этого предположения следует его истинность для следующего значения n=k+1 (шаг индукции). Если оба шага выполнены, то утверждение считается доказанным для всех натуральных чисел.

04.09.2025

6

Следствие: Если x≥-1, то справедливо равенство (1 + ) ≥ 1 + (n>1) причём знак равенства имеет место лишь при x=0.

Действительно, полагая, 1 =... = = >− 1, как частный случай неравенства Бернулли, получаем неравенство (1 + ) ≥ 1 + .

Складывая полученные неравенства -

( 2 +... + 2)( 2 +... + 2) ≥ +... +

1 1 1 1

7

Теорема (Неравенство Коши): Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим, где среднее арифметическое больше или равно среднего геометрического.

Отсюда верность неравенства Коши и то, что в равенство оно обращается лишь при a=b

арифметическое первых n-1 и путём представленных преобразований получаем искомое неравенство

Функциональная зависимость

Определение: Если каждому элементу x множества X ставится в соответствие вполне определённый элемент множества Y, то говорят, что на X задана функция y=f(x). При этом x называется независимой переменной.

Определение: X - область определения Y - область значения данной функции. Определение: Областью определения функции y=f(x) называют те значения x, для которых данное выражение имеет смысл и значения y конечны.

Основные свойства функций:

1. Чётность/нечётность - функция y=f(x) чётная, если для любых значений x из области определения f(-x)=f(x). Нечётная, если f(-x)=-f(x). При этом область определения представляет собой симметричный относительно x=0 промежуток. Функция, которая не обладает чётностью - функция общего вида.

График чётной функции симметричен относительно Oy.

График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Пример: y=x^2 чётная y=x^3 нечётная y=x+1 общего вида

2. Монотонность: y=f(x) возрастающая (убывающая) на промежутке X, если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.

9

1, 21 < 2(1) < (2) возрастающая

1 < 2(1) > (2) убывающая Если нестрогое неравенство - невозрастающая (неубывающая)

3. Ограниченность. f(x) ограничена на промежутке X, если есть такое положительное число M, которое |f(x)|≤M для любого x из множества X. В противном случае неограничена.

Пример: Синусоида, косинусоида

Ограничена сверху (снизу), если есть M R (m R): f(x)≤M (f(x)≥m) для любого x из множества X.

Пример: y=x^2 y=-x^2

4. Периодичность. y=f(x) периодическая с периодом T≠0, если для любого x множества

X выполняется f(x+T)=f(x)

Пример: sin(2π+x)

Разновидности/Классификация функций:

1. Обратная функция. Пусть для любого x из X с областью значений Y. Поставим в соответствие каждому y из Y единственное x из X, при котором f(x)=y, тогда полученная функция φ(y)=x определена на множестве Y с областью значений на X называется обратной функцией.

Пример: sinx и arcsinx, y=log(a)x и x=a^y

Теорема: Можно доказать, что для любой строго монотонной функции есть обратная функция.

2. Сложная функция. Пусть y=f(u) есть функция, определённая на множестве U с областью значений Y, а переменная u=φ(x), x X, u U (область значений). Тогда заданная на множестве X функция y=f(φ(x)) называется сложной функцией (композиция, суперпозиция, функция от функции).

10