Пусть > 0. ( ) = ( ) − ( 0) = ' ( )( − 0) по теореме Лагранжа 0 < < .' ( )( − 0) = −1( ) * ( − 0)

61

Согласно предположению индукции, −1( ) = (( − 0) −1) = (( − 0) −1)( ) = (( − 0) )

2. Очевидно, что ( 0) = ( 0), '( 0) = '( 0),..., ( )( 0) = ( )( 0)( ) = (( − 0) ) остаточный многочлен в форме Пеано.

Примечание автора: Идеи доказательства: 1. Сначала мы определяем ошибку приближения - разницу между функцией и её многочленом Тейлора. 2. Доказательство идёт по индукции: для первой степени это просто определение производной. 3. Переход к высшим степеням использует теорему Лагранжа, которая позволяет выразить эту ошибку через ошибку для производной функции меньшего порядка. 4. По индукционному предположению ошибка для производной уже оценивается как стремящаяся к нулю быстрее предыдущей степени. 5. Умножая эту оценку на разность аргументов, получаем, что исходная ошибка стремится к нулю ещё быстрее - что и доказывает, что остаток имеет порядок малости выше, чем взятая степень приближения.

Примечание автора: Идеи доказательства: 1. Индукция по порядку приближения - доказательство проводится от меньших степеней к большим. 2. Базис индукции (n=0) - случай нулевого приближения сводится к формуле конечных приращений Лагранжа: приращение функции равно производной в промежуточной точке, умноженной на разность аргументов. 3. Переход к шагу n - рассматривается отношение остатка к степени ( − 0) +1. 4. Применение теоремы Коши - это отношение преобразуется с помощью

обобщённой теоремы о среднем для производных. 5. Связь остатка с остатком для производной - производная остатка оказывается остатком для производной функции меньшего порядка, что позволяет использовать предположение индукции. 6. Итоговое выражение - после подстановки получается, что остаток равен следующему члену ряда Тейлора, но со значением производной в некоторой промежуточной точке.

Пусть 0 = 0

63

Примечание автора: Многочлен Тейлора - конечная сумма (приближение). Ряд Тейлора - бесконечная сумма (точное равенство для аналитических функций). Ряд Тейлора не всегда может сходиться к функции.

16.12.2025

Общая схема исследований функции и построения графика

1.Найти область определения функции.

2.Чётность или нечётность.

3.Вертикальная асимптота.

4.Поведение функции на бесконечности - горизонтальная или вертикальная асимптота.

5.Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

6.Найти интервалы выпуклости и точек перегиба.

7.Найти точку пересечения с осями координат и, возможно, дополнительные точки, уточняющие график.

2

Пример: = 1+ 2

1−

1.\{± 1}

2.f(-x)=f(x) функция чётна

64

6. '' = 4−12 2 , 1 + 3 2 ≠ 0 нет точек перегиба

(1− 2)3

19.12.2025

Число Эйлера

Число e возникло из изучения сложных процентов в 17 веке когда математики заметили, что при всё более частом начислении процентов (непрерывном) итоговая сумма стремится к пределу, который и был назван e.

Первым его обнаружил Якоб Бернулли, а Леонард Эйлер позже детально изучил и популяризировал эту константу названную в его честь.

≈ 2. 718281828459045...

Примечание автора: Сам Эйлер вряд ли назвал константу e в честь себя. Скорее всего, буквы a, b, c, d он уже просто использовал, и e была следующей.

65

История появления числа Эйлера

1.Неявное проявление - впервые константа e неявно фигурировала в работал Джона Непера (16-17 век) в приложениях к его логарифмам, но сам Непер её не выделял.

2.Задача о процентах - Якоб Бернулли 1683 год. Он исследовал, как изменится сумма при начислении 100% годовых с разной частотой: раз в год, месяц, день и так далее. Он понял, что если частота начисления стремится к бесконечности, то итоговая сумма не растёт бесконечно, а стремится к определённому пределу.

ввёл обозначение e, показал важность в математике и естественных науках.

∞

= ∑ 1!

=0

Применение: основа натурального логарифма, играет ключевую роль в дифференциальных и интегральных исчислениях, описывает процессы экспоненциального роста, распада, такие как: рост популяции, зарядка конденсаторов, радиоактивный распад и биржевая аналитика.

66